徐 坤，曾 京，黃彩虹，祁亞運

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

根據(jù)電機懸掛方式的不同，驅(qū)動裝置的結(jié)構(gòu)形式通常有軸懸式、架懸式和體懸式之分[1]。在軸懸式中，牽引電機大半質(zhì)量成為簧下質(zhì)量，這既增加了車輛對軌道的動力破壞作用，又將輪軌間產(chǎn)生的沖擊與振動直接傳遞給牽引電機，加大了電機的機械載荷，所以該結(jié)構(gòu)一般使用在低速動車上，不宜在高速動車上使用。國內(nèi)外高速動車上普遍采用的是有利于降低動作用力的架懸式與體懸式。架懸式牽引電機整體懸掛在轉(zhuǎn)向架構(gòu)架上，屬于一系簧上質(zhì)量，體懸式牽引電機安裝在車體底架上，屬于二系簧上質(zhì)量。但由于在體懸式中，萬向軸制造工藝要求高，驅(qū)動裝置結(jié)構(gòu)復雜，制造及維護成本較高[2]，架懸式被越來越多地使用，如CRH1、CRH2和CRH3動車組采用架懸式牽引電機。

國內(nèi)外學者對牽引電機架懸參數(shù)對車輛系統(tǒng)動力學的影響進行了廣泛的研究。文獻[3]對分別采用剛性架懸和彈性架懸方案時機車的橫向穩(wěn)定性、平穩(wěn)性、輪軸橫向力、輪重動態(tài)變化等進行了比較研究。研究結(jié)果表明，采用彈性架懸方案時機車各項直線高速運行指標均有所改善，且機車的動力學性能對懸掛參數(shù)的敏感性減弱。文獻[4]對牽引電機剛性架懸與彈性架懸在非線性穩(wěn)定性、直線運行性能及曲線運行性能進行了比較。研究發(fā)現(xiàn)：驅(qū)動裝置彈性架懸方案可以明顯降低機車直線運行的輪軸橫向力，改善機車通過大、中半徑曲線的橫向性能，提高平穩(wěn)性。文獻[5]考慮牽引電機懸掛吊桿橡膠關節(jié)的彈性及電機輸出軸端與小齒輪連接軸的彈性，分析異步牽引電機諧波轉(zhuǎn)矩對牽引電機傳動裝置振動的影響。文獻[6]提出3個剛體的機車橫向振動簡單模型，結(jié)合輪對橫向隨機響應的特點，分析不同速度下，驅(qū)動裝置懸掛參數(shù)對機車受迫振動的影響。以上文獻大部分都是采用商業(yè)軟件建模，對架懸參數(shù)與轉(zhuǎn)向架蛇行失穩(wěn)之間的內(nèi)在關系闡述的不夠清楚。文獻[7]根據(jù)電機架懸特點，推導出動車轉(zhuǎn)向架動力學方程，分析了牽引電機架懸參數(shù)對轉(zhuǎn)向架線性臨界速度的影響。文獻[8-9]針對機車某B0轉(zhuǎn)向架建立了10自由度單轉(zhuǎn)向架橫向動力學模型，從動力吸振角度對電機彈性懸掛做出了理論解釋。文獻[10]不僅分析了牽引電機架懸參數(shù)對整車線性臨界速度的影響，還利用非線性方法研究架懸參數(shù)對整車臨界速度的影響，該臨界速度在工程應用中也被稱為實際臨界速度[11]或者失穩(wěn)速度。在實際工程應用中，由于在評價實際臨界速度上的標準不一致[12]，往往會得到不一樣的實際臨界速度。在仿真計算中，應該以非線性臨界速度作為評價指標[13]。

本文采用延續(xù)算法[14]求得動車轉(zhuǎn)向架在不同架懸參數(shù)下的蛇行運動極限環(huán)曲線，得到線性臨界速度和非線性臨界速度，進而研究牽引電機架懸參數(shù)對動車轉(zhuǎn)向架穩(wěn)定性的影響。利用Hopf分叉范式理論分析動車轉(zhuǎn)向架運動系統(tǒng)的三次共振項系數(shù)與線性、非線性臨界速度的關系。

