李亞琭 張國(guó)強(qiáng) 胡志遠(yuǎn)

(北京東方計(jì)量測(cè)試研究所，北京 100096)

1 引 言

交流電阻計(jì)量技術(shù)在很多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如在通信領(lǐng)域中，通常要采用寬量程和寬頻率范圍的交流電阻標(biāo)準(zhǔn)對(duì)通信設(shè)備進(jìn)行校準(zhǔn)；在元器件制造應(yīng)用領(lǐng)域中，對(duì)交流電阻的準(zhǔn)確定值有助于提高元器件的質(zhì)量和準(zhǔn)確度；在電力控制領(lǐng)域中，通過(guò)對(duì)電網(wǎng)電線的交流電阻量值的準(zhǔn)確快速測(cè)量，可以準(zhǔn)確快速的調(diào)整調(diào)節(jié)裝置，防止電網(wǎng)發(fā)生震蕩[1]；在電化學(xué)領(lǐng)域中，交流電阻的特性可用于對(duì)電極過(guò)程、金屬腐蝕等現(xiàn)象的研究；在熱力學(xué)領(lǐng)域中，交流電阻標(biāo)準(zhǔn)是熱力學(xué)絕對(duì)溫標(biāo)的三大支柱之一；此外感抗、容抗的單位也都是歐姆，把電容標(biāo)準(zhǔn)、電感標(biāo)準(zhǔn)溯源到電阻單位上的過(guò)程中，交流電阻起到了核心作用。綜上所述，交流電阻的計(jì)量在國(guó)民經(jīng)濟(jì)、科技發(fā)展、工業(yè)生產(chǎn)等方面中均有著重要作用。

本文基于單直角電橋的原理，利用自主研發(fā)的數(shù)字式直角電橋源作為雙路正交電壓信號(hào)的輸出，搭建了交流電阻校準(zhǔn)裝置，并對(duì)整個(gè)裝置進(jìn)行了測(cè)量不確定度的評(píng)定。根據(jù)單直角電橋的原理，當(dāng)電橋平衡時(shí)建立了被校交流電阻的數(shù)學(xué)模型，分析了測(cè)量不確定度的主要來(lái)源；并對(duì)交流電阻的各個(gè)測(cè)量不確定度分量進(jìn)行了計(jì)算，采用不確定度傳播公式對(duì)其進(jìn)行合成，通過(guò)擴(kuò)展得到整個(gè)校準(zhǔn)裝置的測(cè)量結(jié)果與擴(kuò)展不確定度。

2 單直角電橋的原理

目前國(guó)際上對(duì)于交流電阻的溯源采用的方法主要有通過(guò)感應(yīng)分壓器電橋?qū)⒔涣麟娮杷菰粗两涣髁孔踊魻栯娮鑋2,3]；通過(guò)交、直流差可計(jì)算電阻和時(shí)間常數(shù)進(jìn)行溯源；通過(guò)直角電橋?qū)⒔涣麟娮杷菰粗量捎?jì)算電容[4]等。其中直角電橋主要用于非同類(lèi)阻抗的比較測(cè)量，它是將兩個(gè)相互正交的交流信號(hào)分別通過(guò)待測(cè)交流電阻和標(biāo)準(zhǔn)電容，使電橋達(dá)到平衡。若能輸出兩路幅值相等，相位相差90°的正弦電壓波形，則可根據(jù)單直角電橋的平衡方程將交流電阻溯源到電容標(biāo)準(zhǔn)上。最簡(jiǎn)單的直角電橋如圖1所示。該電橋是具有90°相位差的直角電橋，構(gòu)成電源比例臂的兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)U和jU幅值相等，相位差為90°[5,6]。

圖1 單直角電橋原理圖Fig.1 Single quadrature bridge schematic

圖1中，當(dāng)指零儀D示數(shù)為零時(shí)，則a，b兩點(diǎn)處的電勢(shì)相等，電橋達(dá)到平衡，此時(shí)圖中b點(diǎn)電壓Ux為

(1)

