黃慧娟，歐陽凱，胡鵬浩，胡 毅

HUANG Hui-juan, OUYANG Kai, HU Peng-hao,HU Yi

（合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，合肥 230009）

0 引言

3-PUU并聯(lián)測量機結(jié)構(gòu)如圖1所示，導(dǎo)軌座焊接在三根立柱上并固定于儀器底座之上，導(dǎo)軌上的三個滑塊共用一副精密導(dǎo)軌和光柵尺，光柵尺貼于導(dǎo)軌座的側(cè)面上，光柵讀數(shù)頭位于滑塊側(cè)面。三個滑塊分別由三個分別安裝在左右兩側(cè)的立柱上的步進電機通過鋼帶進行驅(qū)動。三個滑塊通過萬向較鏈及三對連桿與動平臺相連，在動平臺上安裝有觸發(fā)測頭，他們共同構(gòu)成了測量平臺；其中，動平臺與三個滑塊均相互平行且與工作臺呈45°夾角。測量時，步進電機驅(qū)動鋼帶帶動三個滑塊在導(dǎo)軌上移動，控制測頭平動方向直到觸碰工件，同時光柵讀數(shù)頭讀取三個滑塊坐標(biāo)，根據(jù)運動學(xué)公式計算得出測頭實時坐標(biāo)。在我們項目組設(shè)計的該并聯(lián)機構(gòu)坐標(biāo)測量機的基礎(chǔ)上，本文研究了在其工作空間內(nèi)合理的軌跡規(guī)劃問題。

國內(nèi)外對并聯(lián)機構(gòu)控制通常也是采用自動領(lǐng)域的一些常規(guī)方法，如經(jīng)典的PID控制方法，PID控制對于系統(tǒng)存在較強的時變性和非線性以及耦合性的控制效果并不理想，這是因為傳統(tǒng)的PID控制只是將并聯(lián)機構(gòu)分解作為單獨的支鏈控制，而并未考慮各支鏈之間的時變性和非線性的影響。并聯(lián)機構(gòu)是典型的非線性系統(tǒng)，之后隨著非線性理論的發(fā)展出現(xiàn)了滑模變結(jié)構(gòu)控制和魯棒控制以及自適應(yīng)控制等?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)不需要精確的模型，只需要估計模型的參數(shù)變化范圍，且其控制的系統(tǒng)具有較強的抗干擾能力，但實際應(yīng)用該控制方法時系統(tǒng)產(chǎn)生抖動現(xiàn)象。魯棒的控制方法就是針對于系統(tǒng)模型存在的不確定性和非線性，設(shè)計的一種控制器來改善提高精度，現(xiàn)在經(jīng)常用的魯棒方法有魯棒自適應(yīng)控制和反饋的線性化魯棒控制已經(jīng)取得較為成熟的應(yīng)用[6]。但相比于串聯(lián)機構(gòu)的控制策略還需要很長一段時間。但對于如何改進基本控制方法，獲得較好的控制效果等方面沒有進行較為深入的研究。

考慮到測量機的運動控制需求與傳統(tǒng)的并聯(lián)機構(gòu)有所不同：1）由于測量機對于并聯(lián)機構(gòu)運動的運動學(xué)、動力學(xué)要求降低，因此測量過程中運動速度相對較慢；2）單純的并聯(lián)機構(gòu)及機器人講究運動重復(fù)性，對重復(fù)定位精度要求較高，而在坐標(biāo)測量機中，對運動軌跡的精度要求并不高，只需要保證測頭能觸碰到待測工件，并在測頭被觸發(fā)的同時保證光柵尺開始讀數(shù)即可。

基于這樣的要求，本文提出基于運動學(xué)模型的控制策略，即假定3-PUU并聯(lián)機構(gòu)中各支鏈相互獨立，互不影響的，把對測頭的運動控制轉(zhuǎn)化為對三個滑塊的獨立控制，只要通過運動學(xué)位置反解方程，利用測頭的位移變化計算出三個滑塊的位移變化，然后分別控制各個滑塊的運動就可以實現(xiàn)對測頭的運動控制。3-PUU機構(gòu)速度低，慣性小，無負載，因此，基于運動學(xué)的并聯(lián)機構(gòu)的運動控制可以取得很好的效果[1,5]。

