【摘要】融合性數(shù)學(xué)項(xiàng)目課程是全景式數(shù)學(xué)教育的重要落點(diǎn)，在推進(jìn)該課程的常態(tài)化過(guò)程中，主要有基于合生和基于主題的兩大課程融合路徑。其中，合生路徑包括“尋找本質(zhì)上是數(shù)學(xué)空間形式”和“尋找與數(shù)學(xué)互為表里、互相借用的合生項(xiàng)目”，基于“主要題材”“中心思想”和“主要內(nèi)容”的融合則讓主題性融合成為可能。

【關(guān)鍵詞】全景式教育;融合性項(xiàng)目課程;數(shù)學(xué)教學(xué)

【作者簡(jiǎn)介】張宏偉，北京市特級(jí)教師，北京全景教育研究中心主任，北京新學(xué)道金泉書院課程總校長(zhǎng)（山西晉中032099）

全景式數(shù)學(xué)教育是基于國(guó)標(biāo)版教材、跨領(lǐng)域建設(shè)的融合性數(shù)學(xué)項(xiàng)目課程。

多年來(lái)，筆者的全景式數(shù)學(xué)教育團(tuán)隊(duì)致力于推進(jìn)該課程的常態(tài)化，目前已初步完成整個(gè)小學(xué)階段六年的系統(tǒng)架構(gòu)，僅科學(xué)與數(shù)學(xué)的跨學(xué)科融合就設(shè)計(jì)了43個(gè)融合性項(xiàng)目課程。我們還初步探索出基于合生（connate）和基于主題（Theme）的兩大課程路徑，分別簡(jiǎn)稱為“路徑C”和“路徑T”。

基于合生，尋找合適的融合項(xiàng)目

“路徑c”包括三個(gè)子路徑，其中有“尋找本質(zhì)上是數(shù)學(xué)空間形式”的合生項(xiàng)目。以數(shù)學(xué)上的“對(duì)稱”概念學(xué)習(xí)為例，除了與美術(shù)、造型藝術(shù)融合外，我們還引入了語(yǔ)文上的回文詩(shī)和回文聯(lián)“冬伴春來(lái)春伴冬”“風(fēng)隨雨灑雨隨風(fēng)”等，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)中間的字就是對(duì)稱軸，不管從前往后還是從后往前，讀出的結(jié)果都完全一樣，繼而認(rèn)識(shí)到正是數(shù)學(xué)的對(duì)稱造就了回文的獨(dú)特之美。

接著，我們用“1”表示第一個(gè)字，最后一個(gè)字也用“1”來(lái)表示，依此類推，“霧鎖山頭山鎖霧”就成了“1234321”。學(xué)生立刻就猜想到它叫“回文數(shù)”，而且發(fā)現(xiàn)對(duì)稱軸4藏著一個(gè)大秘密：因?yàn)橹虚g數(shù)字是4，就用4個(gè)1乘4個(gè)1（1111×1111），稍加計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn)，4個(gè)l乘4個(gè)1就等于1234321，而且這個(gè)算式也對(duì)稱，“×”就是對(duì)稱軸。

語(yǔ)文課上，孩子們還要學(xué)習(xí)“對(duì)仗”，到時(shí)候?qū)W生就會(huì)明白，語(yǔ)文的對(duì)仗其實(shí)就是數(shù)學(xué)的對(duì)稱。音樂(lè)老師也可以上一節(jié)“對(duì)稱課”，讓學(xué)生了解對(duì)稱在音樂(lè)中的重要作用。

至此，學(xué)生親身經(jīng)歷和見(jiàn)證了語(yǔ)、數(shù)、音、美4個(gè)領(lǐng)域神奇地統(tǒng)一在數(shù)學(xué)的對(duì)稱之中，打通各學(xué)科的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力。

