程祥利，趙 慧，李林川，葉海福

（中國工程物理研究院電子工程研究所，四川 綿陽 621999）

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，越來越依靠超高速侵徹戰(zhàn)斗部（彈）對(duì)防御工事、水面艦艇、機(jī)場跑道、地面建筑、飛機(jī)掩蔽庫等高強(qiáng)度硬目標(biāo)（靶）進(jìn)行毀傷[1]。侵徹過程中，彈靶作用機(jī)理異常復(fù)雜，給戰(zhàn)斗部、裝藥、引信的抗高過載優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來很大困難[2-3]，已成為具有重大軍事需求的力學(xué)難題。

然而，現(xiàn)有研究主要關(guān)注戰(zhàn)斗部的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、侵徹能力以及裝藥安定性[4-5]，較少涉及到引信，導(dǎo)致引信抗高過載優(yōu)化設(shè)計(jì)的力學(xué)輸入不明確。針對(duì)上述難點(diǎn)，一種行之有效的解決方法是通過建立合理、有效、簡化的彈靶作用模型獲得侵徹過程中的加速度信息并等效為引信設(shè)計(jì)輸入。

傳統(tǒng)的彈靶作用模型建模方法主要考慮戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)[6-11]，即侵徹過程中戰(zhàn)斗部不發(fā)生彈性變形。首先，在侵徹過程受力分析的基礎(chǔ)上采用空腔膨脹理論和微分面元法獲得侵徹過程中的彈靶作用力，隨后，基于牛頓第二定律建立剛體運(yùn)動(dòng)模型，即侵徹過程中的運(yùn)動(dòng)微分方程，最后，采用數(shù)值積分的方法求解剛體運(yùn)動(dòng)模型，獲得侵徹過程中各物理量（含位移、速度、加速度）的變化規(guī)律，并分析各種因素的影響。

但是，打靶試驗(yàn)結(jié)果顯示戰(zhàn)斗部在侵徹過程中都會(huì)發(fā)生不同程度的變形[12-14]，在理論上都應(yīng)視為彈性體[15]。另外，部分電子元器件在正弦或交流載荷作用下更易損壞[16-17]，說明侵徹過程中的戰(zhàn)斗部彈性變形會(huì)影響內(nèi)部組件的生存性及工作可靠性，特別是含多種電子元器件的引信。

為了揭示戰(zhàn)斗部彈性變形對(duì)侵徹引信受力環(huán)境的影響規(guī)律，本文將機(jī)械振動(dòng)理論引入侵徹過程建模領(lǐng)域，提出一種戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)與一階軸向振動(dòng)相結(jié)合的垂直侵徹彈靶作用模型。首先，將戰(zhàn)斗部等效為具有阻尼特性的線性彈簧，基于單自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)建立一階軸向振動(dòng)模型，并與傳統(tǒng)的剛體運(yùn)動(dòng)模型相疊加作為修正后的彈靶作用模型；其次，在垂直侵徹過程受力分析的基礎(chǔ)上，采用空腔膨脹理論和微分面元法獲得彈靶作用力，并作為彈靶作用模型的輸入；最后，采用數(shù)值積分的方法獲得垂直侵徹過程中各物理量的變化規(guī)律，并和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。

1 垂直侵徹過程受力分析

1.1 空腔膨脹理論

作為求解侵徹問題的一種近似方法，空腔膨脹理論根據(jù)質(zhì)量守恒定律和動(dòng)量守恒定律建立法向應(yīng)力與空腔膨脹速度的關(guān)系，并通過對(duì)彈頭表面積分得到彈靶作用力[18]。

戰(zhàn)斗部表面微元處的法向應(yīng)力σn與空腔膨脹速度Vn、靶標(biāo)材料特征參數(shù)A 和B 密切相關(guān)，如式（1）所示。參數(shù)A 和B 的表達(dá)式分別如式（2）和式（3）所示[10]。

