(河南科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 洛陽 471023)

分數(shù)階微積分是研究分數(shù)階次的微積分算子特性以及分數(shù)階微分方程的理論，已經(jīng)有逾300年的歷史。隨著對分數(shù)階微積分研究的不斷深入，研究者普遍認為分數(shù)階微積分是整數(shù)階微積分的自然推廣[1]，極大地擴展了人們所了解的整數(shù)階微積分的描述能力。現(xiàn)今，混沌現(xiàn)象不僅是物理界研究的熱點，也受到了工程技術(shù)界的廣泛關(guān)注。近年來，混沌系統(tǒng)的控制與同步已成為控制理論與控制工程領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容。

自1990年P(guān)ecora和Carroll提出混沌同步的思想以來，混沌系統(tǒng)的同步問題研究得到了蓬勃的發(fā)展[2-5]，隨著分數(shù)階微積分的發(fā)展以及混沌系統(tǒng)研究的深入，分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步及其應(yīng)用已經(jīng)成為非線性科學(xué)中的一個重要研究課題[6-14]，提出了很多分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步方法，如模糊控制[9]、變結(jié)構(gòu)控制[10]、非線性控制[11]、自適應(yīng)控制[12]、耗散控制和反演控制[13]等等。其中反演方法是最常用的方法之一。該方法在遞推過程中，巧妙的構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)并且設(shè)計虛擬控制輸入[15-16]，而真實控制輸入根據(jù)反饋設(shè)計，在遞推終端得到，最終基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論得到系統(tǒng)受控穩(wěn)定的充分條件。針對分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)，文獻[14]設(shè)計了反演控制器，使得分數(shù)階Genesio-Tesi主從混沌系統(tǒng)達到同步。文獻[17]討論了帶有未知參數(shù)的分數(shù)階Coullet混沌系統(tǒng)的同步問題，設(shè)計了自適應(yīng)反演控制器。

另一方面，滑模變結(jié)構(gòu)控制已經(jīng)形成了一個相對獨立的研究分支，適用于線性與非線性系統(tǒng)、連續(xù)與離散系統(tǒng)、確定性與不確定性系統(tǒng)等，在實際工程中逐漸得到推廣應(yīng)用?；？刂圃诨煦缦到y(tǒng)的同步研究中也得到了應(yīng)用，文獻[18]針對一類帶有外部擾動的分數(shù)階混沌系統(tǒng)，研究了自適應(yīng)滑模同步問題；文獻[19]采用主動滑?？刂铺接懥朔謹?shù)階主從結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步問題。針對帶有時滯的分數(shù)階混沌系統(tǒng)，文獻[20]基于自適應(yīng)模糊滑?？刂蒲芯苛藘蓚€不同的帶有不確定參數(shù)的分數(shù)階時滯混沌系統(tǒng)的同步問題。

自整數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)在1992年提出以來[21]，分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)也得到了眾多學(xué)者的重視。文獻[22]利用一個標(biāo)量驅(qū)動信號，使得分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)達到同步；文獻[23]基于主動控制和滑?？刂苾煞N方法，研究了分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的混沌動態(tài)及其同步問題。雖然針對分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的同步已有一些研究成果，但是基于反演滑?？刂萍夹g(shù)，實現(xiàn)分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)同步的研究仍然是一個空白。

本研究分析帶有參數(shù)不確定和外部擾動的分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點，用反演設(shè)計方法在遞推過程中對Lyapunov子函數(shù)和虛擬控制輸入進行設(shè)計，并在反演終端加入滑?？刂坡?，完成了能夠使帶有參數(shù)不確定和外部擾動的分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)與分數(shù)階驅(qū)動系統(tǒng)漸近同步的反演滑模控制器的設(shè)計。最后利用數(shù)值仿真驗證提出的分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)反演滑模同步算法的有效性。

1 分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)

由于Genesio-Tesi系統(tǒng)具備混沌系統(tǒng)的很多特征，因此成為混沌系統(tǒng)的代表之一。該系統(tǒng)包含了一個平方項和三個簡單的微分方程且微分方程取決于三個正實參數(shù)，其系統(tǒng)動態(tài)方程為

(1)

式中：x1,x2,x3是狀態(tài)變量；a,b,c是正實數(shù)且滿足ab

為了觀測Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的同步現(xiàn)象，設(shè)定系統(tǒng)(1)為驅(qū)動系統(tǒng)，作為系統(tǒng)(1)的響應(yīng)系統(tǒng)的動態(tài)方程為

(2)

式中：y1,y2,y3是狀態(tài)變量；a,b,c是正實數(shù)且滿足ab

需要設(shè)計一個控制器u(t)來控制響應(yīng)系統(tǒng)，使響應(yīng)系統(tǒng)(2)與驅(qū)動系統(tǒng)(1)實現(xiàn)漸近同步?？紤]到實際情況中不可避免地存在不確定項與外部擾動項，設(shè)計受控的響應(yīng)系統(tǒng)：

(3)

式中：y1,y2,y3是狀態(tài)變量；a,b,c是正實數(shù)且滿足ab

驅(qū)動系統(tǒng)(1)和受控響應(yīng)系統(tǒng)(3)之間的誤差信號e(t)的數(shù)學(xué)模型如下：

(4)

在控制器u(t)作用下，系統(tǒng)(3)與系統(tǒng)(1)實現(xiàn)漸近同步，也就是說誤差信號e(t)收斂至零。其誤差信號e(t)的動態(tài)模型如下：

(5)

