王志俊 韓 苗 邵 虎 周圣武

(中國礦業(yè)大學數學學院 221116)

1 高中數學建模的意義

高冷的數學在以一種高度抽象的形式存在的同時, 又是各門科學的基礎, 它在自然、工程、人文、社會等方面都發(fā)揮著重要的作用. 數學要走向應用, 就必須在數學與應用之間架設一個橋梁[1]. 將實際問題首先轉化為相應的數學問題, 即數學模型, 然后對這個數學模型進行求解, 最后利用其結果去解決原先的實際問題, 這個過程就稱為數學建模. 數學建模是數學走向應用的必經之路.

高中數學建?；顒油ǔＲ孕〗M為單位進行, 這有利于培養(yǎng)學生的集體意識和分工協(xié)作精神. 活動題目大多來自工程實際和社會生活, 沒有固定的范圍, 這有利于提高學生的文獻檢索能力和自學能力. 活動所要解決的問題除了應用數學知識外, 通常還要用到其它相關專業(yè)知識、科學計算軟件等, 這有利于發(fā)展學生不同知識的交叉融合能力與計算機編程能力. 活動最終提交的作品一般是研究報告或小論文, 這有利于提升學生寫作與文字表述的能力. 總之, 高中數學建?；顒幽軌蛟鰪妼W生的創(chuàng)新意識和科學精神, 提升學生的數學綜合素質.

2 現狀分析

在《普通高中數學課程標準(2017年版)》[2]中, 作為數學學科的核心素養(yǎng)之一, 數學建模與數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算、數據分析等構成了一個有機的整體. 強調數學與生活以及其他學科的聯系, 提升高中生應用數學解決實際問題的能力已經成為普通高中數學課程的基本理念之一. 許多學者在中學數學建模方面做了理論研究和大膽嘗試. 羅瓊和廖運章[3]從數學建模的課程定位、實施策略和信息通信技術在數學建模中的應用等方面介紹了新加坡在數學建模教育中的情況；陳呈和王金才[4]、錢月鳳[5]分別對中新和中德在數學建模的課程標準、教材處理、教學策略、評價方式等方面進行了詳盡的比較；李明振和喻平[6]、趙思林和崔靜靜[7]分別從數學建模的背景解析和數學建模對中學生數學學習的影響角度為我們揭示了課程實施過程中存在的問題, 并初步探索了解決問題的有效對策；周龍虎和劉師妤[8]、劉丹[9]分別以不等式模型和函數模型為例探求了數學建模過程中的教學思路和教學方法.特別需要指出的是, 張思明和喻運星[10]為我們提供了12個不同類型難度適中的中學數學建模素材和案例, 并且設計了一種新穎的“使用情節(jié)”引導學生獨立思考、動手實踐、啟發(fā)反思.

自上世紀80年代以來, 在應用數學工作者的不懈努力下, 數學建模在高等教育領域取得了豐碩的成果, 數學建模課程(含數學實驗)及其理論研究在高校開展得如火如荼；以全國大學生數學建模競賽為代表的各類實踐活動更是將數學建模推向了高潮, 促進了數學與工業(yè)之間的深度融合, 為各個領域內的許多具體問題提供了切實可行的解決方案.

數學建模不僅僅是一種解決問題的“套路”, 更是一種思維方式, 高中生數學建模核心素養(yǎng)水平的高低將直接影響他們未來接受高等數學教育的過程. 與國內高校遍地開花的景象形成對比的是, 數學建模在普通高中的開展情況并不盡如人意, 部分高中教師進行數學建模課程教學的意愿不高, 部分學生也不愿在數學建模學習上花費太多時間, 這樣普通高中組織學生參與數學建模競賽活動的積極性也受到很大影響. 顯然造成這一現象的原因有很多. 數學建模的特點決定了僅僅從理論上學習數學建模的思想和方法, 而不借助于一些案例和素材去實踐是不符合科學規(guī)律的, 我們認為缺乏適合高中教師和學生參加數學建模活動的案例和素材是其中原因之一. 本文正是希望能夠在此方面做一點工作：以課標中數學建模核心素養(yǎng)的水平劃分標準為依據,將五一數學建模競賽中的部分賽題凝練成適合高中的數學建模案例和素材, 供開展數學建?；顒訒r參考使用, 并期待與高中數學同行交流.