尋找數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的合生項(xiàng)目。以表內(nèi)乘法與杠桿原理為例，學(xué)生在研究杠桿的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，只要找到“積相等”的口訣就能使杠桿平衡。比如：三八二十四，四六也是二十四，所以杠桿左邊的刻度8上掛3個(gè)碼，杠桿右邊的刻度6上掛4個(gè)碼，就一定平衡。他們感到非常不可思議，不斷地找“口訣”進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

最后，學(xué)生還創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)了兩邊掛多組碼的規(guī)律：杠桿左邊的刻度5和刻度10兩個(gè)地方各掛兩個(gè)碼，可以得到5×2+10x2=30;杠桿右邊的刻度4處掛5個(gè)碼，刻度10處掛一個(gè)碼，可以得到4x5+10x1=30;因?yàn)?×2+10x2=4x5+10x1，所以杠桿左右平衡。這實(shí)際是在學(xué)習(xí)和解決“乘加、乘減”問(wèn)題。

這個(gè)項(xiàng)目課程表面是科學(xué)，實(shí)際是數(shù)學(xué)。它讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在科學(xué)中的獨(dú)特價(jià)值，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和內(nèi)驅(qū)力。

又如數(shù)學(xué)與音樂(lè)的“合生”。在“和音的秘密”一課上，孩子們先通過(guò)敲鋼筋編鐘、彈鐵盒上的皮筋等方式找到和音點(diǎn)，探索和音比，然后找出標(biāo)準(zhǔn)的和音比，依此讓學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)用皮盒子創(chuàng)作和音，現(xiàn)場(chǎng)演奏。

這是一個(gè)非常典型的合生項(xiàng)目課程，而不是音樂(lè)與數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單疊加。項(xiàng)目課程表面上是創(chuàng)作和音，實(shí)際上是學(xué)“按比例分配”。因?yàn)?，學(xué)生要想造出美妙的和音，就必須學(xué)會(huì)把皮筋正確分配，和音必須依附數(shù)學(xué)而生，數(shù)學(xué)無(wú)形地融在好玩的“非數(shù)學(xué)”活動(dòng)之中，讓數(shù)學(xué)從目的真正轉(zhuǎn)變?yōu)楣ぞ摺?/p>

尋找與數(shù)學(xué)互為表里、互相借用的合生項(xiàng)目，又分為兩種類型：以“文”繹“數(shù)”和以“數(shù)”毓“文”。

以“文”繹“數(shù)”，是通過(guò)追溯數(shù)學(xué)概念名稱、語(yǔ)法的構(gòu)造邏輯，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)概念。比如學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候，分?jǐn)?shù)2/3的讀法“三分之二”其實(shí)就是古漢語(yǔ)。我引導(dǎo)孩子們這樣追溯：先解“三分”?！叭帧逼鋵?shí)就是“分三”，就是（平均）分成三份的意思;再解“之”，查出它的本意“出，生出”?！叭种本C合起來(lái)就是：平均分成三份后，從中生出（取出）二份;之的“生出”之意，揭示了“分子、分母”的名稱由來(lái)——類比人“子為母生”，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解了分?jǐn)?shù)的意義，又感悟到了背后的中國(guó)文化。

而以“數(shù)”毓“文”，指的是數(shù)學(xué)也會(huì)產(chǎn)生和毓養(yǎng)語(yǔ)文的一些字詞、短語(yǔ)、句子、文化。

比如，學(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位時(shí)，我設(shè)計(jì)了融合實(shí)踐、調(diào)查、制作的活動(dòng)項(xiàng)目課程。先讓孩子“以身為尺，測(cè)量萬(wàn)物”，之后學(xué)生查到：古代把中等男子的身高定為“一丈”，因此男人稱為丈夫。古代男人_柞是一尺，尺就是柞的象形字。古代還規(guī)定，女人的一柞是一咫，咫尺只差一指左右，所以“咫尺之間”形容很短、很近的距離。古代稱寸，把一寸分成10份得一分，再把一分分成10份得一厘，再把一厘分成10份得一毫，再把一毫分成10份得一絲，再把一絲分成10份就得到一忽，這正是“絲毫不差”和“忽然”兩詞意思的來(lái)源。然后讓學(xué)生制作古代之尺、今天之尺，暢想設(shè)計(jì)未來(lái)之尺……穿越古今，打通中外，讓孩子對(duì)“尺”的認(rèn)識(shí)更為豐富、全面和完整。

