文古作軍

文古作軍

一、利用三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等證明全等出錯(cuò)

例1如圖1，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E為AC和BD的交點(diǎn)?！鰽DB與△BCA全等嗎？并說明理由。

圖1

【錯(cuò)解】△ADB≌△BCA。

∵∠C=∠D ，∠CAB=∠DBA，∴∠DAB=∠CBA，∴△ADB≌△BCA（AAA）。

【知錯(cuò)】兩個(gè)三角形全等結(jié)論是對(duì)的，但三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等不能作為三角形全等的判定條件。證明三角形全等，至少要有一條邊對(duì)應(yīng)相等。因?yàn)榻菦Q定三角形的形狀，邊決定三角形的大小。

【正解】△ADB≌△BCA。

∵∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，AB=BA（公共邊），∴△ADB≌△BCA（AAS)。

二、利用兩邊及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等證明全等出錯(cuò)

例2如圖2，已知△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，且CD=BE?！鰽DC、△AEB全等嗎？并說明理由。

圖2

【錯(cuò)解】△ADC≌△AEB。

∵AB=AC，BE=CD，∠A=∠A，

∴△ADC≌△AEB（SSA）。

【知錯(cuò)】錯(cuò)解在于把“SSA”作為三角形全等的判定條件，這是全等三角形證明題中最典型的錯(cuò)誤。實(shí)際上，“SSA”不能作為三角形全等的判定條件。兩邊及一邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等需要附加條件才能成立。

【正解】△ADC≌△AEB。

∵AB=AC，D、E為AB、AC的中點(diǎn)，

∴AD=AE。

在△ADC和△AEB中，

∵AB=AC，AD=AE，CD=BE，

∴△ADC≌△AEB（SSS）。

三、利用等式的性質(zhì)證明三角形全等出錯(cuò)

例3如圖3，已知AC、BD相交于點(diǎn)O，∠A=∠B，∠ACD=∠BDC，AD=BC。試說明△AOD≌△BOC。

圖3

【錯(cuò)解】在△ADC和△BCD中，

∵∠A=∠B，∠ACD=∠BDC，DC=CD，

∴△ADC≌△BCD（AAS），

∴△ADC-△DOC=△BCD-△DOC，

即△AOD≌△BOC。

【知錯(cuò)】錯(cuò)解將等式的性質(zhì)盲目地用到三角形全等中。實(shí)際上，三角形全等的判定方法只有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”，此題不能利用等式的性質(zhì)直接求解。

【正解】在△AOD和△BOC中，

∵∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，

∴△AOD≌△BOC（AAS）。

四、生造條件參與證明出錯(cuò)

例4如圖4，在△ABC中，AD是它的角平分線，BD=CD，DE、DF分別垂直于AB、AC，垂足為E、F。求證：BE=CF。

圖4

【錯(cuò)解一】由圖可知DE=DF，

在Rt△BDE與Rt△CDF中，∵DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。

∴BE=CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。

【錯(cuò)解二】由圖可知AD⊥BC，通過證明△ABD≌△ACD，得AB=AC。再由Rt△AED≌Rt△AFD，得AE=AF，從而得到BE=CF。

【知錯(cuò)】證明過程必須要有根有據(jù)。根是題目的已知條件；據(jù)是證題的依據(jù)，即書上的公理、定理、定義等，不能想要什么條件就寫什么條件。錯(cuò)解一中認(rèn)為DE=DF，并沒有經(jīng)過證明，就直接作為已知條件應(yīng)用，因而產(chǎn)生錯(cuò)誤；錯(cuò)解二中，把AD⊥BC當(dāng)作條件，沒有經(jīng)過證明，因而也產(chǎn)生錯(cuò)誤。產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的原因是證題不嚴(yán)謹(jǐn)，推理過程不符合全等三角形的判定方法。

【正解】∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD，DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）。

∵DE、DF分別垂直于AB、AC，∴∠AED=∠AFD。又∵AD=AD，∴△DAE≌△DAF。

在Rt△BDE與Rt△CDF中，∵BD=CD，DE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。

∴BE=CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。

五、思考不全面出錯(cuò)

例5 如圖5所示，在等邊△ABC中，D、E、F分別為AB、BC、CA上一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），且AD=BE=CF，若將幾個(gè)全等的三角形看作一類，則圖中全等三角形有（ ）類。

圖5

A.3 B.4 C.5 D.6

【錯(cuò)解】A。

【知錯(cuò)】部分同學(xué)審題時(shí)過于簡單，不細(xì)心推敲，沒有靈活運(yùn)用所給條件，再推出新的結(jié)論，只是直接運(yùn)用了已知條件就做出簡單判斷。

【正解】∵AB=AC=BC，AD=BE=CF，∠BAC=∠ABC=∠ACB，∴△EBA≌△DAC≌△FCB。

∵BD=AF=EC，AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB，∴△DBC≌△FAB≌△ECA。

∵∠BAE=∠ACD=∠CBF，AD=BE=CF，∠AEB=∠ADC=∠BFC，∴△ADG≌△CFN≌△BEM。

∵ ∠ABM=∠CAE=∠BCD， AB=AC=BC，BM=AG=CN，∴△ABM≌△ACG≌△CBN。

∵∠AGD=∠EGC，∠FNC=∠DNB，∠BME=∠AMF， ∠AGD=∠FNC=∠BME， ∴ ∠EGC=∠DNB=∠AMF?！連D=AF=EC，∠DBN=∠FAM=∠ECG，∴△DBN≌△FAM≌△ECG。故選C。

同學(xué)們可以通過對(duì)全等三角形易錯(cuò)題的研究，尋找錯(cuò)誤的原因，采取相應(yīng)的糾正方法，在改正錯(cuò)題的過程中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力。