滕 旭

(云南大學 旅游文化學院,云南 麗江 674100)

1 三角形的中線定理及重心性質

1.1 證明

為了研究中線定理的統(tǒng)一形式，本文采用統(tǒng)一的符號表示.

如圖1所示，設ΔA1A2A3邊AiAj中點記為Mij(1i,j3且i≠j)，三條中線交于一點稱為三角形的重心記為G，則有如下關系：

圖1 三角形的中線定理與重心

證明：用向量法證明中線定理及重心性質[1].

證明重心性質如下：

設三角形的三個頂點坐標為A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，A3(x3,y3)

同理：G∈A2M13，G∈A3M12，因此三角形三條中線交于一點G且G分每條中線為2∶1的兩部分.

證明中線定理如下：

(1)

(2)

得到中線性質定理初始形式，再根據(jù)定理注解，問題得證.

1.2 應用

等邊三角形的中線即為高，利用中線定理可求邊長為a等邊三角形的高H如下：

等邊三角形的四心重合，根據(jù)三角形的重心性質可求邊長為a等邊三角形外接圓半徑R及內(nèi)切圓半徑r如下：

2 四面體的中線定理及重心性質

2.1 證明

如圖2所示，四面體A1A2A3A4的頂點A1所對的面A2A3A4內(nèi)的重心記作G1，其他四個面的重心分別記作G2，G3，G4，則稱A1G1,A2G2,A3G3,A4G4分別為四面體的四條中線. 四面體的四條中線交于一點稱四面體的重心記為G，則有如下關系：

圖2 四面體中線定理及重心性質證明示意圖

證明：用向量法證明中線定理及重心性質[2-3].

證明重心性質如下：

設四面體的四個頂點坐標為A1(x1,y1,z1)，A2(x2,y2,z2)，A3(x3,y3,z3)，A4(x4,y4,z4)

令

則證明重心性質如下：

同理：G∈A2G2，G∈A3G3，G∈A4G4因此四面體四條中線交于一點G且G分每條中線為3∶1的兩部分.

證明中線定理如下：

如圖1所示，

(3)

(4)

(5)

?3AlGl2=AlAi2+AlAj2+AlAk2-(GlAi2+GlAj2+GlAk2)

得到中線定理的初始形式.

再由三角形的中線定理及重心性質，

GlAi2+GlAj2+GlAk2=

2.2 應用

正四面體的重心，外心，內(nèi)心重合，根據(jù)四面體的重心性質可求棱長為a正四面體的外接球R及內(nèi)切球半徑r如下：

3 中線定理及重心的統(tǒng)一形式

取n維空間上的n+1個點Ai(1in+1)構成n+1面體[6-7].

證明重心性質如下：

同理：G∈A2G2，G∈A3G3，…，G∈An+1Gn+1因此n+1四面體n+1條中線交于一點G且G分每條中線為n∶1的兩部分.

顯然，三角形及四面體的重心性質都可統(tǒng)一于上述形式，n=2時就為三角形的重心性質，n=3時就為四面體的重心性質.

證明中線定理如下：

顯然，三角形及四面體的中線定理初始形式都可統(tǒng)一于上述形式，n=2時就為三角形的中線定理的初始形式，n=3時就為四面體的中線定理初始形式.

三角形及四面體的中線定理都可統(tǒng)一于n+1面體的中線定理

n=2時就為三角形的中線定理，n=3時就為四面體的中線定理.

下面證明若n維空間上的n+1面體的中線定理成立，則對n+1維空間上的n+2面體亦成立，從而可對任意的n∈N+均成立. 記：

M={m|1mn+2,m∈Z}，M-i-j={m|1mn+2且m≠i且m≠j,m∈Z}

4 總結

中線定理及重心性質為三角形的基本性質，向量作為幾何研究的手段具有很大的優(yōu)越性，本文利用向量的方法將三角形的中線定理及重心性質推廣到四面體，并指出三角形及四面體具有的此種性質實際上還可進一步推廣至n維空間上的n+1面體中，從而給出一種統(tǒng)一形式，體現(xiàn)了數(shù)學的統(tǒng)一美.