將分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的模型描述為

(6)

式中：α為分數(shù)階且0<α≤1；x1,x2,x3是狀態(tài)變量；a,b,c是正實數(shù)且滿足ab

同理，由系統(tǒng)(2)可以得到系統(tǒng)(6)的響應(yīng)系統(tǒng)的動態(tài)方程

(7)

其受控的分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)模型為

(8)

分數(shù)階驅(qū)動系統(tǒng)(6)與受控的分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)(8)之間的誤差信號動態(tài)方程為

(9)

2 分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的反演滑模同步

分數(shù)階微分有三種最典型的定義，即Riemann-Liouvile定義、Grünwald-Letnikov定義和Caputo定義。由于在初始條件下，整數(shù)階微分方程沿用了相同的形式，所以Caputo定義已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于工程實踐。本文也采用Caputo定義來對特定的方程進行分數(shù)階微分。

定義1[1]對于一個連續(xù)的函數(shù)f，對其進行關(guān)于α階次的分數(shù)階求導(dǎo)定義如下

式中，Γ是伽馬函數(shù)并且滿足

引理1[24]如果x(t)∈Rn是微分函數(shù)的一個向量，則在時間t≥t0的任意時間里，下列關(guān)系恒成立。

式中，P∈Rn×n是一個常數(shù)對稱且正定的矩陣。

定理1帶有不確定參數(shù)和外部擾動的分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)(8)和分數(shù)階驅(qū)動系統(tǒng)(6)能夠達到漸近同步的條件是控制器u(t)設(shè)計如下：

u(t)=ueq+uc

=-[(3-a+x1+y1)e1+(5-b)e2+(3-c)e3

+Δf(y1,y2,y3)+d+k4s+k5sgn(s)]，

式中，

ueq=-[(3-a+x1+y1)e1+(5-b)e2+(3-c)e3+Δf(y1,y2,y3)+d]，

uc=-k4s-k5sgn(s)。

證明：首先定義一個Lyapunov函數(shù)，形式如下

，

(10)

式中，z1=e1。

根據(jù)引理1，對式(10)進行階次為α關(guān)于時間的分數(shù)階微分求導(dǎo)，得到

(11)

接著，選取第二個Lyapunov函數(shù)，形式如下

(12)

式中，z2作為虛擬輸入且滿足z2=e1+e2。

根據(jù)引理1，對式(12)進行階次為α關(guān)于時間的分數(shù)階微分求導(dǎo)，得到

(13)

最后，選取第三個Lyapunov函數(shù)，形式如下

(14)

定義切換函數(shù)為

s=k1e1+k2e2+k3e3，

(15)

式中，選取k1=2,k2=2,k3=1

根據(jù)引理1，對式(13)進行階次為α關(guān)于時間的分數(shù)階微分求導(dǎo)，得到

DαV3≤DαV2+sDαs

(16)

將u(t)代入式(16)，可得DαV3<0，則定理得證。

圖1 系統(tǒng)(6)的相軌跡Fig.1 Phase trajectory of system (6)

圖2 加入?yún)?shù)不確定與外部擾動的系統(tǒng)(6)的相軌跡Fig.2 Phase trajectory of the system (6)with uncertain parameters and external disturbance

3 仿真算例

本節(jié)通過數(shù)值仿真來驗證上述所設(shè)計的反演滑?？刂破鞯挠行?。

令α=0.97,a=1.2,b=2.92,c=6,

k1=2,k2=2,k3=1,k4=2,k5=5，

d=cos2t,Δf(y1,y2,y3)=0.2sin(2πy1)。

取初值為(x1(0),x2(0),x3(0))=(3,3,3),(y1(0),y2(0),y3(0))=(-3,-3,-5)，圖1表示系統(tǒng)(6)的相軌跡圖，圖2表示考慮不確定性和外部擾動的系統(tǒng)(6)的相軌跡圖，圖3代表驅(qū)動系統(tǒng)(6)和響應(yīng)系統(tǒng)(8)的狀態(tài)軌跡圖，圖4是同步誤差信號e(t)的響應(yīng)圖，圖5～6分別表示滑模平面s(t)和控制輸入u(t)?？梢钥闯?，所設(shè)計的反演滑模控制器能夠保證驅(qū)動系統(tǒng)(6)和響應(yīng)系統(tǒng)(8)的漸近同步。

圖3 受控的分數(shù)階驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.3 State trajectories of the controlled fractional drive system and response system

圖4 同步誤差信號e1,e2,e3關(guān)于時間t的響應(yīng)圖Fig.4 Synchronization errors e1,e2,e3 with time t

圖5 滑模平面s(t)關(guān)于時間t的響應(yīng)Fig.5 Response of sliding surface s(t)with time t

圖6 分數(shù)階控制器u(t)狀態(tài)響應(yīng)Fig.6 Response of controller u(t)with time t

4 結(jié)論

研究了帶有參數(shù)不確定分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的反演滑模同步問題，基于反演控制策略設(shè)計所給系統(tǒng)的李雅普諾夫子函數(shù)與虛擬控制輸入；然后在此基礎(chǔ)上設(shè)計滑模面，得到了能夠使帶有參數(shù)不確定與外部擾動的分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)與分數(shù)階驅(qū)動系統(tǒng)漸近同步的反演滑?？刂破?。最后，通過仿真驗證了所設(shè)計控制器的有效性。在后續(xù)的研究中，將針對分數(shù)階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)進行自適應(yīng)模糊或自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制與同步方面的研究。