式中：Ux——b點(diǎn)處電壓，單位：V；U——單直角電橋電路中電壓源的電壓幅值，單位：V；jU——單直角電橋電路中正交電壓源的電壓幅值，單位：V；R——直角電橋電路中交流電阻的阻值，單位：Ω；C——直角電橋電路中標(biāo)準(zhǔn)電容的標(biāo)準(zhǔn)值，單位：F；ω——直角電橋電路中電源角頻率。

由于電路中Ux電壓與電源電動(dòng)勢(shì)正交，即

Ux=-jU

(2)

則根據(jù)等式兩邊虛部實(shí)部分別相等，可得

(3)

(4)

可得關(guān)系式為

ωCR=1

(5)

如此可見(jiàn)，只要能夠得到高準(zhǔn)確度的電源角頻率，便可求出電阻R和電容C之間的比例關(guān)系，并且可以達(dá)到較高的測(cè)量準(zhǔn)確度[7]。本文采用單直角電橋原理，搭建了交流電阻校準(zhǔn)裝置，通過(guò)直角電橋?qū)⒔涣麟娮杷菰粗翗?biāo)準(zhǔn)電容上。利用電橋平衡方程，便可通過(guò)電容的標(biāo)準(zhǔn)值間接地計(jì)算出待測(cè)交流電阻的阻值。

3 交流電阻校準(zhǔn)裝置構(gòu)成

本文利用上述所述的單直角電橋原理，使用自主研制的數(shù)字式直角電橋源作為雙路正交電壓信號(hào)的輸出，搭建了交流電阻校準(zhǔn)裝置，其校準(zhǔn)裝置如圖2所示。

圖2 交流電阻校準(zhǔn)裝置示意圖Fig.2 AC resistance calibration device diagram

根據(jù)前面所述，當(dāng)電橋達(dá)到平衡時(shí)，流經(jīng)相角電壓表的電流為零，假設(shè)兩路交流電壓輸出的幅值完全相等，直角電橋的平衡方程參考式(5)。但在實(shí)際情況中，直角電橋的雙路交流電壓輸出無(wú)法做到幅值和相位完全一致，存在一定的誤差，因此在實(shí)際測(cè)試中不能忽略幅值差和相角誤差的影響。設(shè)兩路幅值相等、相位相差90°的正弦交流電壓U和jU分別為Ua和Ub，則可表達(dá)為

Ua=U,Ub=KUej(90°+Δθ)

(6)

式中：U——正弦交流電壓Ua的幅值；K——兩路正弦交流電壓Ub與Ua的幅值比例；Δθ——兩路正弦交流電壓相角的實(shí)際差。

設(shè)交流電阻和標(biāo)準(zhǔn)電容的表達(dá)式為

(7)

則當(dāng)電路平衡時(shí)，相角電壓表中無(wú)電流通過(guò)，應(yīng)滿(mǎn)足

(8)

將交流電阻、電容、交流電壓源Ua，Ub的表達(dá)式帶入式(8)得

(9)

因此，得到交流電阻的阻值為

(10)

4 測(cè)試數(shù)據(jù)處理

根據(jù)數(shù)字式直角電橋交流電阻計(jì)算公式，在不同的頻率下選擇不同的標(biāo)準(zhǔn)電容，就可將交流電阻量值溯源到電容標(biāo)準(zhǔn)上[8]，選取的測(cè)試點(diǎn)和測(cè)試數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 交流電阻校準(zhǔn)裝置測(cè)試數(shù)據(jù)Tab.1 AC resistance calibration device test data測(cè)量頻率點(diǎn)實(shí)測(cè)頻率/Hz標(biāo)準(zhǔn)電容標(biāo)稱(chēng)值標(biāo)準(zhǔn)電容證書(shū)值交流電阻標(biāo)稱(chēng)值交流電阻測(cè)量值100Hz99.949 8531μF0.999 9μF1.591 55kΩ1.592 50kΩ100Hz99.980 550100nF99.992nF15.915 5kΩ15.919 9kΩ100Hz99.944 84610nF9.999 8nF159.155kΩ159.246kΩ159.155Hz159.114 501μF0.999 9μF1kΩ1.000 35kΩ159.155Hz159.134 46100nF99.992nF10kΩ10.020 9kΩ159.155Hz159.229 4110nF9.999 8nF100kΩ99.955 2kΩ159.155Hz159.081 581nF0.999 84nF1MΩ1.000 6MΩ1kHz999.895 511μF0.999 9μF159.155Ω159.188Ω1kHz999.394 73100nF99.992nF1.591 55kΩ1.592 61kΩ1kHz999.395 1210nF9.999 8nF15.915 5kΩ15.925 5kΩ1.591 55kHz1588.642 31μF0.999 9μF100Ω100.193 0Ω1.591 55kHz1591.042 2100nF99.992nF1kΩ1.000 40kΩ1.591 55kHz1591.712 410nF9.999 8nF10kΩ9.999 2kΩ10kHz9965.951 1100nF99.992nF159.155Ω159.711 5Ω

