蔡永林，鞠 楠

(北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044)

自由曲面類零件主要應(yīng)用于模具、航空航天、汽車制造等領(lǐng)域，此類零件由于幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜，主要在多軸數(shù)控機(jī)床上采用切削加工的方式完成加工.在切削過程中，刀具和工件之間的切削力直接影響切

削熱的產(chǎn)生、刀具的磨損及表面質(zhì)量.因此研究切削力的產(chǎn)生機(jī)理，并建立切削力預(yù)測模型，進(jìn)而掌握切削力的變化規(guī)律對切削加工中的刀具、夾具選擇以及工藝參數(shù)優(yōu)化可以起到一定的指導(dǎo)作用.

為了建立切削力模型，研究參數(shù)對切削力的影響規(guī)律，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究工作.Lee等[1-2]通過一系列正交切削實(shí)驗(yàn)測得了切削過程中的剪切屈服應(yīng)力、前刀面上的平均摩擦力系數(shù)以及剪切角等參數(shù)，采用經(jīng)典的斜角切削變換方法得到了球頭立銑刀切削刃上切削力的分布情況；姚繼銘[3]基于剪切變形理論和摩擦理論,并根據(jù)直角切削基本原理以及斜角切削模型，由刀具幾何參數(shù)、剪切角、摩擦角和切削材料屈服極限推導(dǎo)出了切向、軸向、徑向切削力的理論模型；羅智文等[4]針對曲線端銑加工工藝，提出了一種以斜角切削為基礎(chǔ)的切削力建模方法，根據(jù)最小能量原理，構(gòu)建了微元刃中力矢量、速度矢量、流屑角、法向摩擦角、法向剪切角及剪應(yīng)力等切削參數(shù)之間的約束;Hendriko等[5]使用解析邊界模擬的方式建立了仿真系統(tǒng)，用于計(jì)算采用環(huán)形刀加工時的切屑幾何體以及切削力；Nishida等[6]建立了一種用于球頭刀切削力預(yù)測的仿真平臺，通過體素模型表達(dá)刀具切削刃和工件在當(dāng)前時刻的幾何形狀，并計(jì)算出加工過程中未變形切屑厚度的離散值，進(jìn)而得到切削力；Irgolic等[7]通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對切削深度、進(jìn)給速度等工藝參數(shù)和切削力的關(guān)系進(jìn)行建模；王立濤等[8]通過多因素正交銑削實(shí)驗(yàn)，得到了航空鋁合金7050-T7451的切削力經(jīng)驗(yàn)公式模型.

綜上，對于切削力建模主要有理論分析法、有限元仿真法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型法以及經(jīng)驗(yàn)公式法.理論分析往往需要對實(shí)際問題進(jìn)行大量簡化，因此得到的切削力模型必然存在偏差；采用有限元仿真計(jì)算切削力通常需要的計(jì)算量大，且當(dāng)加工對象改變時必須重新進(jìn)行計(jì)算；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型法和經(jīng)驗(yàn)公式法本質(zhì)上都屬于一種數(shù)據(jù)擬合的方式，區(qū)別在于二者采用的擬合函數(shù)不同，但為了保證模型的可靠性都需要進(jìn)行大量的切削實(shí)驗(yàn)以獲取切削力數(shù)據(jù).本文作者采用的切削力模型認(rèn)為切削力和切削載荷存在比例關(guān)系，比例系數(shù)即為切削力系數(shù)，該系數(shù)可通過少量實(shí)驗(yàn)獲得，所得到的切削力模型具有較大的使用價(jià)值，可以用于切削工藝參數(shù)的優(yōu)化.