基于主題，融合打通大學(xué)科

“路徑T”同樣分為多個(gè)子路徑。

首先是基于“主要題材”融合。比如2016年11月初，我校二年級(jí)啟動(dòng)的以“瓜果”為主要題材的融合性項(xiàng)目課程。

語(yǔ)文課上學(xué)習(xí)與瓜果有關(guān)的童謠、字詞、童話、繪本等;科學(xué)課上學(xué)習(xí)南瓜的結(jié)構(gòu)、種類和分布等;美術(shù)、手工、英語(yǔ)課聯(lián)手舉辦萬(wàn)圣節(jié)活動(dòng)，學(xué)習(xí)畫水果、雕刻南瓜燈;音樂(lè)、體育課，唱南瓜歌，跳南瓜舞，舉辦瓜果運(yùn)動(dòng)會(huì);綜合實(shí)踐課上“我為瓜果代言”，每人代言一種瓜果，完整地介紹瓜果的各種情況;最后家?；?dòng)，舉辦親子活動(dòng)‘（瓜果美食節(jié)”。

而數(shù)學(xué)學(xué)科在其中承擔(dān)研究的內(nèi)容是：測(cè)量——了解南瓜的重量、粗細(xì)、長(zhǎng)短，學(xué)習(xí)“測(cè)量”和“化曲為直”“化直為曲”的思想;統(tǒng)計(jì)—了解金瓜的瓣數(shù)、瓜子的數(shù)量;認(rèn)識(shí)1000以內(nèi)的數(shù)。先讓學(xué)生估計(jì)一個(gè)南瓜的瓜子數(shù)量，然后每個(gè)孩子親自數(shù)，數(shù)到近1/3時(shí)，讓學(xué)生第二次估計(jì)，瓜子數(shù)量數(shù)完后進(jìn)行對(duì)照;最后讓孩子找一個(gè)最大的南瓜，同時(shí)買一斤南瓜子，估計(jì)買來(lái)的一斤南瓜子需要“犧牲”多少個(gè)南瓜，進(jìn)一步鞏固對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

在這個(gè)以“瓜果”為主要題材的主題學(xué)習(xí)中，各學(xué)科從不同維度共同支撐瓜果的研究，實(shí)現(xiàn)了對(duì)瓜果全面、完整的認(rèn)識(shí)。如此學(xué)習(xí)下去，每個(gè)孩子對(duì)事物的認(rèn)識(shí)更加完整，對(duì)世界的認(rèn)識(shí)更為豐富，對(duì)自己的認(rèn)識(shí)也就更為深刻了。

其次是基于“中心思想”的融合。中心思想主要指“數(shù)學(xué)思想”或者是超越數(shù)學(xué)的一般思想和方法。如“多邊形的面積”單元，主要學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)，其中心思想是轉(zhuǎn)化。我們就以轉(zhuǎn)化為核心來(lái)融合，設(shè)計(jì)了一個(gè)多學(xué)科聯(lián)動(dòng)的“轉(zhuǎn)化項(xiàng)目課程”。

語(yǔ)文學(xué)習(xí)小古文《曹沖稱象》，把大象轉(zhuǎn)化成小石頭;科學(xué)學(xué)習(xí)定滑輪轉(zhuǎn)化用力的方向、動(dòng)滑輪轉(zhuǎn)化用力的大小;體育玩轉(zhuǎn)化“捆綁游戲”（要約束他物，先約束自己）;英語(yǔ)學(xué)習(xí)“酋長(zhǎng)的繼承人”，講的是“把比誰(shuí)的駱駝跑得慢轉(zhuǎn)化為比誰(shuí)的駱駝跑得快”的故事。

