七君

長久以來，不光普通人鬧不明白，數(shù)學(xué)家們也不敢說自己搞懂了。無窮大好像鬼，人人都聽說過它，但是卻不理解它，更沒有見過它的真面目。

認(rèn)識(shí)這個(gè)暈倒的8么：∞

它和8其實(shí)不是一個(gè)品種，它的本名叫做無窮大，它并不是一個(gè)數(shù)。

無窮大，很奇怪，五歲的小朋友就能理解，無窮大有多大。比如你隨便想出一個(gè)數(shù)字，總可以再找一個(gè)比它大的數(shù)字。

可是，無窮大是不是只有一個(gè)品種呢？

第一個(gè)發(fā)現(xiàn)無窮大并不是只有一種的人，進(jìn)了精神病院。

首先要明白的是，無窮大和8不一樣，它不是一個(gè)數(shù)。如果它是一個(gè)數(shù)，那么你只要給它加個(gè)1，那么就可以產(chǎn)生一個(gè)比它更大的值了。顯然，無窮大并不參與你的這種加一游戲，你一要玩這種游戲，它就掉線。

所以，無窮大到底是什么來頭？

長久以來，不光普通人鬧不明白，數(shù)學(xué)家們也不敢說自己搞懂了。無窮大好像鬼，人人都聽說過它，但是卻不理解它，更沒有見過它的真面目。后來，出現(xiàn)了一個(gè)人，他開始思考，無窮大會(huì)不會(huì)也有不同品種呢？

他做了這樣一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)，并且發(fā)現(xiàn)，一些無窮大，居然比其他的無窮大還要大。

我們先從簡單的講起。有一種無窮大用人類的大腦還是能理解的，因?yàn)楹统ＷR(shí)比較接近嘛。

比如，1， 2， 3， 4， 5， 6 ……這些正整數(shù)可以一直延伸到無窮大對(duì)吧？負(fù)整數(shù)也是一樣，-1， -2， -3， -4， -5， -6……

隨便你說一個(gè)整數(shù)，不管它有多大，只要你愿意寫，就可以一直寫到這個(gè)整數(shù)。換句話說，任意整數(shù)都可以被你安排到上面這列數(shù)字里。因此，列出這些無窮多個(gè)數(shù)字的集合，叫做可數(shù)無窮。

其實(shí)，分?jǐn)?shù)也屬于可數(shù)無窮哦。比如我們做這樣一個(gè)表出來：

1/1， 1/2， 1/3， 1/4， 1/5， 1/6， 1/7……

2/1， 2/2， 2/3， 2/4， 2/5， 2/6， 2/7……

3/1， 3/2， 3/3， 3/4， 3/5， 3/6， 3/7……

4/1， 4/2， 4/3， 4/4， 4/5， 4/6， 4/7……

5/1， 5/2， 5/3， 5/4， 5/5， 5/6， 5/7……

……

隨便你想到一個(gè)什么樣的分?jǐn)?shù)，它都可以在上面這個(gè)表里被找到，所以分?jǐn)?shù)也屬于可數(shù)無窮。

好的，那么，你能用同樣的方法，做出0-1之間所有的有理數(shù)和無理數(shù)的數(shù)列，或者表格么？如果你覺得可以，那我們來試試下面這個(gè)例子。假設(shè)你列出了所有0-1之間的數(shù)，如下：

0.82705736……

0.31023865……

0.62087906……

0.55293091……

0.75235073……

……

我們現(xiàn)在就來證明，我總是可以造出一個(gè)0-1之間的數(shù)，而且它絕對(duì)不在你列的這些無窮多的數(shù)里面。

我是這樣干的，我取0.82705736……的8，0.31023865……的1……

也就是畫一條對(duì)角線，取出這條對(duì)角線和你列出的這些數(shù)相交的部分，組成一個(gè)新的數(shù)，也就是0.81095……現(xiàn)在我用這個(gè)0.81095……干這樣一件事，我把里面的1改成2，非1的數(shù)改成1，所以這個(gè)數(shù)就變成了：

0.12111……

這個(gè)數(shù)有什么奇怪的呢？奇怪就奇怪在，它肯定不在上面你列的那無窮多的數(shù)里面。

我們來證明一下。比如，0.12111……的小數(shù)點(diǎn)后第1位（1）和你的第1個(gè)數(shù)0.82805736……的小數(shù)點(diǎn)后第1位的8不一樣…它的第2位（2）和你的第2個(gè)數(shù)0.31023865…的小數(shù)點(diǎn)后第2位的1不一樣……它的第3位（1）和你的第3個(gè)數(shù)0.62087906……的小數(shù)點(diǎn)后第3位的0不一樣……

