馬蕓 夏錦紅 桂超

摘要：為了研究土中水相變（潛熱）熱傳導過程中凍結溫度場演變規(guī)律，構建了穩(wěn)定線性冷源作用下單管凍結相變溫度場模型，由變量替換法求得凍結溫度場隨凍結時間演變規(guī)律近似解析解，同時利用指數(shù)積分函數(shù)解析式表達了凍結區(qū)和未凍結區(qū)的溫度場分布，并將理論解析解與凍結槽試驗結果進行比對。研究表明：理論與試驗結果誤差在合理范圍內，驗證了瞬態(tài)凍結溫度場分布近似解析解的有效可靠性;單管凍結鋒面半徑和凍結時間有著平方根關系;凍結溫度場在時空維度上服從對數(shù)分布，且曲線曲率隨凍結時間的增加而逐漸減小。研究成果對認識穩(wěn)定線性冷源作用下凍結管周圍不良地基土溫度場演變規(guī)律和指導凍結法施工技術有重要意義。

關鍵詞：凍結溫度場; 相變; 凍結鋒面半徑; 理論解析; 凍結槽試驗

中圖法分類號： TD265.34文獻標志碼： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2019.02.030

目前，限于對凍融過程、凍土參數(shù)、凍結區(qū)域的有限認識，導致在施工過程中為了所謂“絕對安全”而采取過大的凍結區(qū)和過低的凍結溫度，從而引起凍結區(qū)土體過大的凍脹和融沉，最終導致過長的工期和能源浪費。因此，在保障凍結法施工安全的前提下，合理確定凍結區(qū)域和凍結溫度就顯得非常重要[1]。

目前，人工凍結溫度場演變規(guī)律研究主要有理論解析、現(xiàn)場實測（凍結試驗）和數(shù)值模擬3種方法。其中，在理論解析方面，不少學者[2-6]針對凍結溫度場演變規(guī)律進行了研究。另外，文獻[7-10]基于現(xiàn)場實測資料（凍結試驗）方法及文獻[11-14]基于數(shù)值模擬計算方法研究凍結溫度場變化結果對于凍結溫度場演變規(guī)律的理解、分析和解釋也較為重要。然而，單管凍結溫度場演變規(guī)律的準確解析表達是研究多凍結管溫度場的基礎前提。目前，考慮土中水相變（潛熱）熱傳導過程的凍結溫度場演變規(guī)律研究還不成熟，且已有研究結果大多未得到有效可靠驗證。

由此，將單根凍結管簡化為軸對稱平面熱傳導問題，結合凍結鋒面將受影響的土體溫度范圍劃分為凍結區(qū)和降溫區(qū)，采用變量代換法求解相變熱傳導方程，同時基于指數(shù)積分函數(shù)的級數(shù)展開式得到土體凍結區(qū)及降溫區(qū)的溫度分布表達式。結合天津地鐵2號線機場延長線1號聯(lián)絡通道凍結工程現(xiàn)場資料，進行了單根凍結管凍結槽試驗。最后將單根凍結管凍結溫度場近似解析解與凍結試驗結果進行比對，驗證了理論分析的有效可靠性。

1軸對稱熱源溫度場方程的解析解

1.1基本假定

本文主要對凍結區(qū)和降溫區(qū)（凍結管引起的周圍傳熱介質凍結區(qū)和降溫區(qū)如圖1所示）采用圓管穩(wěn)定導熱方程進行計算。為便于理論推導作如下假定：① 將研究問題簡化為單管軸對稱平面熱傳導問題;② 凍結管周圍土體為均質連續(xù)體;③ 凍結管所吸收熱量不隨時間變化;④ 忽略凍結管徑影響（為冷源點）;⑤ 遠場土體溫度為恒值。

1.2相變溫度場控制方程

凍結區(qū)溫度場如下

T1t=a1（?2T1r?2+1r?2T1r?2）（ξ≤r<∞）（1）

降溫區(qū)溫度場如下

T2t=a2（?2T2r?2+1r?2T2r?2）（r0≤r<ξ）（2）

邊界條件

T1（r，0）=T0（3）

T1（∞，t）=T0（4）

1.3相變熱傳導方程

T1（ξ，t）=T2（ξ，t）=Td（5）

T2（R0，t）=Tc（6）

λ2T2（ξ，t）r-λ1T1（ξ，t）r=ψt（7）

式中，T1（r， t），T2（r， t）分別為凍結區(qū)、降溫區(qū)的溫度，℃;r是以凍結管中心為原點的圓柱坐標，m;t為凍結時間，d;T0為土體的初始溫度，℃;Td，Tc分別為土體的凍結溫度和凍結管外壁溫度，℃;λ1，λ2分別為降溫區(qū)、凍結區(qū)的導熱系數(shù)，kJ/（m·d·℃），其中λn=an·cn;an為導溫系數(shù)，m?2/d;cn為容積比熱，kJ/（m?2·℃）;R0為凍結管布置圈半徑，m;R為凍結影響半徑，m;ξN為凍結鋒面在N區(qū)域內的坐標，m，當N=1時，表示0≤ξ1≤R0，當N=2時，表示R0≤ξ1≤R;ξ=ξ（t）為凍結鋒面半徑，m;ψ為單位體積傳熱介質的結冰潛熱，kJ/m?3，ψ=（W-WH）·Ω·ρs，W為土中總含水量，%;WH為凍土中未凍水含量，%;ρs為土體密度，kg/m?3;Ω為水的相變潛熱，通常取336 kJ/kg。