3 案例及分析

高中數學的課程包括必修課程、選擇性必修課程和選修課程三大結構. 根據課程標準, 必修課程和選擇性必修課程均要求學生以課題研究的形式開展數學建模主題的活動, 經歷數學建模的全過程, 撰寫研究報告并進行評價. 選修課程共分五類供學生根據個人志趣自主選擇, 其中A,B,C類課程均在不同程度上以數學建模專題作為課程內容之一.A類課程雖然沒有明確數學建模專題, 但是要學習以線性回歸為代表的應用統(tǒng)計類模型；B類課程側重于結合實際問題建立一些基本的函數模型(如線性模型、二次曲線模型、指數函數模型等)；而C類課程則更側重于一些基于數學表達的經濟模型和社會模型.

在對上述三類課程數學建模主題的側重點進行分析后,我們以①宜居城市評價, ②標槍尺寸問題, ③景區(qū)游覽路線設計作為案例, 分別從應用統(tǒng)計類模型、函數類模型和線性規(guī)劃模型的角度進行分析,展示數學建模思想和方法, 反映數學建模對學生數學能力發(fā)展和素養(yǎng)提高的影響.

3.1 宜居城市評價

案例建設宜居城市是現階段我國城市發(fā)展的重要目標, 是政府和城市居民密切關注的焦點. 一座宜居的城市不僅應具備物質豐足、生活便利等條件, 而且應注重人們的切身感受. ①請查閱相關資料和數據, 篩選評價宜居城市的主要指標, 在闡述這些指標合理性的基礎上建立評價宜居城市的數學模型. ②選擇6-10個規(guī)模相當的城市, 利用所建模型對這些城市進行合理研究, 并給出城市宜居排名.

診斷分析該問題是數學建模綜合評價問題. 問題①首先需要查找資料選擇宜居城市評價指標, 根據物質豐足、生活便利、切身感受等信息, 我們發(fā)現經濟發(fā)展、生態(tài)環(huán)境、教育文化、交通醫(yī)療等是幾個比較重要的影響因素. 通過數據收集、整理、分析, 可以將這些因素細化確定出若干指標. 對這些指標進行加權綜合是建立宜居城市評價數學模型的關鍵, 而權重的賦值科學與否對評價結果的合理性起著至關重要的作用. 為此, 我們應根據自己的知識水平選擇主觀賦權或客觀賦權進行綜合評價, 其中主觀賦權可以采用層次分析、綜合評分、指數加權等方法根據經驗進行主觀判斷來確定權重, 客觀賦權則可以采用線性回歸、主成分分析、變異系數等方法根據各項指標的變異系數或者指標之間的相關關系來確定權重. 對于問題②, 我們首先需要查找與上述指標密切相關的所選城市的數據, 筆者認為各城市的統(tǒng)計年鑒是能夠全面系統(tǒng)反映該市國民經濟和社會發(fā)展各方面情況的資料, 具有一定的權威性, 值得借鑒使用. 然后, 我們可以將這些查找到的數據整理分類(比如采用最小二乘法進行聚類分析)并對應至問題①中的各項指標. 最后, 將各項指標值代入到建立的模型中, 借助于統(tǒng)計軟件(如SPSS)進行數值計算, 并根據結果對所選城市宜居性排序.

小結通過對本案例分析我們發(fā)現, 該問題屬于數據分析, 統(tǒng)計建模問題. 該案例的解決可以讓學生經歷較為系統(tǒng)的數據處理過程, 理解統(tǒng)計問題的建模思路, 并從中學習到數據分析的方法, 體驗常用統(tǒng)計軟件的使用. 這樣, 學生通過數據認識事物的思維品質得以形成, 基于應用統(tǒng)計表達現實問題的意識得以加強, 數據分析的核心素養(yǎng)得以提升.