1 刀具幾何模型的精確數(shù)學(xué)描述

切削力在刀具刃線上的分布規(guī)律和刀具的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)，為了建立描述球頭刀銑削過程的切削力模型，需要對球頭刀的刃線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.首先以刀尖點(diǎn)為原點(diǎn)，刀具軸線為Z軸,以經(jīng)過刀尖點(diǎn)并和刀具刃線相切的直線為X軸，建立刀具局部坐標(biāo)系，并在該坐標(biāo)系下采用廣義螺旋運(yùn)動理論描述刀具球刃部分曲線.根據(jù)球頭刀的幾何特征，可以沿軸線將其劃分成圓柱體和球頭兩部分.刀具球頭部分刃線的幾何抽象如圖1所示，對于半徑為R的球頭刀，將刀具球刃視為點(diǎn)Q繞某個固定回轉(zhuǎn)軸做廣義螺旋運(yùn)動形成的軌跡.

圖1 刃線幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 Cutting edge geometry

點(diǎn)Q處于其軌跡上任意位置時都可以將此時的速度v分解成3個正交分量，即

v=vt+vr+va

(1)

式中：vt、vr和va分別為Q點(diǎn)的周向、徑向和軸向速度；ω為Q點(diǎn)的角速度.對于恒定導(dǎo)程球頭刀，刃線的導(dǎo)程為定值l，根據(jù)運(yùn)動學(xué)關(guān)系有

(2)

式中：P為誘導(dǎo)導(dǎo)程，是和刃線導(dǎo)程有關(guān)的常數(shù)，表示點(diǎn)Q轉(zhuǎn)過單位角度上升的高度.刀具的局部螺旋角β定義為刃線上一點(diǎn)的切線和經(jīng)過該點(diǎn)的回轉(zhuǎn)面母線的夾角，任意時刻Q點(diǎn)的瞬時轉(zhuǎn)動半徑為ρ，且3個速度分量滿足

(3)

局部螺旋角β滿足

(4)

回轉(zhuǎn)半徑ρ和點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)z滿足

(5)

將式(5)代入式(4)中可得

tanβ=[R2-(R-z)2]/RP

(6)

對于恒定導(dǎo)程球頭刀，刃線上任意一點(diǎn)的局部螺旋角β只與該點(diǎn)的縱坐標(biāo)z有關(guān)，當(dāng)z=0時，局部螺旋角β=0，當(dāng)z≥R時，局部螺旋角β達(dá)到最大并且保持不變.

2 切削力模型的建立

計(jì)算加工過程中的切削力的步驟為：1)將刀具沿刀軸劃分成切削微元，對于任意一個縱坐標(biāo)為z的微元，其厚度為dz；2)根據(jù)切削力模型計(jì)算參切區(qū)域中每個微元的微元切削力矢量；3)計(jì)算刃線上參與切削的區(qū)域；4) 對微元切削力進(jìn)行矢量數(shù)值積分得到切削力合力，積分限由參切區(qū)域確定.

2.1 計(jì)算微元切削力

微元切削力如圖2所示，對于刀刃線上一點(diǎn)Q，作用在其上的微元切削力可以分解成3個正交分量dFr、dFa和dFt，其中k是點(diǎn)Q對應(yīng)的軸向位置角.

圖2 微元切削力Fig.2 Micro-cutting force

根據(jù)微元切削力模型各切削力分量滿足關(guān)系[9]

(7)

式中：dS表示微元切削刃長度；db表示微元切削刃寬度；Kie和Kis分別為兩組與刀具幾何結(jié)構(gòu)以及材料有關(guān)的切削力系數(shù)，需通過實(shí)驗(yàn)確定，i=r,a,t；tn表示未變形切屑厚度，在數(shù)值上等于已加工表面和刀齒下一刀即將加工出的表面的徑向距離.

作廣義螺旋運(yùn)動的點(diǎn)Q在t時刻的速度分解圖如圖3所示，其中vr以及va的合速度為vs，vs和v的夾角即為此時的局部螺旋角β，經(jīng)過長度為dt的微小時間段之后Q在v和vs方向上的位移分別為dS和db，即

(8)

圖3 廣義螺旋運(yùn)動速度分解Fig.3 Velocity decomposition of generalized spiral motion

對于平面類零件該參數(shù)可通過幾何推導(dǎo)得出，加工平面類零件且刀具垂直工件表面的情況下切屑的形成過程見圖4.刀具從已加工表面出發(fā)，沿進(jìn)給方向運(yùn)動到下一個刀位點(diǎn)，刃線的掃略面和工件實(shí)體圍成的區(qū)域構(gòu)成了即將形成的切屑幾何體.

