江蘇省太湖高級(jí)中學(xué) (郵編：214125 )

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考中占重要地位．2017年江蘇卷的19題是數(shù)列，其編擬獨(dú)特，手法巧妙，體現(xiàn)江蘇試題“在樸實(shí)中重基礎(chǔ)，在常規(guī)中考能力，在平和中透靈氣”的命題特色，充分體現(xiàn)高考試題的教學(xué)導(dǎo)向性．高考試題是教學(xué)的重要資源，筆者利用此題進(jìn)行探究教學(xué)，得到一般性的結(jié)論，進(jìn)而類比到等比數(shù)列，現(xiàn)將探究歷程撰寫成文與大家交流．

1 試題呈現(xiàn)

對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”．

(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；

(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列．

答案(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an=a1+(n-1)d，從而，當(dāng)n≥4時(shí)，an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an，k=1,2,3，所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”．

(2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，當(dāng)n≥3時(shí)，an-2+an-1+an+1+an+2=4an①，當(dāng)n≥4時(shí)，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an②． 由①知，an-3+an-2=4an-1-(an+an+1)③，an+2+an+3=4an+1-(an-1+an)④，將③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，所以a3,a4,a5,…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′．在①中，取n=4，則a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d′，在①中，取n=3，則a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a3-2d′，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

2 探究歷程

2．1 不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中

師：本題注重基礎(chǔ)，起點(diǎn)低，落點(diǎn)高，突出對(duì)等差數(shù)列概念及通項(xiàng)公式的考查．由此想到蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修5第36頁例3：

可見，19題是源于此題．誰能用“P(k)數(shù)列”的定義來表述例3嗎？

生：(1)等差數(shù)列{an}是否為“P(1)數(shù)列”？(2)若數(shù)列{an}是“P(1)數(shù)列”，那么數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列嗎？

師：從上述兩題可知，等差數(shù)列{an}是“P(1)數(shù)列”，也是“P(3)數(shù)列”，由此你能得到什么結(jié)論？

生：對(duì)于任意的正整數(shù)m(n>m)，等差數(shù)列{an}都是“P(m)數(shù)列”．

師：誰能給出證明？

生：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則an=a1+(n-1)d，從而，當(dāng)n≥m+1時(shí)，an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an，k=1,2,3,…,m，所以an-m+an-m+1+…+an-2+an-1+an+1+an+2+…+an+m-1+an+m=2man，因此等差數(shù)列{an}是“P(m)數(shù)列”．

2．2 山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村

師：由例3知：若數(shù)列{an}是“P(1)數(shù)列”，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．請(qǐng)問：如果數(shù)列{an}是“P(2)數(shù)列”，那么數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列嗎？

生：若數(shù)列{an}是“P(2)數(shù)列”，則an-2+an-1+an+1+an+2=4an，無法消掉其中的an-2和an+2得到an-1+an+1=2an，所以無法證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

師：同樣，若數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”，也無法證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列．由此你能得到什么結(jié)論？

生：若數(shù)列{an}是“P(m)數(shù)列”(m∈N*,m≥2)，都不能得到數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

師：要證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，難道僅要滿足第(2)題中的條件嗎？

生：有！如：若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(4)數(shù)列”，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

師：證明試試．

生：由數(shù)列{an}是“P(2)數(shù)列”，當(dāng)n≥3時(shí)，得an-2+an-1+an+1+an+2=4an①．由數(shù)列{an}是“P(4)數(shù)列”，當(dāng)n≥5時(shí)，得an-4+an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3+an+4=8an②．分別以n-2和n+2代換①中的n，得an-4+an-3=4an-2-(an-1+an)③，an+3+an+4=4an+2-(an+an+1)④，將③④代入②，得an-2+an+2=2an，其中n≥5，無法確定數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

師：由an-2+an+2=2an(n≥5)你能得到什么？

生：可得數(shù)列a3,a4,a5,…的2個(gè)子數(shù)列a3,a5,a7,…、a4,a6,a8,…都是等差數(shù)列．

師：可見上述猜想也是有價(jià)值的！還能想到什么？

生：若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(5)數(shù)列”，則也能得數(shù)列{an}子數(shù)列為等差數(shù)列！