3.2 標槍尺寸問題

案例標槍的投擲是一項歷史悠久的田徑比賽項目. 國家標準 GB/T 22765-2008-標槍規(guī)定了標槍的分類和比賽標槍的基本參數. 表1是某型比賽標槍的測量尺寸數據, 請估算該型標槍沿標槍中軸線剖面面積、標槍表面積和標槍形心的位置, 其中形心是指標槍沿中軸線剖面圖形的幾何中心.

表1 某型標槍測量尺寸表(單位mm)

診斷分析根據該國家標準中的標槍示意圖, 我們相信學生對中軸線剖面和表面的理解是明確的.這兩個面的面積可以用下面兩種方法求得. 我們可以依據尺寸表將標槍分成若干小段, 每一小段的剖面和表面就可以分別近似成一個梯形和一個圓臺的側面, 因此可以用初等數學的方法通過累加得到剖面面積和表面積的近似值. 更準確一點的, 我們可以將標槍放至坐標系中, 借助于Matlab擬合工具箱對尺寸數據進行擬合處理, 將標槍剖面輪廓用多項式函數曲線去近似, 然后利用函數積分計算得到剖面面積和表面積. 課標中雖然有幾何對象、位置關系等內容, 但對于形心并無明確說明, 在尋找標槍形心位置之前, 我們需要準確理解形心的概念, 最好能夠理解物體的形心、質心和重心之間的聯系和區(qū)別. 由于尺寸表給出的是長軸上某位置的直徑, 我們可以假設標槍的截面是圓面, 這樣標槍的形心一定位于中軸線上. 對于形心位置的確定, 我們也可以借鑒上述兩種處理方法, 借助于梯形、離散點的形心公式和Matlab求形心方法類似得到.

小結通過對本案例分析我們發(fā)現, 該問題既可以歸結為幾何問題, 根據直觀圖形直接計算得出近似結果, 又可以歸結為函數模型, 擬合后利用微積分的方法探索出更好的解決方案. 另外, 該問題還可以促使學生主動去獲得新的知識(比如梯形的形心公式), 尋求新的方法(如擬合工具箱). 不僅如此, 該案例的解決促進了學生數形結合、分析抽象、軟件使用等能力的發(fā)展, 提升了直觀想象、數學運算和數學建模素養(yǎng).

3.3 景區(qū)游覽路線設計

案例某景區(qū)共有8個旅游景點(A-H), 任意兩個景點之間的最短距離如表2所示. ①請找出從A景點出發(fā), 經過B-G所有景點至少1次, 最終到達H景點距離最短的游覽路線, 并計算該路線的長度. ②游客在景區(qū)停留的時間由景點間步行時間、等待時間和景點游覽時間組成, 其中各景點游覽時間如表3所示. 某游客計劃以2 km/h的步行速度12:00從A景點出發(fā), 17:30從H景點離開. 請為該游客設計一條能游覽完全部景點且游覽總時間最長的路線, 并計算出在每個景點的游覽時間.

表2 景點間最短距離(單位：m)

表3 各景點游覽時間(min)