式中：η*為鎖變體積常數(shù)，ρ0為初始密度，λ 為強(qiáng)化模量參數(shù)，E 為彈性模量，τ0為側(cè)向抗剪強(qiáng)度，σ0為抗壓強(qiáng)度。

戰(zhàn)斗部表面微元處的切向應(yīng)力στ如下式所示。式中：μ為動(dòng)摩擦因數(shù)。

1.2 彈靶作用力

假設(shè)戰(zhàn)斗部垂直侵徹過程中攻角始終為零，即戰(zhàn)斗部不發(fā)生姿態(tài)偏轉(zhuǎn)。此時(shí)，戰(zhàn)斗部主要承受靶標(biāo)施加的侵徹阻力作用，即彈靶作用力Fx，如圖1 所示。圖中，H 為靶標(biāo)厚度，x 為侵徹深度，V 為侵徹速度，L 為卵形彈頭的長度。

彈靶作用力可根據(jù)微分面元法求解。對(duì)于卵形彈垂直侵徹，在垂直于彈軸方向的圓截面上取微面元，記為dS，如式（5）所示。

式中： χ 為彈頭系數(shù)，D 為彈徑，θ 為卵形母線的圓心角。

微面元dS 所受法向力dFn和切向力dFτ如式（6）所示。

將微面元dS 的法向力和切向力向彈軸方向投影，可得微面元dS 的軸向力dFx，如式（7）所示。

對(duì)微面元dS 的軸向力dFx沿戰(zhàn)斗部表面進(jìn)行積分，可得整個(gè)戰(zhàn)斗部的軸向力，即彈靶作用力，如式（8）所示。

2 彈靶作用模型建模

侵徹過程中，戰(zhàn)斗部既有剛體運(yùn)動(dòng)，又有彈性振動(dòng)，可分別建立剛體運(yùn)動(dòng)模型和彈性振動(dòng)模型。

2.1 剛體運(yùn)動(dòng)模型

垂直侵徹時(shí)，彈靶作用力使戰(zhàn)斗部做減速運(yùn)動(dòng)，可簡化為質(zhì)心的剛體運(yùn)動(dòng)。假設(shè)戰(zhàn)斗部頭部的位移為x1，則戰(zhàn)斗部各個(gè)位置的位移均為x1。根據(jù)牛頓第二定律可得運(yùn)動(dòng)微分方程，即剛體運(yùn)動(dòng)方程為：式中：t 為侵徹時(shí)間，M 為戰(zhàn)斗部質(zhì)量。

2.2 一階軸向振動(dòng)模型

垂直侵徹時(shí)，彈靶作用力會(huì)激發(fā)起戰(zhàn)斗部的多種振動(dòng)模態(tài)，使得戰(zhàn)斗部劇烈振動(dòng)。由于軸向載荷起主要作用，可近似用一階軸向振動(dòng)模型描述彈性振動(dòng)。

假設(shè)戰(zhàn)斗部為兩端自由的一維圓桿，可根據(jù)應(yīng)力波傳播理論計(jì)算出戰(zhàn)斗部一階軸向振動(dòng)的固有頻率f1，理論值如下式所示，且與模態(tài)仿真結(jié)果吻合較好[19]。

式中：L 為戰(zhàn)斗部長度，E0為戰(zhàn)斗部殼體材料的彈性模量，ρ 為戰(zhàn)斗部殼體材料的密度。

由于真實(shí)戰(zhàn)斗部與理想的一維圓桿有差異，固有頻率理論值會(huì)比實(shí)際值偏大。另外，飛行速度、侵徹阻力均會(huì)降低一階軸向振動(dòng)頻率[20]。因此，取一修正系數(shù)k 對(duì)固有頻率理論值進(jìn)行修正。結(jié)合大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的頻譜分析結(jié)果，k 一般取0.7～0.9，此時(shí)一階軸向振動(dòng)的固有頻率可近似為：