師：證明試試．

生：同理可得an-3+an+3=2an，其中n≥6，可得數(shù)列a3,a4,a5,…中的3個(gè)子數(shù)列a3,a6,a9,…，a4,a7,a10,…，a5,a8,a11,…都是等差數(shù)列．

師：很好！還能想到什么？

生：若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(6)數(shù)列”，也能得到數(shù)列{an}子數(shù)列是等差數(shù)列！

師：再證試試．

生：可得5(an-4+an+4)+(an-1+an+1)=12an，無法得到數(shù)列{an}的子數(shù)列是等差數(shù)列．

師：雖然失敗，但是上述嘗試也是有價(jià)值的，由此你能得到什么結(jié)論？

生：若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(m)數(shù)列”(m≥6,m∈N*)，無法確定數(shù)列{an}的子數(shù)列是等差數(shù)列．

師：由此可見，試題第(2)題的命制是非常巧妙的，真是“試題本天成，妙手偶得之”，給人留下清新飄逸的感覺！那么，在“P(k)數(shù)列”定義下，要證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，難道真的沒有其他條件嗎？

生：因?yàn)閿?shù)列a3,a4,a5,…的2個(gè)子數(shù)列a3,a5,a7,…，a4,a6,a8,…是等差數(shù)列；它的3個(gè)子數(shù)列a3,a6,a9,…，a4,a7,a10,…，a1也是等差數(shù)列．若上述條件同時(shí)成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

師：很好！若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(4)數(shù)列”和“P(5)數(shù)列”，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．誰能給出證明？

2．3 千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金

師：漂亮！由此還能想到什么？

生：若數(shù)列{an}既是“P(3)數(shù)列”，又是“P(6)數(shù)列”和“P(7)數(shù)列”，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

師：誰來證明？

生：同上，若數(shù)列{an}既是“P(3)數(shù)列”，又是“P(6)數(shù)列”，可得an-3+an+3=2an，其中n≥7，所以數(shù)列a4,a5,a6,…的3個(gè)子數(shù)列a4,a7,a10,…，a5,a8,a11,…，a6,a9,a12,…都是等差數(shù)列．

當(dāng)數(shù)列{an}既是“P(3)數(shù)列”，又是“P(7)數(shù)列”時(shí)，得an-4+an+4=2an，其中n≥8，所以數(shù)列a4,a5,a6,…的4個(gè)子數(shù)列a4,a8,a12,…，a5,a9,a13,…，a6,a10,a14,…，a7,a11,a15,…都是等差數(shù)列．

不妨設(shè)數(shù)列a4,a5,a6,…的3個(gè)子數(shù)列a4,a7,a10,…、a5,a8,a11,…，a6,a9,a12,…的公差分別為d1，d2，d3．

又因?yàn)閿?shù)列a4,a5,a6,…的4個(gè)子數(shù)列a4,a8,a12,…，a5,a9,a13,…，a6,a10,a14,…、a7,a11,a15,…都是等差數(shù)列．所以

由(4)-(1)得d1+d3=2d2，由(5)-(2)得d1+d2=2d3，由(6)-(3)得d2+d3=2d1，解得d1=d2=d3，代入(1)得a4+a6=2a5，所以a4,a5,a6三項(xiàng)是等差數(shù)列，記公差為d．

在an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an中，取n=7時(shí)，則a4+a5+a6+a8+a9+a10=6a7，即6a4+6d+4d1=6a4+6d1，解得d1=3d，所以數(shù)列a4,a5,a6,…是以d為公差的等差數(shù)列．

在an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an中，依次取n=6,5,4，可得a3=a4-d，a2=a4-2d，a1=a4-3d，所以數(shù)列{an}是以a1為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列．

師：真棒，我們?cè)摓樗恼疲∩鲜鼋Y(jié)論雖然沒有原題簡(jiǎn)潔，但是很有價(jià)值！由此你能想到什么呢？

生：若數(shù)列{an}既是“P(m)數(shù)列”，又是“P(2m)數(shù)列”和“P(2m+1)數(shù)列”(m≥2,m∈N*)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