傳統(tǒng)的插補法實際上是已知運動的起點和終點，不斷地將路線在x，y方向上直線細分。由于3-PUU并聯(lián)機構(gòu)區(qū)別于常規(guī)的數(shù)控機床在空間內(nèi)同樣的變化量均對應(yīng)重復(fù)的、機械的運動控制，大量的細分及計算并不適用于3-PUU坐標(biāo)測量機。因此本文選用速度控制法，即控制一段時間內(nèi)輸入給步進電機的脈沖數(shù)，試圖能在每一段路線上對速度的積分趨近于理論位移。

基于上述的考慮和思路，我們首先進行了該控制策略可行性的驗證，同時提出了一種可用于實際控制中的軌跡規(guī)劃方法。為此我進行了以下仿真及分析。

圖1 并聯(lián)測量機結(jié)構(gòu)

1 并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)逆解

圖2為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)模型簡圖。圖3為動平臺俯視圖。雖然每一對連桿都是等長的，但三桿模型不能保證動平臺的平動；且為了保證測量機的工作精度，我們需要保持測量模型與計算模型的一致性，因此并沒有將六桿模型簡化成三桿模型。

（x，y，z）為動平臺坐標(biāo)系原點O'在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的坐標(biāo)。x1，x2，x3分別為萬向鉸的中心B1，B3，B5在固定坐標(biāo)系O-XYZ中X軸上的坐標(biāo)。

解得測量機的逆解公式如下：

式中，l1，l2，l3分別為三對連桿的桿長，其中有l(wèi)1=l3；b-h為導(dǎo)軌底座和動平臺上各鉸鏈之間相互的位置參數(shù)如圖2、圖3所示。

2 并聯(lián)機構(gòu)的建模與仿真

2.1 SolidWorks/ADAMS聯(lián)合建模

圖2 測量模型簡圖

圖3 動平臺俯視圖

ADAMS，即機械系統(tǒng)動力學(xué)自動分析（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems），該軟件使用交互式圖形環(huán)境和零件庫、約束庫、力庫，創(chuàng)建完全參數(shù)化的機械系統(tǒng)幾何模型，其求解器采用多剛體系統(tǒng)動力學(xué)理論中的拉格朗日方程方法，建立系統(tǒng)動力學(xué)方程，對虛擬機械系統(tǒng)進行靜力學(xué)、運動學(xué)和動力學(xué)分析，輸出位移、速度、加速度和反作用力曲線。ADAMS軟件的仿真可用于預(yù)測機械系統(tǒng)的性能、運動范圍、碰撞檢測、峰值載荷以及計算有限元的輸入載荷等[2]。

本文先在SolidWorks里進行建模，選取仿真需要的必要零件，完成各零部件之間的配合后再導(dǎo)入ADAMS中。圖4為導(dǎo)入ADAMS中的簡易模型[8]。

圖4 ADAMS建模

該簡易模型包含導(dǎo)軌座，兩根導(dǎo)軌，三個滑塊，六根連桿和動平臺。通過驅(qū)動三個滑塊在導(dǎo)軌上平移帶動連桿，實現(xiàn)動平臺的三自由度移動。

2.2 軌跡規(guī)劃的兩種驅(qū)動函數(shù)

在ADAMS中，我們首先對動平臺的期望軌跡進行數(shù)學(xué)描述，將驅(qū)動設(shè)置在動平臺坐標(biāo)系原點處上，設(shè)置驅(qū)動函數(shù)，動平臺原點的位姿向量O'為[xO'，yO'，zO'，αO'，βO'，γO']，由于構(gòu)型的動平臺為平動，沒有后三個旋轉(zhuǎn)量。設(shè)計動平臺20s在xoy平面中畫出一個半徑為100mm的圓，平面內(nèi)，該圓形軌跡公式為，將其表示為時間t的函數(shù)：

設(shè)置虛擬樣機的仿真時間為20s，仿真步數(shù)為20步。仿真后可以捕捉測頭的理論軌跡。

2.2.1 公式法

3-PUU逆解公式中的參數(shù)b，c，d，e，f，h，l1，l2，l3都是已知量，將式(2)分別代入運動學(xué)逆解(1)，得出3個滑塊的運動規(guī)律，接著將3個驅(qū)動滑塊的位移數(shù)學(xué)表達式轉(zhuǎn)化成ADAMS所能識別的樣條曲線，生成對應(yīng)3個滑塊的位移驅(qū)動函數(shù)：

Motion1：AKISPL(time,0,Disp_X1,0)

Motion2：AKISPL(time,0,Disp_X2,0)

Motion3：AKISPL(time,0,Disp_X3,0)