圖 2 單自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)Fig. 2 Single DOF spring-mass-damper system

戰(zhàn)斗部的一階軸向振動(dòng)頻率已知后，便可借鑒機(jī)械振動(dòng)理論進(jìn)行戰(zhàn)斗部彈性振動(dòng)模型建模。將戰(zhàn)斗部等效為具有阻尼特性的線性彈簧，質(zhì)量集中于戰(zhàn)斗部尾部，則一階軸向振動(dòng)模型可簡化為單自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，如圖2 所示，與基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)類似[21]。圖中，戰(zhàn)斗部頭部位移為x1，與剛體運(yùn)動(dòng)一致，戰(zhàn)斗部尾部（即引信安裝位置）位移為x2，戰(zhàn)斗部等效剛度K 和等效阻尼C 分別如下式所示：

式中，ωn為f1對(duì)應(yīng)的圓周固有頻率，單位為rad/s，ξ 為無量綱阻尼比。對(duì)于金屬材料而言，阻尼比遠(yuǎn)小于1。

根據(jù)圖2 可知，彈靶作用力經(jīng)彈簧傳遞后再作用于戰(zhàn)斗部，此時(shí)戰(zhàn)斗部受兩部分作用力，一是阻尼力，其方向與振動(dòng)方向相反，大小與振動(dòng)速度成正比，二是彈簧力，其方向與振動(dòng)方向相反，大小與振動(dòng)位移成正比。由于戰(zhàn)斗部尾部對(duì)于頭部有相對(duì)位移x2-x1，因而作用于戰(zhàn)斗部的彈簧力為K(x1-x2)，阻尼力為C(dx1-dx2)/dt。

以戰(zhàn)斗部為研究對(duì)象可得到運(yùn)動(dòng)微分方程，如下式所示：

兩邊同時(shí)減去Md2x1/dt2并移項(xiàng)、化簡可得：

記戰(zhàn)斗部一階軸向振動(dòng)引起的長度變化量為ΔL，則ΔL=x2-x1。當(dāng)ΔL＞0 時(shí)，戰(zhàn)斗部被壓縮，反之被拉伸。此時(shí)，式（15）可簡化為式（16），即一階軸向振動(dòng)模型，描述了戰(zhàn)斗部軸向振動(dòng)變形與彈靶作用力之間的關(guān)系。

2.3 彈靶作用模型

將式（9）和式（16）所示的微分方程相疊加，便可得到戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)與一階軸向振動(dòng)相結(jié)合的彈靶作用模型，如式（17）所示?？梢钥闯?，彈靶作用力決定了戰(zhàn)斗部的剛體運(yùn)動(dòng)特性與一階軸向振動(dòng)特性。其中，剛體運(yùn)動(dòng)用戰(zhàn)斗部頭部位移x1及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)描述，一階軸向振動(dòng)用戰(zhàn)斗部長度變化量ΔL 及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)描述。

對(duì)于剛體運(yùn)動(dòng)，可直接根據(jù)積分求解出侵徹深度x1、速度dx1/dt、加速度d2x1/dt2，如下式所示：

式中：V0為初始速度。

假設(shè)彈靶作用力Fx的加載、卸載非?？欤山茷榉逯禐镕max的脈沖函數(shù)，則一階軸向振動(dòng)微分方程的解等效為二階欠阻尼系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。此時(shí)，戰(zhàn)斗部長度變化量ΔL 為：

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)可得出變形速度、變形加速度。可以看出，ΔL 是振蕩衰減的，頻率近似為ωn。

為了分析方便，記d2x1/dt2為戰(zhàn)斗部剛體過載，該值僅與戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)有關(guān)；記d2ΔL/dt2為戰(zhàn)斗部彈性過載，該值僅與戰(zhàn)斗部的一階軸向振動(dòng)有關(guān)；記d2x2/dt2為戰(zhàn)斗部總過載，并等效為引信設(shè)計(jì)輸入，該值既與剛體運(yùn)動(dòng)有關(guān)，又與一階軸向振動(dòng)密切相關(guān)。此時(shí)，戰(zhàn)斗部總過載與剛體過載、彈性過載之間的關(guān)系為：