5 測(cè)量不確定度分析

由上述構(gòu)建的交流電阻校準(zhǔn)裝置，在頻率1.591 55kHz、幅值有效值1V下，以標(biāo)準(zhǔn)電容100nF,交流電阻1kΩ為測(cè)試點(diǎn)，進(jìn)行了測(cè)量不確定度分析。

5.1 建立數(shù)學(xué)模型

對(duì)于交流電阻校準(zhǔn)裝置，其測(cè)量結(jié)果的數(shù)學(xué)模型為

Δ=Rx-R0

(11)

(12)

(13)

式中：Δ——交流電阻的誤差，單位Ω；Rx——交流電阻的實(shí)際測(cè)量值，單位Ω；R0——交流電阻的標(biāo)準(zhǔn)值，單位Ω；f0——直角電橋源頻率的標(biāo)準(zhǔn)值，單位Hz；C0——標(biāo)準(zhǔn)電容器的標(biāo)準(zhǔn)值，單位F；K——數(shù)字式直角電橋源通道2與通道1的比值，單位1；Δθ——數(shù)字式直角電橋源兩通道輸出90°波形時(shí)的相位誤差，單位(°)。

交流電阻測(cè)量結(jié)果的不確定度傳播可用式(14)表示

u2(Δ)=c2(Rx)u2(Rx)+c2(R0)u2(R0)

(14)

其中，靈敏系數(shù)為

c(Rx)=1，c(R0)=-1

式中：u(Rx)——交流電阻測(cè)量值引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；u(R0)——交流電阻標(biāo)準(zhǔn)值引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

其中，u(R0)按式(12)表示為

u2(R0)=c2(f0)u2(f0)+c2(C0)u2(C0)

(15)

其中，靈敏系數(shù)為

(16)

式中：u(f0)——直角電橋源頻率的不準(zhǔn)確引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；u(C0)——標(biāo)準(zhǔn)電容的不準(zhǔn)確引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

u(Rx)按式(13)表示為

u2(Rx)=c2(Δθ)u2(Δθ)+c2(K)u2(K)

(17)

其中，靈敏系數(shù)為

(18)

(19)

交流電阻標(biāo)準(zhǔn)值R0引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur(R0)為

(20)

交流電阻測(cè)量值Rx由于雙路電橋源幅值不完全相等引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur1(Rx)為

(21)

式中：K——電橋源雙路輸出的幅值比例。

交流電阻測(cè)量值Rx由于雙路電橋源相位不完全正交引入的相對(duì)不確定度ur2(Rx)為

(22)

式中：Δθ——電橋源的雙路波形輸出相位差。

5.2 測(cè)量不確定度來(lái)源分析

1)u(R0)的不確定度來(lái)源如下：

a)電橋源的頻率分辨力引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur1(f0)；

b)電橋源的頻率示值誤差引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur2(f0)；

c)標(biāo)準(zhǔn)電容器上級(jí)溯源引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur(C0)。

2)u(Rx)的不確定度來(lái)源如下：

a)雙路電橋源幅值不完全相等引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur1(Rx)；

b)雙路電橋源相位不完全正交引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur2(Rx)；

c)校準(zhǔn)裝置短期穩(wěn)定性引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur3(Rx)；

d)裝置連接線引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur4(Rx)；

e)實(shí)驗(yàn)室環(huán)境溫濕度變化引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur5(Rx)。

6 測(cè)量不確定度的評(píng)定

6.1 交流電阻標(biāo)準(zhǔn)值引入的不確定度u(R0)