圖4 平面類零件切屑形成過程Fig.4 Cutting forming process of plane parts

O1為當(dāng)前刀具刀心點(diǎn)，O2為刀心點(diǎn)下一位置，兩點(diǎn)之間的距離即為每齒進(jìn)給量fz.刀具半徑為R，對于切削刃上一點(diǎn)D，其軸向位置角為k，切入角為θ，過O1做AB的垂線得交點(diǎn)O3.由幾何關(guān)系可知

(9)

過AB作垂直于平面xO2y的剖面，連接O2D得交點(diǎn)C，CD的長度即為tn.經(jīng)過幾何推導(dǎo)可得

(10)

可知,tn的長度由刃線上點(diǎn)的位置確定.但對于自由曲面類零件，由于刀軸矢量可以處于任意姿態(tài)，不能直接得到tn的解析解.故而提出了一種適用于自由曲面類零件的快速計(jì)算tn的算法，可以將切削力模型推廣到加工任意形狀零件的情況.實(shí)際加工具有復(fù)雜曲面的零件時，刃線上點(diǎn)的運(yùn)動是刀具自傳、平移以及姿態(tài)變換的疊加，相鄰刀位點(diǎn)之間刃線的掃略面如圖5所示，圖5中直線為刀具進(jìn)給方向，螺旋曲線表示刀具刃線，刃線掃掠面幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜.考慮到刀具的自傳速度遠(yuǎn)大于進(jìn)給速度，因此可以用球面近似代替圖中的掃掠面求解此時的tn，并且將刀具的每次進(jìn)給等效成加工微小斜面.根據(jù)式(10)可知，tn每齒進(jìn)給量fz以及刃線上點(diǎn)在工件局部坐標(biāo)系內(nèi)的位置決定.加工自由曲面類零件時刀具坐標(biāo)系Ot-XtYtZt和工件局部坐標(biāo)系Ow-XwYwZw之間的位姿關(guān)系如圖6所示.Ow-XwYwZw以刀觸點(diǎn)為原點(diǎn)，刀觸點(diǎn)法矢量為Z軸，進(jìn)給方向?yàn)閄軸，通過右手定則確定Y軸.Ot-XtYtZt以刀尖點(diǎn)為原點(diǎn)，刀軸矢量為Z軸，通過刀軸矢量與Ow-XwYwZw中坐標(biāo)系的矢量叉乘確定其余坐標(biāo)軸.

圖5 刀具刃線掃略面Fig.5 Sweeping surface of cutting edge

圖6 坐標(biāo)變換Fig.6 Coordinate transformation

定義Ot-XtYtZt和Ow-XwYwZw之間的變換矩陣為Mt，該矩陣由刀軸矢量的姿態(tài)確定.刃線上任意一點(diǎn)Q，其在Ot-XtYtZt內(nèi)的坐標(biāo)為[x1,y1,z1]T，且有：

(11)

式中：φ0表示z1=0時，刃線的切線與坐標(biāo)系X軸的夾角；r為中間變量.

根據(jù)變換矩陣可知Q點(diǎn)在Ow-XwYwZw內(nèi)的坐標(biāo)滿足

[x2,y2,z2]T=Mt[x1,y1,z1]T

(12)

則在Ow-XwYwZw中可以計(jì)算出對應(yīng)的切入角θ和軸向位置角k滿足

(13)

將式(13)代入式(10)中即可得到適合求解自由曲面類零件加工的未變形切屑厚度tn的算法.