2.4 模型數(shù)值求解

由于侵徹過程中的彈靶作用力計(jì)算非常復(fù)雜，而且存在加載與卸載，無法等效為脈沖函數(shù)，因此直接求解式（17）的解析解是非常困難的。為此，本文采用數(shù)值積分的方法預(yù)測(cè)侵徹過程中的戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)特性和一階軸向振動(dòng)特性。

首先，根據(jù)已知的戰(zhàn)斗部參數(shù)、靶標(biāo)參數(shù)、速度參數(shù)，采用空腔膨脹理論和微分面元法求解彈靶作用力；隨后，以彈靶作用力為輸入求解剛體運(yùn)動(dòng)微分方程，獲得侵徹深度、侵徹速度、剛體過載等物理量，以彈靶作用力為輸入求解一階軸向振動(dòng)微分方程，獲得長度變化量、變形速度、彈性過載等物理量，并判斷是否滿足程序結(jié)束條件。如果不滿足，則計(jì)算下一時(shí)刻的值直至滿足程序結(jié)束條件。

詳細(xì)的程序流程如圖3 所示。

圖 3 程序流程圖Fig. 3 Flow diagram for programming

3 分析與討論

本文以某火炮試驗(yàn)彈侵徹鋼筋混凝土靶標(biāo)為例進(jìn)行計(jì)算，詳細(xì)的參數(shù)如下：

試驗(yàn)彈彈徑0.155 m，彈長0.89 m，彈頭系數(shù)3.0，彈重約90 kg，無量綱阻尼比0.02；彈體材料為高強(qiáng)度合金鋼，彈性模量210 GPa，密度7 800 kg/m3，一階軸向振動(dòng)的固有頻率修正系數(shù)0.8。根據(jù)以上參數(shù)計(jì)算出試驗(yàn)彈的一階軸向振動(dòng)的固有頻率約2.3 kHz。

靶標(biāo)分強(qiáng)度靶(single-layer concrete target)和多層靶(multi-layer concrete target)兩種。其中，強(qiáng)度靶為3.5 m 厚C40 鋼筋混凝土；多層靶為8 層C40 鋼筋混凝土，首靶的厚度0.3 m，其余靶的厚度0.14 m，靶間距3 m。C40 鋼筋混凝土的抗壓強(qiáng)度40 MPa，彈性模量32.5 GPa，密度2 400 kg/m3。采用空腔膨脹理論計(jì)算彈靶作用力時(shí)，動(dòng)摩擦系數(shù)0.02，鎖變體積常數(shù)0.1，強(qiáng)化模量參數(shù)0.65。

數(shù)值積分算法選用四階龍格庫塔算法。計(jì)算時(shí)，時(shí)間步長1 μs，采樣頻率20 kHz，即每隔50 μs 輸出一次計(jì)算結(jié)果。

取試驗(yàn)彈以830 m/s 速度垂直侵徹強(qiáng)度靶和多層靶為典型工況，對(duì)每種工況分別采用傳統(tǒng)方法（traditional method）和本文的修正方法（modificatory method）進(jìn)行計(jì)算。其中，傳統(tǒng)方法僅考慮戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)，修正方法綜合考慮戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)與一階軸向振動(dòng)。

3.1 與傳統(tǒng)方法的對(duì)比

侵徹強(qiáng)度靶時(shí)，持續(xù)時(shí)間（以彈尾完全出靶為準(zhǔn)）約9 ms，剩余速度約355 m/s，侵徹多層靶時(shí)，持續(xù)時(shí)間（以彈尾完全出最后一層靶為準(zhǔn)）約33 ms，剩余速度約645 m/s。