1)直角電橋源的頻率分辨力引入的相對(duì)不確定度ur1(f0)

本文設(shè)計(jì)的直角電橋源頻率分辨力為δ=1×10-6，在此范圍內(nèi)測(cè)量值服從均勻分布，按B類(lèi)評(píng)定，其不確定度按式(23)計(jì)算

(23)

式中：δ——直角電橋源的頻率示值分辨力。

經(jīng)計(jì)算得到

ur1(f0)=2.9×10-7

2)直角電橋源的頻率示值誤差引入的相對(duì)不確定度ur2(f0)

根據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)得知，直角電橋源的頻率最大允許誤差Δf0=6.3×10-7。在此范圍內(nèi)測(cè)量值服從均勻分布，按B類(lèi)評(píng)定，其不確定度按式(24)計(jì)算

(24)

式中：Δf0——直角電橋源的頻率最大允許誤差。

經(jīng)計(jì)算得到

ur2(f0)=3.6×10-7

3)計(jì)算由直角電橋源頻率不準(zhǔn)確引入的相對(duì)不確定度ur(f0)

直角電橋源不準(zhǔn)確引入的相對(duì)不確定度ur(f0)按式(25)計(jì)算

(25)

經(jīng)計(jì)算得到

ur(f0)=4.6×10-7

4)標(biāo)準(zhǔn)電容證書(shū)上的相對(duì)不確定度ur(C0)

標(biāo)準(zhǔn)電容器的不確定度主要是上級(jí)溯源引入的不確定度。通過(guò)查閱標(biāo)準(zhǔn)電容器的上級(jí)證書(shū)，可以得到標(biāo)準(zhǔn)電容的標(biāo)準(zhǔn)值和測(cè)量不確定度為

ur(C0)=2.0×10-6

5)交流電阻標(biāo)準(zhǔn)值引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur(R0)

根據(jù)式(20)，經(jīng)計(jì)算得到

ur(R0)=2.0×10-6

6.2 交流電阻測(cè)量值引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Rx)

1)直角電橋源雙路幅值不完全相等引入的相對(duì)不確定度ur1(Rx)

由于數(shù)字式直角電橋源的雙路正弦電壓波形無(wú)法做到幅值完全相等，因此幅值的不準(zhǔn)確性會(huì)引入測(cè)量不確定度ur1(Rx)。采用數(shù)字多用表8508A進(jìn)行測(cè)試，利用8508A的短期穩(wěn)定性測(cè)量自修正后的幅值。經(jīng)過(guò)測(cè)試，直角電橋源雙路輸出的幅值比例誤差K為0.999 995。u(K)應(yīng)滿(mǎn)足

(26)

根據(jù)式(22)，經(jīng)計(jì)算得到

ur1(Rx)=2.9×10-6

2)直角電橋源雙路相位不完全正交引入的相對(duì)不確定度ur2(Rx)

由于數(shù)字式直角電橋源的雙路正弦電壓相位無(wú)法做到完全正交，因此相位的不正交性會(huì)引入測(cè)量不確定度ur2(Rx)。經(jīng)過(guò)測(cè)試，直角電橋源雙路輸出90°的相位偏差Δθ為0.002°。u(Δθ)應(yīng)滿(mǎn)足

(27)

根據(jù)式(23)，經(jīng)計(jì)算得到

ur2(Rx)=3.5×10-7

3)校準(zhǔn)裝置短期穩(wěn)定性引入的相對(duì)不確定度ur3(Rx)

對(duì)測(cè)試點(diǎn)頻率1.591 55kHz、標(biāo)準(zhǔn)電容100nF、交流電阻1kΩ，在相同條件下短時(shí)間重復(fù)測(cè)量交流電阻值10次，得到10組測(cè)量數(shù)據(jù)，見(jiàn)表2。

表2 交流電阻重復(fù)性測(cè)量數(shù)據(jù)Tab.2 AC resistance repeatability measurement data測(cè)量序號(hào)R/Ω11 000.398 83421 000.398 84731 000.398 84141 000.398 84751 000.398 84161 000.398 84571 000.398 84281 000.398 85391 000.398 844101 000.398 843