引入替換變量x1，x2，即

x1=r?24a1tx2=r?24a2t（8）

由式（1）～（6），相變熱傳導方程解可表示為

T1=T0+Td-T0E1（β）E1（r?24a1t）（ξ≤r<∞）（9）

T2=Tc+Td-Tcg（aβ）g（r?24a2t）（R0≤r<ξ）（10）

式中，a=a1a2;β為待求參數(shù)，E1（x）=∫?∞xe-xxdx，E1（x）為指數(shù)積分函數(shù)，用級數(shù)可表示為

E1（x）=-0.577216-lnx-∞i=1（-1）?ix?ii·i！（11）

為更容易求得函數(shù)值，E1（x）還用多項式表示為

E1（x）=-lnx-5i=0bix?i+ε（x）|ε（x）|<2.0×10-70

式中，b0=-0.577 215 66，b1=0.999 991 93，b2=-0.249 910 55，b3=0.055 199 68，b4=-0.009 760 04，b5=0.001 078 57。

xe?xE1（x）=x?2+d1x+d2x?2+d3x+d4+ε（x）|ε（x）|<5.0×10-51≤x≤∞（13）

式中，d1=2.334 733，d2=0.250 621，d3=3.330 657，d4=1.681 534。

β=ξ?24a1t（14）

將式（9）、（10）代入式（7），得

a1ψβ-λ1（Td-T0）E1（β）e-β-λ2（Td-Tc）e-aβg（aβ）=0（15）

進而有

ξ=2a1βt（16）

凍結能力Q為

Q=2πR0λ2T2（R0，t）r（17）

將式（10）代入式（17），則有

Q=4πλ2Td-Tc（R0，t）g（aβ）e-R?20a2（18）

由式（18）可知，對Q影響最大的是λ2和（Td-Tc），其呈現(xiàn)出正比例關系?；谟嬎阏`差不超過

1%，有

Q=4πλ2Td-Tcg（aβ）（t>25R?20a2）（19）

2解適用條件及無量綱表達

作變量替換如下

Tn=Td+（T0-Td）θnn=1，2t=R?20a1τR=R0rξ=R0bq=Qλ2（T0-Td）（20）

式中，θ1，θ2分別為未凍土和凍結土無量綱溫度;τ為無量綱時間;r，b分別為無量綱徑向坐標和凍結鋒面半徑;q為凍結管壁無量綱熱流密度。

將式（20）分別代入式（9）和式（10）得

θ（r，τ）=1-f（r?24τ）f（β）（b≤r<∞）（21）

θ2（r，τ）=θc[1-g（ar?2/4τ）g（aβ）]（0

式中，θc=（Tc-Td）/（T0-Td）。

參數(shù)β為

β=b?24τ（23）

此時，確定參數(shù)β的超越方程式（15）為

Kβ+e-βf（β）-λθce-aβg（aβ）=0（24）

式中，K=ψ/[c1（T0-Td）];λ=λ1/λ2。

由超越方程（24），得參數(shù)β，將其再代入式（23）可得凍結鋒面的無量綱半徑b為

b=2βτ（25）

由此，無量綱熱流密度為

q=-4πθcg（aβ）e-a4τ（26）

q=-4πθcg（aβ）（τ>25a）（27）

3溫度場凍結槽試驗

為驗證理論推導的正確性，在凍結模型槽內進行穩(wěn)定冷源作用下單根凍結管溫度場演變試驗。凍結試驗土樣取自天津地鐵2號線機場延長線工程項目。聯(lián)絡通道底板以上位于含黏性土粉砂層中，通過對不同地層土樣進行熱物理力學參數(shù)試驗[15]，所得凍土熱物理參數(shù)如表1所列。

單根凍結管溫度場試驗槽如圖2（a）所示，槽內加墊石棉纖維毯（厚度25 mm），如圖2（b）所示。試驗槽內部尺寸為1.1 m×0.25 m×0.8 m。在試驗槽中央插入Φ42 mm×0.8 m的凍結管，沿試驗槽長度方向0.4 m土層深度處每隔0.1m布置一個測溫點，由凍結管徑向邊界測點編號分別為C1～C5。凍結試驗中，室溫為10℃，空氣濕度為40%。使用鹽水作為低溫冷媒劑。凍結孔單孔流量為5 m?3/h，7d的積極凍結使鹽水溫度降至-20℃以下，去、回路的鹽水溫差控制在2℃以內，保證提供穩(wěn)定冷源溫度為-20℃，積極凍結時間為60 d。