診斷分析本案例是在給定條件下規(guī)劃游覽路線的問題, 重點研究分析不同情況下的游覽路線設計, 通過建立線性規(guī)劃模型進行求解. 對于問題①, 題目要求至少經過每個景點一次情況下的最短路徑, 該問題是一個典型的最短路問題. 在含8個頂點的無向圖中求兩頂點之間的最短路線, 建立整數線性規(guī)劃模型, 應用 Dijkstra 算法或遺傳算法求解此問題, 得到按總路徑從短到長的各種不同路線. 另外, 我們還可以將景點間的距離看成是一個8階矩陣, 通過矩陣的變換求得最短路線. 例如, 當從景點A出發(fā)到景點B時, 此時不能再到其他景點, 可以將矩陣的第A行和第B列去掉. 問題②是在問題①的基礎上增加了景點開放時間和每個景點游覽時長限制等約束條件, 目標是找出總游覽時間最長的路線. 考慮到步行速度一定, 要使總游覽時間最長, 則步行時間和等待時間(注：景點D每整點開放, 可能會產生等待時間)之和最短. 結合表2中各景點游覽時間的要求, 增加約束條件, 可以通過構建組合優(yōu)化后的線性規(guī)劃模型進行求解.

小結通過對本案例分析我們發(fā)現, 若要保證整個游覽路線的距離最短, 每個景點只能經過一次, 利用這一約束條件建立整數線性規(guī)劃模型有利于提高學生的分析能力和優(yōu)化能力；其次, 8個景點的組合結果較多, 完全枚舉費時且耗力, 因此需借助一定的數學軟件對模型加以求解, 這能夠提高學生對數學軟件的使用能力；最后, 矩陣的概念在課標中已有初步涉及, 本案例中的矩陣有助于加強學生對圖形的抽象能力, 矩陣變換有助于加強對幾何和代數的理解.

4 數學建模素材

最后, 我們從五一數學建模競賽歷年賽題中凝練出4道題目素材, 其中素材1可以考慮使用統(tǒng)計類模型解決,素材2—4則更適合使用各種線性規(guī)劃或組合優(yōu)化模型.

素材1 高中生體質健康評價

《國家學生體質健康標準》是測量學生體質健康狀況和鍛煉效果的評價標準. 該標準中測試指標會隨組別的不同而發(fā)生一定的變化, 但身高、體重、肺活量、50米跑和坐位體前屈是所有組別的共性指標. 在對這些指標進行測試時, 個別測量數據可能存在誤差, 不能反映真實水平. ①請分別分析體重和50米跑對體質健康的影響；②搜集你所在班級(或年級)中男生(或女生)50米跑的體測數據, 建立數學模型, 檢驗數據的準確性, 找出其中可能存在誤差的數據, 并說明理由.

素材2 木材切割方案設計

家具廠在家具加工過程中需要使用切割工具對整塊木板進行切割以生產出不同規(guī)格的產品. 假設整塊木板的規(guī)格是3000*1500(單位：mm), 產品P1和P2的規(guī)格分別是373*201和406*229. 請在不計木板厚度和割縫寬度的情況下思考并分析如下問題：①假設在一塊木板上切割產品P1, 請給出木板利用率最高(即剩余木板面積最小)的切割方案, 并計算P1的數量；②假設在一塊木板上同時切割產品P1和P2, 請給出按照木板利用率由高到低排序的前3種切割方案, 并計算P1和P2的數量；③假設要生產P1產品774件, P2產品1623件, 請問最少需要多少塊木板？

素材3 行程優(yōu)化設計

某背包客計劃從徐州出發(fā)乘火車(含高鐵, 火車票價以中國鐵路12306網站公布為準)到常州、青島、北京、洛陽、黃山、武漢、西安、九江等八個城市旅游, 最后回到徐州. ①請為背包客設計游覽全部八個城市且火車票費用最省的行程表. ②假設該背包客只預算了2000元的火車票費用, 請為背包客設計行程表使得旅游城市盡可能多.

素材4 救護車位置優(yōu)化設計

某城市的緊急服務協(xié)調機構負責安排全市三輛救護車的位置, 目的是最大限度地提高緊急呼叫的居民數量, 可在8 min內到達指定地點. 該城市劃分為6個區(qū), 從一個區(qū)到另一個區(qū)所需的平均時間如表5, 請確定三輛救護車的位置使得在120電話打出8 min內趕到救援地點所覆蓋的人數最多.

表4 區(qū)域人口(單位：萬人)

表5 各個區(qū)域間平均路途時間(min)