垂直侵徹過程中，戰(zhàn)斗部剛體過載變化曲線如圖4 所示?？梢钥闯?，無論是強(qiáng)度靶還是多層靶，剛體過載均是單向的，本質(zhì)上與彈靶作用力的變化趨勢(shì)一致。

圖 4 垂直侵徹過程中的剛體過載變化曲線Fig. 4 Rigid acceleration curve in normal penetration process

垂直侵徹過程中，戰(zhàn)斗部彈性過載變化曲線如圖5 所示?？梢钥闯?，無論是強(qiáng)度靶還是多層靶，彈性過載的變化規(guī)律是一致的，均表現(xiàn)出明顯的周期性，而且由于阻尼耗散作用，幅值是衰減的，直到下一次碰靶。

圖 5 垂直侵徹過程中的彈性過載變化曲線Fig. 5 Elastic acceleration curve in normal penetration process

對(duì)彈性過載進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果如圖6 所示?？梢钥闯?，無論是強(qiáng)度靶還是多層靶，信號(hào)能量主要集中于2.3 kHz，與一階軸向振動(dòng)頻率一致，這種現(xiàn)象是由戰(zhàn)斗部的頻率響應(yīng)特性決定的。將式（16）進(jìn)行拉普拉斯變換，可得到以剛體過載為輸入、以彈性過載為輸出的傳遞函數(shù)，如式（21）所示，對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)特性如圖7 所示。可以看出，侵徹過程中的戰(zhàn)斗部實(shí)際上是一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)響應(yīng)外界輸入時(shí)，信號(hào)的能量主要集中于固有頻率f1附近，與圖6 結(jié)果一致。

圖 6 彈性過載的頻譜分析結(jié)果Fig. 6 Frequency spectrum of elastic acceleration signal

圖 7 戰(zhàn)斗部一階軸向振動(dòng)的頻率響應(yīng)特性Fig. 7 Frequency response characteristics of the first order axial vibration for projectiles

垂直侵徹過程中，同時(shí)考慮戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)和一階軸向振動(dòng)的戰(zhàn)斗部總過載變化曲線如圖8 所示，對(duì)應(yīng)的頻譜分析結(jié)果如圖9 所示。

可以看出，兩種方法的差異主要體現(xiàn)在計(jì)算結(jié)果的頻率成分不同。采用傳統(tǒng)方法時(shí)，加速度信號(hào)是單向的，未疊加高頻信號(hào)，而采用修正方法時(shí)，加速度信號(hào)是振蕩的，甚至是正負(fù)交替變化的，含有明顯的高頻成分，且高頻成分的能量主要集中于一階軸向振動(dòng)頻率附近。因此，直接將傳統(tǒng)方法計(jì)算出的加速度值作為引信受力是不合理的。

圖 8 垂直侵徹過程中的總過載變化曲線Fig. 8 Total acceleration curve in normal penetration process

圖 9 戰(zhàn)斗部總過載的頻譜分析結(jié)果Fig. 9 Frequency spectrum of total acceleration signal

3.2 與打靶實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比

為了驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，利用155 火炮平臺(tái)開展了侵徹8 層鋼筋混凝土靶試驗(yàn)，靶標(biāo)布置和試驗(yàn)彈分別如圖10、圖11 所示。其中，靶標(biāo)是傾斜80°安裝的，與垂直侵徹略有區(qū)別。

圖 10 靶標(biāo)布置Fig. 10 Schematic diagram of the target

圖 11 試驗(yàn)彈Fig. 11 Schematic diagram of the projectile

試驗(yàn)時(shí)，通過高速攝像記錄完整的穿靶圖像，并判讀出侵徹速度約833 m/s，通過彈載記錄裝置采集侵徹過程中的加速度信號(hào)。本文從兩個(gè)方面對(duì)計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，一是每層靶的碰靶時(shí)刻（以碰首靶為零點(diǎn)），目的是驗(yàn)證剛體運(yùn)動(dòng)模型的準(zhǔn)確性，二是加速度信號(hào)，目的是驗(yàn)證一階軸向振動(dòng)模型的準(zhǔn)確性。