1 數(shù)學模型

客車轉(zhuǎn)向架采用各種型式的定位裝置，使輪對通過軸箱與轉(zhuǎn)向架構(gòu)架之間有不同程度的彈性約束，特別是高速動車組轉(zhuǎn)向架，為了保證獲得較高的臨界速度，一系定位剛度都比較大，剛度越大，越接近剛性轉(zhuǎn)向架的運動形式，這一點在轉(zhuǎn)向架蛇行運動的試驗和穩(wěn)定性理論計算中都得到了證實[15]。為了便于數(shù)學建模，重點突出研究對象，把某型動車轉(zhuǎn)向架簡化為剛性轉(zhuǎn)向架，重點研究牽引電機架懸參數(shù)對其穩(wěn)定性的影響。

由于穩(wěn)定性屬于橫向動力學問題，與垂向自由度沒有關系，又因為本文只研究轉(zhuǎn)向架的穩(wěn)定性，車體自由度不考慮，僅作為一個參考系沿著軌道方向以恒定的速度運行?？紤]到影響架懸動車組轉(zhuǎn)向架蛇行運動穩(wěn)定性的主要因素是電機的橫移模態(tài)，電機搖頭模態(tài)的影響相對較小[7]?；谝陨峡紤]，在進行動力學建模過程中，只考慮剛性轉(zhuǎn)向架的橫移(yb)、搖頭(φb)和兩個電機的橫移(ym1、ym2)，共4個自由度，其模型如圖1所示。

圖1 動力學模型

電機1受到的橫向力

(1)

電機2受到的橫向力

(2)

構(gòu)架受到的電機的反向橫向力

Fb1=-Fm1Fb2=-Fm2

(3)

車輪受到的輪緣力(采用文獻[16]中的光滑連續(xù)處理)

(4)

除此之外，構(gòu)架還受彈性約束力及車輪受到橫向、縱向蠕滑力和重力復原力和重復原力矩，不考慮車輪受到的自旋蠕滑力。在本系統(tǒng)中，車輪受到的輪緣力是唯一的非線性項。系統(tǒng)微分方程如下：

構(gòu)架橫移

(5)

構(gòu)架搖頭

2Wλbφb

(6)

電機1橫移

(7)

電機2橫移

(8)

為了便于求解，令

(9)

則式(5)～式(8)可以表示為

dy(1)=y(2)

(10)

Kmy×y(5)+Cmy×y(6)+Kmy×y(7)+

Cmy×y(8)-2(α1×y(1)3+α2×y(1)5)]/Mb

(11)

dy(3)=y(4)

(12)

2Kmy×L2-2Wλb)y(3)-[2Csx×a2+

L×y(5)+Cmy×L×y(6)-Kmy×L×

y(7)-Cmy×L×y(8)]/Ib

(13)

dy(5)=y(6)

(14)

(15)

dy(7)=y(8)

(16)

(17)

以上符號意義及數(shù)值見表1。

表1 動力學方程參數(shù)意義及數(shù)值

由于電機吊掛方式不定，為了便于表達，在下面的論述中使用電機橫移頻率fmy和橫移阻尼比ξmy來代替電機懸掛總的橫移剛度Kmy和總的橫移阻尼Cmy。Kmy、Cmy與fmy、ξmy的關系如下

(18)

2 轉(zhuǎn)向架蛇行運動Hopf分叉特性

2.1 臨界速度的定義及分叉類型

在車輛系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，主要是通過線性臨界速度和非線性臨界速度來評價的。在求線性臨界速度時，先求線性系統(tǒng)的雅克比矩陣，再求雅克比矩陣的特征值。隨著速度的變化，當雅克比矩陣的特征值出現(xiàn)一對純虛根時，此時速度為線性臨界速度。非線性臨界速度是根據(jù)非線性系統(tǒng)極限環(huán)曲線來求得的，非線性轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)蛇行運動典型的極限環(huán)曲線如圖2所示。

圖2中虛線表示不穩(wěn)定的極限環(huán)，實線表示穩(wěn)定的極限環(huán)。V0為線性臨界速度，V1為非線性臨界速度。當V

(a)亞臨界Hopf分叉

(b)超臨界Hopf分叉

當fmy=1.6，ξmy=0.1時，其余參數(shù)數(shù)值參照表1中的數(shù)值，帶入式(10)～式(17)，利用延續(xù)算法求得轉(zhuǎn)向架蛇行運動極限環(huán)曲線，如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)向架蛇行運動極限環(huán)曲線