4結果分析與討論

據(jù)凍結資料及凍土和未凍土的熱物理性質，計算參數(shù)取值如下：R0=0.08 m，T0=10℃，Td=0℃，Tc=-20℃，λ1=100 kJ/（m·d·℃），λ2=135 kJ/（m·d·℃），c1=2 900 kJ/（m?3·℃），c2=2 100kJ/（m?3·℃），ψ=2.0×10?5 kJ/m?3，ρs=1 600 kg/m?3，W=32%，WH=5.0%。由式（15）或（24）迭代計算求得β=0.2。由式（16）得ξ=0.058t。當t>3 d后，凍結管壁熱流密度Q即處于穩(wěn)定狀態(tài)，此時Q=1.12×10?4 kJ/（m·d）。

圖3為與凍結管間距為0.3 m的測溫孔C3凍結溫度隨凍結時間變化曲線。由圖3可知，測溫孔凍結溫度與凍結時間關系為瞬態(tài)溫度演變，降溫區(qū)和凍結區(qū)溫度演變均符合對數(shù)變化規(guī)律，且在凍結初期，理論解析封閉解大于凍結試驗實測值。

圖4為凍結過程中分別為20，40 d和60 d時刻的凍土圓柱面內各測溫點凍結溫度分布情況。凍結瞬時凍土柱面內各測溫點凍結溫度為穩(wěn)態(tài)的，凍結初期理論計算值下降較快，凍結后期其與凍結試驗實測溫度值接近。

圖5位凍結鋒面半徑隨凍結時間由凍結管徑向向外邊界擴展曲線。凍結鋒面半徑隨凍結時間增長呈現(xiàn)出冪指數(shù)關系，凍結初期理論計算值大于試驗結果，而凍結后期，凍結試驗得出的凍結鋒面半徑略大于理論解析計算結果。

試驗過程中土樣的初始溫度、凍結溫度、土水耦合傳熱介質的相變潛熱及鹽水溫度等因素的變化對凍結鋒面均有顯著影響，但理論解析解與試驗結果總體變化規(guī)律和趨勢基本一致。理論計算與凍結試驗所得凍結鋒面半徑結果誤差為10%以內，為可接受范圍。由此可知，所推導理論計算結果是有效可靠的。由于凍結試驗過程耗時較長，時間成本和經(jīng)濟成本均較高，可采用經(jīng)由試驗有效可靠性檢驗的理論解析解分析更多凍結溫度場演變過程。

5結 論

（1） 針對穩(wěn)定線性冷源作用下土體凍結過程中的瞬態(tài)溫度場進行了解析表達，其中，單管凍結鋒面半徑和凍結時間有著平方根關系，并由凍結槽試驗驗證了理論解析解的有效可靠性。

（2） 由指數(shù)積分函數(shù)近似級數(shù)形式求得了距離凍結管不同測點的溫度。凍結溫度場在時間和空間上呈對數(shù)型函數(shù)分布，且曲率隨凍結時間的增加而逐漸減小。

（3） 由凍結相變過程分析得出了凍結鋒面半徑與時間之間的理論解析表達式。基于凍結鋒面半徑隨凍結時間變化規(guī)律參數(shù)化的敏感性分析，優(yōu)化凍結參數(shù)，有效地評估凍結法對周圍環(huán)境的影響。在保證滿足凍結法施工要求的前提下，施工可做到節(jié)約能源、縮短工期。

今后研究應考慮多根凍結管不同布置方式（并行、交叉等），研究凍結溫度場交圈、凍結管間距、凍結管排數(shù)等更為復雜因素引起的傳熱介質凍結溫度場隨凍結時間的變化規(guī)律。研究成果對認識不良地基土體凍結溫度場分布瞬態(tài)演變規(guī)律和進一步指導凍結法施工設計等具有重要的工程意義。

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（編輯：鄭 毅）

引用本文：馬蕓，夏錦紅，桂超.單管凍結溫度場演變規(guī)律分析及試驗驗證[J].人民長江，2019，50（2）：169-173.

Development law of soil temperature field caused by freezing pipe and its freezing test verification

MA Yun?， XIA Jinhong1，2， GUI Chao1，3

（1.School of Civil Engineering and Architecture， Xinxiang University， Xinxiang 453003， China;2.School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China;3.School of Energy and Power Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： A phase-transition temperature field model for artificial single pipe freezing with a stable linear cold source was established and approximate analytical solution for freezing temperature development with time was obtained by variable substitution method. The temperature distributions in the frozen and non-frozen fields were expressed by an exponential integral function， and the theoretical results were compared with the freezing model test. The research results show that the error between theoretical calculation and test result is within a reasonable range， which verified the effectiveness and reliability of the approximate analytical solution for transient freezing temperature field distribution; the relation between the freezing-front radius and freezing time follows square root equation; the temperature field for a single freezing pipe obeys a logarithmic function in time and space and its curvature decreases with time. The research results have an important engineering significance to understanding the temperature field evolution law of poor foundation soil surrounding a freezing pipe under a stable linear cold source and guiding the freezing construction technology.

Key words：freezing temperature field; phase change; frozen front radius; theoretical analysis; freezing tank test