2.2 計(jì)算刃線參與切削區(qū)域

圖7 自由曲面類零件切屑形成過程Fig.7 Cutting forming process of free-form surface parts

計(jì)算刃線參切區(qū)域的目的是確定矢量積分的積分限.刀具對工件進(jìn)行切削加工過程中，在任意時刻刃線上只有部分微元參與了切削，所有參與切削的微元構(gòu)成了此時的刃線參切區(qū)域，該區(qū)域的范圍因受到刀軸矢量、切深等因素的影響會發(fā)生動態(tài)變化.為了確定這一區(qū)域，可以采用實(shí)體求交或者Z-map[9-10]等方式，但計(jì)算效率偏低，在實(shí)際應(yīng)用中受到限制.本文通過分析切屑形成過程，得到了刃線參切區(qū)域滿足的幾何條件，可以快速確定積分限.加工任意形狀零件時切屑的形成過程如圖7所示.其中Ti,j為刀具位于第i行刀軌的第j個刀位點(diǎn)時的刀軸矢量，相鄰兩行刀軌之間的距離為ae，切削深度為ap，刀具每齒進(jìn)給量為fz，切屑幾何體是由切深平面、已加工表面和待加工表面所圍成的區(qū)域.

刀具處于Ti+1,j+1位姿時，刃線上只有一部分微元參與切削，且該部分曲線位于待加工表面上.對于刃線上任意一點(diǎn)Q，其在工件局部坐標(biāo)系Ow-XwYwZw內(nèi)的表示為[x2,y2,z2]T，根據(jù)切屑幾何體的約束條件可知，坐標(biāo)須滿足

(14)

刃線上的參切區(qū)域和切屑幾何體外表面存在兩個交點(diǎn)，可通過二分法確定，兩點(diǎn)之間的曲線段構(gòu)成了參切區(qū)域.

3 切削力系數(shù)識別實(shí)驗(yàn)

3.1 切削力系數(shù)識別原理

切削力系數(shù)反映了刀具的幾何結(jié)構(gòu)以及刀具和工件的材料組合對切削力的影響，與工件的幾何特征無關(guān).為建立完整的切削力模型，需要確定模型中的切削力系數(shù)Kie和Kis，切削力模型的可靠性在很大程度上取決于切削力系數(shù)的準(zhǔn)確性，即模型中的切削力系數(shù)是否能準(zhǔn)確反映實(shí)際加工狀態(tài).切削力系數(shù)識別可歸納為3種方式：

1)平均切削力常系數(shù).

假設(shè)切削力系數(shù)為常數(shù)，但對于球頭刀，在刀具球頭部分其有效切削半徑隨切削刃高度而變化，將切削力系數(shù)視為常數(shù)得到的模型精度較差.

2)正交切削刀斜角切削系數(shù)變換.

通過幾何變換將正交切削的系數(shù)變換到斜角切削，這種轉(zhuǎn)換是在大量簡化假設(shè)下建立的，并且需要了解刀具詳細(xì)的幾何參數(shù)以及材料的物理性能，在實(shí)際應(yīng)用中受到限制.

3)平均切削力變系數(shù).

將Kie視為常數(shù)，考慮到刀具切削半徑的變化，將Kis視為切削微元軸向位置z的多項(xiàng)式函數(shù).故本文采用該方法進(jìn)行切削力系數(shù)識別.

采用幾何參數(shù)已知的球頭刀對鈦合金平板進(jìn)行槽切加工，根據(jù)不同切削參數(shù)的組合可采集到對應(yīng)切削狀態(tài)下的切削力.為減少實(shí)驗(yàn)誤差，對于每種切削狀態(tài)計(jì)算其對應(yīng)的平均切削力，然后通過切削力模型計(jì)算相同切削條件下的理論值，二者建立等量關(guān)系，即可求得模型中切削力系數(shù).Kis和切削微元高度z的關(guān)系可表示為

(15)

實(shí)驗(yàn)的目的即確定式中的多項(xiàng)式系數(shù)，設(shè)多項(xiàng)式系數(shù)組成的列向量為g，通過理論計(jì)算得到g的系數(shù)矩陣為A，實(shí)驗(yàn)測得的平均切削力為列向量F，則有

Ag=F

(16)

可求得切削力系數(shù)列向量g為

g=(ATA)-1ATF

(17)

理論上高次多項(xiàng)式的擬合能力較強(qiáng)，可以采用任意高次多項(xiàng)式表達(dá)切削力系數(shù)，但這會造成ATA趨于病態(tài)矩陣，使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果過擬合，綜合考慮以上因素，本次實(shí)驗(yàn)采用二次多項(xiàng)式表達(dá)Kis，同時將Kie等效成常數(shù).

