徐富清

(揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué) 江蘇 揚(yáng)州 225119)

不久前，講授“萬有引力”一章時(shí)學(xué)生提出一個(gè)問題：月球繞太陽運(yùn)動的軌跡為什么是一個(gè)擺線？為什么不是圓形或其他圖形？怎樣分析月球的運(yùn)動？帶著這個(gè)疑問筆者上網(wǎng)查詢了一些資料，發(fā)現(xiàn)有很多典型的運(yùn)動，如果使用“運(yùn)動的合成與分解”的思想分析，它們的運(yùn)動過程、運(yùn)動軌跡就很好理解，并且可以回避復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而且隨著參數(shù)的變化，結(jié)果也不盡相同.由于要揭示復(fù)雜運(yùn)動背后的規(guī)律，筆者將借助MATLAB這款軟件，將復(fù)雜運(yùn)動以圖形、可視化方式表現(xiàn)出來，本文主要對下面3個(gè)典型的案例進(jìn)行分析.

1 月球繞太陽的運(yùn)動

(1)簡化運(yùn)動模型

以太陽為中心建立x,y軸，太陽處于圓心O，地球繞太陽運(yùn)動的半徑為R，其運(yùn)動軌跡稱為本輪，月球環(huán)繞地球運(yùn)動的半徑為r，月球繞地球運(yùn)動的軌跡稱為均輪，如圖1所示.

圖1 簡化的運(yùn)動模型

(2)建立函數(shù)

假設(shè)地球繞太陽運(yùn)動的角速度是ω1，月球圍繞地球運(yùn)動的角速度為ω2，則地球繞太陽運(yùn)動的圓周運(yùn)動方程為

月球繞地球運(yùn)動的圓周運(yùn)動方程為

根據(jù)運(yùn)動的合成與分解，可將兩個(gè)分運(yùn)動x方向、y方向分別相疊加，就得到月球繞太陽運(yùn)動的圓周運(yùn)動方程

(3)使用MATLAB描繪運(yùn)動軌跡

為了突出反映該模型背后的變化規(guī)律，我們?nèi)?/p>

同時(shí)改變R和r的值，下面使用MATLAB工具描繪出運(yùn)動軌跡.

1)若R=20,r=3，結(jié)果如圖2所示，月球運(yùn)動軌跡顯示的是一個(gè)閉合的擺線.

圖2 R=20,r=3時(shí),月球的運(yùn)動軌跡

2)若R=20,r=11，其運(yùn)動軌跡如圖3所示，隨著月球軌道半徑r的增加，擺線漸漸地發(fā)生重疊，且中心部分形成一個(gè)多邊形.

圖3 R=20,r=11時(shí),月球的運(yùn)動軌跡

3)若R=20,r=20，即月球繞地球運(yùn)動的半徑與地球繞太陽運(yùn)動的半徑相等(不考慮太陽對月球的影響)，月球的運(yùn)動軌跡如圖4所示，此時(shí)月球要經(jīng)過太陽點(diǎn)，中心部分形成一個(gè)花瓣?duì)?

圖4 R=20,r=20時(shí),月球的運(yùn)動軌跡

4)若R=20,r=30，即月球繞地球運(yùn)動的半徑超過地球繞太陽運(yùn)動的半徑，月球運(yùn)動軌跡如圖5所示，其中心部分趨近于一個(gè)圓形.

圖5 R=20,r=30時(shí),月球的運(yùn)動軌跡

2 小齒輪圍繞大齒輪的運(yùn)動

(1)建立模型

假設(shè)大齒輪靜止不動，半徑為R，小齒輪繞大齒輪作無滑滾動，半徑為r，如圖6 所示.

圖6 小齒輪圍繞大齒輪運(yùn)動的簡化模型

(2)建立函數(shù)

假設(shè)起始時(shí)圓心O、接觸點(diǎn)、M點(diǎn)共線，當(dāng)小齒輪在大齒輪上滾過角θ時(shí)，小齒輪上的M點(diǎn)轉(zhuǎn)過角φ，則小齒輪的圓心O2圍繞大齒輪O的圓周運(yùn)動方程為

M點(diǎn)圍繞小齒輪O2的圓周運(yùn)動方程為

同理根據(jù)運(yùn)動的合成與分解，將兩個(gè)分運(yùn)動分別在x,y軸相疊加后，M點(diǎn)圍繞大齒輪O的圓周運(yùn)動方程為

(3)使用MATLAB描繪運(yùn)動軌跡

圖點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

圖點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

圖點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

圖點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

3 汽車的輪緣運(yùn)動

(1)建立模型

設(shè)汽車車輪半徑是r，汽車勻速直線運(yùn)動的速度是v，車輪勻速轉(zhuǎn)動的角速度是ω，且車輪作無滑滾動，滿足方程v=rω，如圖11 所示.

圖11 汽車輪緣運(yùn)動的簡化模型

(2)建立函數(shù)

輪緣M點(diǎn)的運(yùn)動可以看作是兩個(gè)分運(yùn)動的疊加，一是隨圓心O在水平方向上的勻速直線運(yùn)動，即x=vt，二是M點(diǎn)圍繞圓心的勻速圓周運(yùn)動

同理根據(jù)運(yùn)動的合成與分解，將兩個(gè)分運(yùn)動疊加后，得到M點(diǎn)的運(yùn)動方程

(3)使用MATLAB描繪運(yùn)動軌跡

假設(shè)v=24 m/s,ω=30 rad/s時(shí)，車輪的臨界半徑為

使用MATLAB工具作出運(yùn)動軌跡.

1)當(dāng)車輪的半徑r=0.8 m，則M點(diǎn)的運(yùn)動軌跡如圖12所示，其形是一個(gè)直線花邊.

圖12 r=0.8 m時(shí)，M點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

2)若取車輪內(nèi)的點(diǎn)P作為研究對象，即r<0.8 m(如圖13所示)，則P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡如圖14所示，其形似一個(gè)波浪.

圖13 取P點(diǎn)為研究對象

圖14 r<0.8 m時(shí)，P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

3)若取車輪外的點(diǎn)Q作為研究對象，即r>0.8 m(如圖13所示)，則Q點(diǎn)的運(yùn)動軌跡如圖15所示，結(jié)果呈現(xiàn)為擺線形狀.

圖15 r>0.8 m時(shí)，Q點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

4 結(jié)束語

當(dāng)筆者將所發(fā)現(xiàn)的結(jié)果向?qū)W生一一展示，學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心高漲，這不僅僅是結(jié)論也包括探究的過程.這就給我們一個(gè)啟發(fā)，那就是對于一個(gè)看似簡單的事物如果進(jìn)行細(xì)致的研究和分析，往往會帶來意想不到的驚喜.物理教學(xué)的目的是培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)、激發(fā)他們的想象，知道物理課程不是單調(diào)枯燥的，其關(guān)鍵是教師以何種方式激發(fā)學(xué)生的興趣，并把這種力量帶到學(xué)習(xí)中去.