由圖3可知，系統(tǒng)發(fā)生了亞臨界Hopf分叉，AB為不穩(wěn)定極限環(huán)，BC為穩(wěn)定極限環(huán)，線性臨界速度V0=344.52 km/h，非線性臨界速度V0=160.45 km/h。當運行速度以低于非線性臨界速度、位于非線性臨界速度與線性臨界速度之間、高于線性臨界速度運行時，構(gòu)架橫移的相平面如圖4所示。

當運行速度低于非線性臨界速度運行時，整個相平面都是平衡點(0，0)的吸引域，如圖4(a)所示；當運行速度在非線性臨界速度與線性臨界速度之間時，相平面包含一個穩(wěn)定極限環(huán)(實線)、一個不穩(wěn)定極限環(huán)(虛線)和一個穩(wěn)定平衡點，此時平衡點(0，0)是一個吸引子，整個相平面中不穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)部區(qū)域是平衡點的吸引域，不穩(wěn)定極限環(huán)外部區(qū)域是穩(wěn)定極限環(huán)的吸引域，如圖4(b)所示；當運行速度高于線性臨界速度時，相平面包含一個穩(wěn)定極限環(huán)(實線)和一個不穩(wěn)定平衡點，此時平衡點(0，0)不再是吸引子，整個相平面中都是穩(wěn)定極限環(huán)的吸引域，如圖4(c)所示。

(a)運行速度為100 km/h時構(gòu)架橫移相平面圖

(b)運行速度為280 km/h時構(gòu)架橫移相平面圖

(c)運行速度為430 km/h時構(gòu)架橫移相平面圖

2.2 利用Hopf分叉范式理論判別分叉類型

考慮單參數(shù)平面自治系統(tǒng)[17]

(19)

(20)

式中：λ(α)=μ(α)+iω(α)；μ(0)=0；ω(0)=ω0>0。

當矩陣A(α)出現(xiàn)一對純虛根特征值時，發(fā)生Hopf分叉，由平衡點分叉出周期解。引入復變量z，系統(tǒng)可表示為

(21)

x與z滿足

(22)

假設α=0，F(xiàn)(x，α)可表示為

(23)

式中：B(x，x)和C(x，x，x)為對稱多重線性型。

(24)

(25)

經(jīng)過推導，系統(tǒng)可簡化為只含共振三次項的方程。

(26)

一般稱c1(α)為三次共振項系數(shù)，Rec1(0)決定了Hopf分叉是超臨界分叉還是亞臨界分叉。當Rec1(0)>0時，為亞臨界分叉，當Rec1(0)<0時，為超臨界分叉。

Rec1(0)表達式為

(27)

下面使用Hopf分叉范式理論分析上述參數(shù)數(shù)值下轉(zhuǎn)向架橫移運動分叉特性。

B(ξ，η)=[0 0 0 0 0 0 0 0]T

(28)

根據(jù)式(27)可得

(29)

可知系統(tǒng)發(fā)生了亞臨界分叉，與利用極限環(huán)圖分析得到的結(jié)果一致。

3 電機架懸參數(shù)對動車轉(zhuǎn)向架穩(wěn)定性的影響

3.1 電機橫移頻率fmy和阻尼比ξmy對轉(zhuǎn)向架穩(wěn)定性的影響

電機橫移頻率fmy為0.5～15 Hz，阻尼比ξmy在0.1～1之間變化，對轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度如圖5所示。

(a)電機懸掛頻率fmy和阻尼比ξmy對轉(zhuǎn)向架線性臨界速度的影響

(b)電機懸掛頻率fmy和阻尼比ξmy對轉(zhuǎn)向架非線性臨界速度的影響

從圖5可以看出：轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度在無電機懸掛工況均高于電機剛性懸掛工況，但是非線性臨界速度的增加幅度要小于線性臨界速度的增加幅度。當fmy較小時，轉(zhuǎn)向架線性、非線性臨界速度接近無電機懸掛工況；當fmy較大時，轉(zhuǎn)向架線性、非線性臨界速度接近電機剛性懸掛工況。當ξmy較小時(比如ξmy=0.1)，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度均隨著fmy的增大先增加后減小，最后趨于電機剛性懸掛工況，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是電機彈性架懸的數(shù)學模型本質(zhì)上屬于動力吸振器，輪對的蛇行運動作為激勵。隨著電機懸掛頻率fmy的增加，構(gòu)架振動響應逐漸減小，所以轉(zhuǎn)向架臨界速度逐漸增大，當fmy接近轉(zhuǎn)向架蛇行頻率時，構(gòu)架振動達到最小值，轉(zhuǎn)向架臨界速度達到最大值，當繼續(xù)增加fmy，構(gòu)架振動忽然增大，轉(zhuǎn)向架臨界速度會忽然降低，構(gòu)架振動最大時，轉(zhuǎn)向架臨界速度最低。如果繼續(xù)增加fmy，構(gòu)架振動趨于穩(wěn)定，轉(zhuǎn)向架臨界速度也趨于穩(wěn)定。當ξmy較大時(比如ξmy=1)，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度均隨著fmy的增大而減小，最后也趨于電機剛性懸掛工況。值得注意的是，當ξmy>0.3時，轉(zhuǎn)向架的非線性臨界速度隨fy的變化規(guī)律幾乎一致。