3.2 鈦合金槽切實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)所需硬件條件有：1)五軸數(shù)控加工中心；2)Kistler(9129AA)測力儀以及相關(guān)采集設(shè)備；3)TC4鈦合金毛坯；4)直徑為8 mm的雙齒球頭刀，公稱螺旋角30°.由于槽切加工時，刀具軸線垂直工件表面，刀具和工件接觸區(qū)域的幾何結(jié)構(gòu)簡單，同時可以減少刀具偏心對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，因此設(shè)計(jì)了9組不同切削參數(shù)組合的槽切切削實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中選用的切削參數(shù)如表1所示.

表1 切削參數(shù)

切削力系數(shù)識別所使用的實(shí)驗(yàn)裝置如圖8所示，毛坯通過緊固螺栓和測力儀連接，刀具按照一定的切深沿直線進(jìn)給.刀具和毛坯之間的切削力信號通過測力儀的壓電傳感器被接收設(shè)備采集.

圖8 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.8 Experimental device

實(shí)驗(yàn)得到的不同切削參數(shù)下的平均切削力如表2所示.根據(jù)1～7組實(shí)驗(yàn)平均切削力的實(shí)驗(yàn)值可得到切削力系數(shù)為

(18)

至此，得到了適合自由曲面類零件加工的完整切削力模型.

表2實(shí)驗(yàn)結(jié)果

Tab.2 Experimental results N

序號FXFYFZ133.09-10.5169.99249.53-24.7992.34382.42-92.94137.90440.05-15.9585.45571.40-81.31179.206142.70-155.00313.107101.30-119.20267.10854.07-33.41109.809124.20-79.47173.60

3.3 切削力模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證得到的切削力模型是否能真實(shí)反映實(shí)際切削加工中的切削力變化情況.選取第8、9組實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，通過對比切削力的實(shí)驗(yàn)值和模型理論值驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性.按照切削力模型可計(jì)算出刀具處于任意位姿時的切削力合力，但實(shí)際加工中由于不能確定在某一時刻刀具轉(zhuǎn)過的角度，因此不能確定模型中的切入角θ，但可計(jì)算出刀具處于某個位姿時可能達(dá)到的最大切削力，故可通過對比切削力合力的最大值驗(yàn)證模型.以第8組實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律.

實(shí)驗(yàn)采集到切削力分量FX、FY和FZ隨時間的變化以及切削力合力的統(tǒng)計(jì)分布如圖9所示，由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知合力呈雙峰分布.切削力分量的空間分布如10(a)所示，以模型計(jì)算出的當(dāng)前切削條件下的切削力最大值Fmax為半徑，原點(diǎn)為球心作球面得圖10(b)，該球面是切削力點(diǎn)云數(shù)據(jù)的一個緊界，計(jì)算可知91%的數(shù)據(jù)位于邊界內(nèi)部，說明切削力系數(shù)可靠，切削力模型達(dá)到了較好的精度.

圖9 實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)Fig.9 Data of experimental results

圖10 切削力空間分布Fig.10 Spatial distribution of cutting force

4 結(jié)論

1)將切削時力計(jì)算模型推廣到了加工自由曲面類零件的情況，通過鈦合金的切削實(shí)驗(yàn)得到模型中的切削力系數(shù)，計(jì)算結(jié)果表明模型計(jì)算的理論值和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符.

2)刀軸矢量的變化影響未變形切屑厚度，從而改變切削力的大小和方向.可根據(jù)切削力模型在進(jìn)行刀具軌跡規(guī)劃時優(yōu)化每個刀位點(diǎn)的刀軸矢量，以減小切削力和加工變形，提高加工質(zhì)量.