實(shí)際上，如果你說我造出的數(shù)和你的第N個(gè)數(shù)一樣，你喊你的那個(gè)第N個(gè)數(shù)出來，它敢答應(yīng)嗎？

根據(jù)我設(shè)定的規(guī)則，我造的數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的第N位，就是和你的第N個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后第N位不一樣，它當(dāng)然不敢動(dòng)啊。

當(dāng)然，除了我設(shè)定的這種造數(shù)規(guī)則，還有其他各種各樣的規(guī)則，可以把0.81095……變成列表里沒有的數(shù)。

所以，0-1之間的數(shù)，不是可數(shù)無窮。這個(gè)無窮大，比自然數(shù)的無窮大可要大多了，因?yàn)樽匀粩?shù)的無窮大還可以被你列表，但是0-1之間的數(shù)卻永遠(yuǎn)沒辦法列出來。

那就給這樣的無窮大取個(gè)名字唄，就叫不可數(shù)無窮吧。

當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)無窮大還可以這樣玩的人，并不像我這樣開心。

這個(gè)人，是個(gè)戰(zhàn)斗種族裔，在自帶不開心的種族屬性的德意志受的教育。他的名字，叫做格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）。

他是在1874年的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了無窮大的野生品種這個(gè)秘密的，并且為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)核心——集合論打下了基礎(chǔ)。不過，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們各種不適應(yīng)無窮大新品種的概念，他們各種嘲笑康托爾。

同時(shí)期的數(shù)學(xué)家有多么不理解他的研究呢？

比如，法國最偉大的數(shù)學(xué)家之一龐加萊這樣評(píng)價(jià)康托爾的集合論：“后世的人會(huì)把集合論看做一個(gè)人曾經(jīng)生過的一場病?！?/p>

又比如，1881年哈勒·維騰貝格大學(xué)（Martin-Luther-University Halle-Wittenberg）的數(shù)學(xué)家愛德華·海涅（Eduard Heine）去世后，康托爾推薦了三個(gè)數(shù)學(xué)家頂替他的位子，分別是理查德·戴德金（Richard Dedekind）、安里西·韋伯（Heinrich Weber）、弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）。但好死不死，這三個(gè)人都拒絕了康托爾的提名，不肯過來。

別說德高望重的數(shù)學(xué)家的隔空放炮，就連身邊的多年好友也不理解他。

1885年，他多年的好友、瑞典數(shù)學(xué)家哥斯塔·米塔·列夫勒（G?sta Mittag-Leffler）變成了高級(jí)黑，勸他把一篇論文從頂級(jí)數(shù)學(xué)期刊——《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》（Acta Mathematica）上撤稿，理由是這篇文章“早了100年”。

就連他常年的好友、數(shù)學(xué)家赫爾曼·施瓦茨（Hermann Schwarz）和戴德金也為了避嫌而分別在1880年和1882年和康托爾中斷了往來。

搞到后來，同時(shí)代的大佬哲學(xué)家，比如維特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）都蹦出來添亂，說康托爾的集合論挑戰(zhàn)了他們對(duì)上帝的看法，簡直大不敬。

公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯的門徒希帕索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn) 是無理數(shù)，證明畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所認(rèn)為的“所有數(shù)都是有理數(shù)”的看法是錯(cuò)的。

死人是不能出賣這個(gè)秘密的，因此畢達(dá)哥拉斯的其他門徒把希帕索斯丟到海里淹死了，史稱第一次數(shù)學(xué)危機(jī)……

而在兩千年后，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)有理數(shù)之間夾著無窮多無理數(shù)的康托爾，就這樣，在這些數(shù)學(xué)家們的強(qiáng)烈鄙視和一連串暴擊之下，在1884年被生生地懟抑郁了，在人生的最后階段都不想搞數(shù)學(xué)了，一心一意地?fù)湓谏勘葋喓透ヌm西斯·培根之間的關(guān)系上。

最后，康托爾住進(jìn)了德國哈勒的精神病院，并且死在了那里。

好在死后又過了數(shù)十年，康托爾終于被平反。

曾經(jīng)罵他瀆神的維特根斯坦也良心發(fā)現(xiàn)，親自撰文哀悼，說當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界指責(zé)集合論的說法是“可笑”、“錯(cuò)誤”的“無稽之談”。

德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）揮一揮手，人都被你們逼死了，你們都別說了：

“沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去。”（Aus dem Paradies， das Cantor uns geschaffen， soll uns niemand vertreiben k?nnen.）

所以，看不懂無窮大又有什么關(guān)系呢……你只不過犯了和龐加萊、戴德金、維特根斯坦……一樣的錯(cuò)。你總是可以找到犯了這個(gè)錯(cuò)的人，而且TA不在前面這串人名里。