在這個(gè)融合項(xiàng)目課程中，多個(gè)領(lǐng)域都圍繞“轉(zhuǎn)化”展開(kāi)，達(dá)成了讓學(xué)生對(duì)化歸思想全面、持續(xù)、深刻感悟的教學(xué)目標(biāo)。

最后是基于“主要內(nèi)容”的融合。這里的內(nèi)容指數(shù)學(xué)內(nèi)容。如：三年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的主要內(nèi)容是“分?jǐn)?shù)的意義”，我們就以分?jǐn)?shù)的意義為核心，多學(xué)科聯(lián)動(dòng)，把音樂(lè)、美術(shù)、英語(yǔ)融合進(jìn)來(lái)，形成獨(dú)特的“分?jǐn)?shù)之用項(xiàng)目課程”。

前文分析了2/3的中文讀法，而2/3的英語(yǔ)讀法有兩種（“two thirds”或“two over three”），教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助在線翻譯研究它的構(gòu)造邏輯：第一種讀法“two thirds”中的“thirds”不是第三，而是“1/3”?！皌wothirds”就是2個(gè)“1/3”，這是在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的單位和組成;第二種讀法“two over three”中，over是“在……上面”，表示“2寫在3的上面”，是學(xué)分?jǐn)?shù)的寫法。

以上的中英文讀法互補(bǔ)，分別從意義、組成、寫法三個(gè)方面演繹了分?jǐn)?shù)，加深了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，拓寬了對(duì)東西方不同文化的認(rèn)識(shí)。

該項(xiàng)目課程還可以繼續(xù)拓展：美術(shù)學(xué)習(xí)人體簡(jiǎn)筆畫，畫胎兒的頭部要占身體的1/2，而成人的頭部約占1/8，嬰兒的頭部約占1/4;音樂(lè)，通過(guò)畫、聽(tīng)、彈、唱等認(rèn)識(shí)、表現(xiàn)二分音符、四分音符……這樣一來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再只是脖子以上的學(xué)問(wèn)，孩子們以實(shí)驗(yàn)的方式具身地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。語(yǔ)、數(shù)、英、科、音、美協(xié)同，讓學(xué)生充分、全景地理解分?jǐn)?shù)的意義。

其實(shí)，除了上述三種主題式融合之外，我們還可以基于大概念，基于普遍公理、客觀規(guī)律，基于核心素養(yǎng)、核心能力、情意目標(biāo)、生活內(nèi)容等主題進(jìn)行長(zhǎng)線融合。

在這些融合性課程中，數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)淡化了嗎？非但沒(méi)有，反而讓數(shù)學(xué)的本質(zhì)，特別是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和價(jià)值更加凸顯，也更有利于學(xué)生從不同的領(lǐng)域，以不同的方式和自己最擅長(zhǎng)的學(xué)科視角，多維、全景、完整地學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。

在解決真實(shí)的問(wèn)題中學(xué)習(xí)，是學(xué)習(xí)真實(shí)的數(shù)學(xué)，真實(shí)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這些跨領(lǐng)域項(xiàng)目鮮活、生動(dòng)、有趣，能很好地豐沛學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，拓寬視野，豐厚智力背景，提高學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力，涵養(yǎng)學(xué)生多方面的素養(yǎng)，更有利于促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng)為全面完整發(fā)展的人。

目前，很多教師依然認(rèn)為數(shù)學(xué)能夠與其他領(lǐng)域融合的內(nèi)容只是個(gè)例，大部分內(nèi)容很難融合，甚至根本找不到實(shí)現(xiàn)融合的路徑。我們認(rèn)為不然，小學(xué)數(shù)學(xué)屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)范疇，所有小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容與非數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，因此大都能找到融合路徑。正如馬克思所說(shuō)：世界萬(wàn)物都是聯(lián)系的，并且這種聯(lián)系是客觀的、多樣的、普遍的。數(shù)學(xué)亦然！

責(zé)任編輯 施久銘 魏倩