其中，Disp_X1，Disp_X2，Disp_X3分別為測量模型中B1，B3，B5在x軸方向上的位移曲線。

同樣設(shè)置虛擬樣機的仿真時間為20s，仿真步數(shù)為20步。理想軌跡對比第二次仿真后捕捉到測頭的軌跡，如圖5所示（粗線為新的仿真軌跡）[4,7,8]。

圖5 公式法仿真曲線

2.2.2 勻速分步法

在實際實驗中，使用三個步進電機分別驅(qū)動三個滑塊沿導(dǎo)軌運動，可知步進電機的轉(zhuǎn)子半徑r（mm），細分倍數(shù)n（步/轉(zhuǎn)），再手動設(shè)定脈沖頻率f（Hz）可得步進電機的驅(qū)動速度v=2πrf/n（mm/s）。因此需要捕捉仿真時的滑塊速度曲線，由于部分步進電機脈沖頻率無法函數(shù)表示，故實際操作時，對運動分步進行單步控制，控制每一步為勻速運動。

在理論仿真中，我們將畫圓的完整運動劃分為20步，平均速度取每一段速度中點，實驗時可以劃分為更多步，延長每一步運動時間，得出的實際軌跡會更接近理論值。

經(jīng)過處理，將理論軌跡仿真時3滑塊的速度曲線轉(zhuǎn)變?yōu)殡A躍形式。分別如圖6～圖8所示。

圖6 滑塊一速度階躍函數(shù)

圖7 滑塊二速度階躍函數(shù)

圖8 滑塊三速度階躍函數(shù)

我們以階躍形式的速度為輸入作為3滑塊的驅(qū)動，重新獲得仿真軌跡，如圖9（粗線為新的仿真軌跡）所示。

3 仿真結(jié)果驗證和對比分析

為了驗證仿真軌跡的精度，需將三次仿真軌跡進行對比。將三次捕捉到的測頭軌跡在ADAMS PostProcessor Plotting中繪制出X，Y，Z三個方向上的位移曲線，再將數(shù)據(jù)點導(dǎo)出，整理如表1，表2。表1為理論值與公式法的仿真值1的比對。表2為理論值與勻速分步的仿真值2的比對。

圖9 勻速分步法仿真曲線

由數(shù)據(jù)計算可知，表1中的誤差：x=-9.5mm，3.606mm≤y≤25.863mm，-4.668mm≤z≤0.364mm；表2中的誤差：0mm≤x≤2.395mm，-0.16mm≤y≤2.723mm，-3.97mm≤z≤0mm。

在MATLAB中畫出三條軌跡，理論軌跡與通過運動學(xué)逆解推導(dǎo)出的函數(shù)驅(qū)動的軌跡、與將速度曲線處理成階躍函數(shù)驅(qū)動的軌跡的對比圖分別如圖10、圖11所示。其中“○”為理想軌跡，“*”為仿真軌跡。

圖10 公式法仿真與理論軌跡對比圖

表1 公式法理論值與仿真值

表2 勻速分步法理論值與仿真值

圖11 分步法仿真與理論軌跡對比圖

4 結(jié)語

通過對仿真結(jié)果的驗證和對比，可以得出以下結(jié)論：

1）通過運動學(xué)逆解求得的滑塊驅(qū)動函數(shù)的仿真，初步驗證了3-PUU并聯(lián)測量機逆解公式的正確性。同時，能看出仿真軌跡和理論軌跡依舊存在不小的偏差，原因主要是由于3-PUU并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)難以準(zhǔn)確測量造成的。

2）本文提出了一種可以用于實際實驗時的軌跡規(guī)劃方式?？紤]到大多數(shù)步進電機不能提供連續(xù)速度函數(shù)，且數(shù)控機床中常用的插補發(fā)并不很適用于3-PUU并聯(lián)機構(gòu)，為了在實驗中可靠地控制并聯(lián)機構(gòu)的運動軌跡，我們對理論上的仿真速度軌跡進行劃分，每一段選取中點值逆合成分段勻速函數(shù)。為了更好地提高精度，今后在實際運用中可以細分更多步數(shù)，延長每步時長，更合理地選取每段速度值，這樣分步勻速驅(qū)動得出的軌跡會更接近理論軌跡。

3）通過以上兩種方法，我們只需要在3-PUU并聯(lián)機構(gòu)坐標(biāo)測量機的運動空間內(nèi)設(shè)計合理的軌跡表達式，就可以實現(xiàn)測頭在測量空間內(nèi)x，y，z方向上的任意直線和曲線的平動。