師：很好！由特殊到一般，這個(gè)猜想正確嗎？

生：同上，由數(shù)列{an}既是“P(m)數(shù)列”，又是“P(2m)數(shù)列”可得an-m+an+m=2an，其中n≥2m+1，所以數(shù)列am+1,am+2,am+3,…的m個(gè)子數(shù)列am+1,a2m+1,a3m+1,…；am+2,a2m+2,a3m+2,…；am+3,a2m+3,a3m+3,…；…；a2m,a3m,a4m,…都是等差數(shù)列．

同樣由數(shù)列{an}既是“P(m)數(shù)列”，又是 “P(2m+1)數(shù)列”可得，數(shù)列am+1,am+2,am+3,…的m+1個(gè)子數(shù)列am+1,a2m+2,a3m+3,…，am+2,a2m+3,a3m+4,…，…，a2m+1,a3m+2,a4m+3,…都是等差數(shù)列．

不妨設(shè)數(shù)列am+1,am+2,am+3,…的m個(gè)子數(shù)列am+1,a2m+1,a3m+1,…，am+2,a2m+2,a3m+2,…，…，a2m,a3m,a4m,…的公差分別為d1，d2，…，dm，則有

師：在“P(k)數(shù)列”定義下，我們得到一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列應(yīng)滿足的一般條件，由此你還能想到什么？

生：可類比到等比數(shù)列：對(duì)于給定的正整數(shù)k，若各項(xiàng)均大于0的數(shù)列{an}滿足：

an-kan-k+1…an-1an+1…an+k-1an+k=an2k對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“Q(k)數(shù)列”.

(Ⅰ)對(duì)于任意的正整數(shù)m(n>m)，等比數(shù)列{an}是“Q(m)數(shù)列”；

(Ⅱ)若數(shù)列{an}既是“Q(2)數(shù)列”，又是“Q(3)數(shù)列”， 則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

(Ⅲ)若數(shù)列{an}既是“Q(m)數(shù)列”，又是“Q(2m)數(shù)列”和 “Q(2m+1)數(shù)列”m≥2,m∈N*， 則數(shù)列{an}是等比數(shù)列[2]．

師：很好！對(duì)于上述結(jié)論，請(qǐng)大家課后給予證明，誰來總結(jié)一下我們本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容？

生：……

師：下課！

3 課后感想

本節(jié)課是對(duì)一道高考試題的溯源和探究，培養(yǎng)學(xué)生不怕失敗、勇于實(shí)踐、勤于探索的科學(xué)精神，加深了學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)了學(xué)生思維能力的發(fā)展，提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)深深感覺到高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必須做好如下兩點(diǎn)：

(1)高三復(fù)習(xí)要用好教材

在歷年全國(guó)各地的高考試題中都有一部分試題是由教材的例題、習(xí)題改編而來的，這要求一線教師必須重視教材例題、習(xí)題教學(xué)，不能舍本逐末，脫離教材，利用一本資料打天下，而是要回歸教材，備課組要加強(qiáng)對(duì)教材典型例題、習(xí)題的教學(xué)研究，每次集體備課之前布置要研討的例題、習(xí)題，要求備課組全體成員都要提供一到兩個(gè)改編方案，發(fā)揮集體的智慧，提高改編試題的質(zhì)量，并將改編質(zhì)量高的試題運(yùn)用到平時(shí)的測(cè)試中，以引起學(xué)生重視對(duì)課本例題、習(xí)題的學(xué)習(xí)，充分發(fā)揮它們的教學(xué)價(jià)值．

(2)高三復(fù)習(xí)要用好考題

各地的高考試題都是專家組經(jīng)過多次打磨而成，質(zhì)量非常高，能較好地對(duì)考生知識(shí)與能力進(jìn)行考查，在實(shí)際教學(xué)中部分教師錯(cuò)誤地認(rèn)為這些試題已經(jīng)是昨日黃花，絕對(duì)不會(huì)在高考試題中再次出現(xiàn)，沒有再研究的必要．事實(shí)上，通過對(duì)高考試題的研究，不但可以找到問題的源頭，理清問題間的關(guān)系，將特殊問題探究推廣到一般情形，再進(jìn)行變式拓展，挖掘其中蘊(yùn)藏規(guī)律，揭示問題的本質(zhì)，形成知識(shí)體系．通過研究也可以明確命題者的意圖，發(fā)揮高考試題的導(dǎo)向功能，為高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指明方向．