每層靶的碰靶時(shí)刻對(duì)比如表1 所示。表中，絕對(duì)誤差等于計(jì)算結(jié)果減去高速攝像判讀結(jié)果，相對(duì)誤差等于絕對(duì)誤差除以高速攝像判讀結(jié)果。可以看出：（1）計(jì)算出的碰靶時(shí)刻要比高速攝像判讀結(jié)果略有延遲，說明采用空腔膨脹理論和微分面元法計(jì)算出的侵徹阻力偏大；（2）絕對(duì)誤差最大值僅為1.00 ms，發(fā)生在侵徹第6 層靶時(shí)，相對(duì)誤差最大值僅為5.97%，發(fā)生在侵徹第5 層靶時(shí)，說明侵徹第5 層靶時(shí)開始出現(xiàn)較為明顯的彈體姿態(tài)偏轉(zhuǎn)并持續(xù)至碰靶結(jié)束，與圖10 中彈道向上偏轉(zhuǎn)的規(guī)律相似，導(dǎo)致高速攝像判讀出的后三層的碰靶時(shí)刻延后，即后面三層的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差均減小。以上分析說明戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)模型的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果一致，能滿足工程估算的需要。

表 1 每層靶的碰靶時(shí)刻Table 1 Penetration moment of every layer target

彈載記錄裝置采集到的加速度信號(hào)如圖12 所示，對(duì)應(yīng)的頻譜分析結(jié)果如圖13 所示。從時(shí)域角度看，實(shí)測(cè)加速度信號(hào)是振蕩的，變化規(guī)律與修正方法計(jì)算結(jié)果基本一致，從頻域角度看，實(shí)測(cè)加速度信號(hào)含有明顯的高頻成分，且信號(hào)的能量主要集中于約2.5 kHz 的頻段，與試驗(yàn)彈的一階軸向振動(dòng)頻率基本吻合。

圖 12 實(shí)測(cè)加速度信號(hào)Fig. 12 Acceleration data collected

圖 13 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的頻譜Fig. 13 Frequency spectrum of data collected

綜合對(duì)比分析時(shí)域特性和頻域特性可以看出，修正方法的計(jì)算結(jié)果更接近于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，說明戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)與一階軸向振動(dòng)相結(jié)合的彈靶作用模型能更合理地描述侵徹過程，能為侵徹引信抗高過載優(yōu)化設(shè)計(jì)提供準(zhǔn)確的力學(xué)輸入。

4 結(jié) 論

（1）將侵徹戰(zhàn)斗部等效為具有阻尼特性的線性彈簧，基于單自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)建立了戰(zhàn)斗部一階軸向振動(dòng)模型，對(duì)傳統(tǒng)的僅考慮戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)的垂直侵徹彈靶作用模型進(jìn)行了修正；

（2）采用數(shù)值積分的方法求解戰(zhàn)斗部剛體運(yùn)動(dòng)模型和一階軸向振動(dòng)模型，獲得了垂直侵徹過程中各物理量的變化規(guī)律，重點(diǎn)分析了戰(zhàn)斗部過載的變化規(guī)律；

（3）利用155 火炮平臺(tái)開展了侵徹8 層鋼筋混凝土靶試驗(yàn)，通過高速攝像獲得了每層靶的碰靶時(shí)刻，通過彈載記錄裝置獲得了侵徹過程中的加速度信號(hào)；

（4）計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析結(jié)果表明：考慮戰(zhàn)斗部一階軸向振動(dòng)的彈靶作用模型能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)侵徹過程中的過載變化規(guī)律，能為侵徹引信抗高過載優(yōu)化設(shè)計(jì)提供更明確的力學(xué)輸入。