3.2 電機橫移頻率fmy和電機質(zhì)量Mm對轉(zhuǎn)向架穩(wěn)定性的影響

當電機懸掛橫移阻尼比ξmy=0.3時，橫移頻率fmy在0.5～15 Hz之間變化，電機質(zhì)量Mm分別取500、950、1 800 kg，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度如圖6所示。

(a)電機懸掛頻率fmy和電機質(zhì)量Mm對轉(zhuǎn)向架線性臨界速度影響

(b)電機懸掛頻率fmy和電機質(zhì)量Mm對轉(zhuǎn)向架非線性臨界速度影響

從圖6可以看出，當fmy較小時(比如fmy=0.5)，不管電機質(zhì)量多大，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度都與無電機懸掛工況幾乎一致。當fmy較小時，電機質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度越大，相反，當fmy較大時，電機質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度越小，這也說明了對于大質(zhì)量電機，彈性懸掛的必要性。

4 三次共振項系數(shù)實部與線性、非線性臨界速度之間的關系

利用轉(zhuǎn)向架的極限環(huán)曲線很容易求得轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度，但是利用延續(xù)算法求極限環(huán)曲線比較費時間。由于微分方程的三次共振項系數(shù)實部能判別系統(tǒng)分叉特性，通過微分方程的三次共振項系數(shù)實部比較系統(tǒng)的線性、非線性臨界速度。選取了四組有代表性的懸掛參數(shù)，在這四組參數(shù)下，轉(zhuǎn)向架橫移運動的分叉曲線如圖7所示(為了表達方便，不穩(wěn)定極限環(huán)也用實線表示)，其Rec1(0)值見表2。

圖7 四組懸掛參數(shù)下的轉(zhuǎn)向架橫移極限環(huán)曲線

表2 四組懸掛參數(shù)下的Rec1(0)的比較

從圖7和表2可以看出，線性臨界速度相差較大，非線性臨界速度不一定相差很大(第一組與第二組比較)；線性臨界速度相差較小，非線性臨界速度不一定相差很小(第三組與第四組比較)。線性臨界速度大，非線性臨界速度不一定大(第一組與第三組比較)。所以，線性臨界速度與非線性臨界速度之間沒有必然的關系。但是通過比較Rec1(0)，可以得到這樣一個規(guī)律：每組的線性臨界速度與非線性臨界速度相差越大，Rec1(0)值越大，這個規(guī)律反映在極限環(huán)曲線上就是極限環(huán)曲線越往左“扭曲”，其Rec1(0)值越大，這與文獻[18]得出的結(jié)論是一致的。因此在確定懸掛參數(shù)時，在線性臨界速度比較接近的幾組參數(shù)中，可以直接通過比較Rec1(0)值來比較非線性臨界速度大小，而不必畫出極限環(huán)曲線，這樣可以節(jié)約大量的計算時間。

5 結(jié)論

(1)在選取電機懸掛參數(shù)時，要兼顧轉(zhuǎn)向架的線性臨界速度和非線性臨界速度，因為線性臨界速度高，非線性臨界速度不一定高。

(2)相對于轉(zhuǎn)向架的線性臨界速度，其非線性臨界速度對電機懸掛參數(shù)不敏感，特別是當電機懸掛頻率fy、阻尼比ξy較大時，非線性臨界速度基本上不受懸掛參數(shù)的影響。

(3)電機質(zhì)量對轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度都有較大的影響，但線性臨界速度受其影響程度要比非線性臨界速度大。

(4)轉(zhuǎn)向架的線性臨界速度與非線性臨界速度相差越大，系統(tǒng)方程在分叉點的三次共振項系數(shù)實部(即Rec1(0))越大。