采用貝塞法公式計(jì)算測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差，作為短期穩(wěn)定性的不確定度分量ur3(Rx)為

(28)

經(jīng)計(jì)算得到

ur3(Rx)=5.0×10-6

4)裝置連接線引入的相對(duì)不確定度ur4(Rx)

測(cè)試設(shè)備自身的開(kāi)路清零和短路清零功能可以有效消除裝置連接線的阻抗等雜散分量引入的誤差，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響較小，因此該項(xiàng)誤差可以忽略；

5)實(shí)驗(yàn)室環(huán)境溫濕度變化引入的相對(duì)不確定度ur5(Rx)

交流電阻校準(zhǔn)裝置在實(shí)驗(yàn)室恒溫恒濕條件下，其環(huán)境溫度和相對(duì)濕度變化導(dǎo)致的量值變化很小，因此該項(xiàng)誤差可以忽略。

6)交流電阻測(cè)量值引入的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur(Rx)

交流電阻測(cè)量值引入的不確定度ur(Rx)按式(29)計(jì)算

(29)

經(jīng)計(jì)算得到

ur(Rx)=5.9×10-6

交流電阻校準(zhǔn)測(cè)量裝置測(cè)量不確定度分量，見(jiàn)表3。

表3 交流電阻校準(zhǔn)裝置測(cè)量不確定度分量一覽表Tab.3 AC resistance calibration device measurement uncertainty component list不確定度分量不確定度來(lái)源評(píng)定方法分布類(lèi)型k值標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur1(f0)直角電橋源的頻率分辨力B類(lèi)評(píng)定均勻分布32.9×10-7ur2(f0)直角電橋源的頻率示值誤差B類(lèi)評(píng)定均勻分布33.6×10-7ur(C0)標(biāo)準(zhǔn)電容的溯源B類(lèi)評(píng)定均勻分布22.0×10-6ur1(Rx)直角電橋源雙路幅值不完全相等B類(lèi)評(píng)定均勻分布32.9×10-6ur2(Rx)直角電橋源雙路相位不完全正交B類(lèi)評(píng)定均勻分布33.5×10-7ur3(Rx)校準(zhǔn)裝置短期穩(wěn)定性A類(lèi)評(píng)定//5.0×10-6

6.3 合成校準(zhǔn)不確定度計(jì)算

上述交流電阻校準(zhǔn)裝置的測(cè)量不確定度分量彼此互不相關(guān)，因此合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur(Δ)滿(mǎn)足[9]

(30)

代入各個(gè)測(cè)量不確定度分量，得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度ur(Δ)為

ur(Δ)=6.2×10-6

6.4 擴(kuò)展不確定度

擴(kuò)展不確定度按式(31)計(jì)算

Ur=kur(Δ)

(31)

取擴(kuò)展因子k=2，則擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)不確定度Ur為

Ur=2ur(Δ)=1.2×10-5(k=2)

7 結(jié)束語(yǔ)

本文基于單直角電橋的工作原理，采用數(shù)字式直角電橋源作為交流電阻校裝置的主要部分，搭建了基于單直角電橋的交流電阻校準(zhǔn)裝置。當(dāng)電橋達(dá)到平衡時(shí)，流經(jīng)指零儀的電流為零，根據(jù)電橋的平衡方程推導(dǎo)得到交流電阻的校準(zhǔn)值。通過(guò)在不同的頻率下選擇不同的標(biāo)準(zhǔn)電容，可將交流電阻量值溯源到電容標(biāo)準(zhǔn)上。本文對(duì)搭建的交流電阻校準(zhǔn)裝置進(jìn)行測(cè)試，得到交流電阻的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，并對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行不確定度分析，得出交流電阻校準(zhǔn)裝置的最佳測(cè)量不確定度可達(dá)1.2×10-5(k=2)。通過(guò)本文的測(cè)試和不確定度分析，對(duì)于使用基于單直角電橋原理搭建交流電阻校準(zhǔn)裝置可與基于其他原理(如雙直角電橋法、數(shù)字采樣法等)建立的交流電阻校準(zhǔn)裝置所得到數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，彼此之間互相驗(yàn)證，對(duì)于保障交流電阻溯源數(shù)據(jù)的可靠性具有重要的意義。