廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510006) 陳經(jīng)緯

題目已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1,證明：

(2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

在課本《不等式選講4-5》中,貫徹本書重要內(nèi)容是基本不等式(包括兩個(gè)或多個(gè)正數(shù)的),絕對(duì)值不等式、柯西不等式,所以本題考查基本不等式是情理當(dāng)中的,也是符合新課標(biāo)精神的,本題兩問均可利用基本不等式證明,參考答案如下：

方法一(1) 因?yàn)閍2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=所以

(2) 因?yàn)閍,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3+(b+當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

點(diǎn)評(píng)雖說基本不等式可以完整地證明此題,高考題區(qū)別一般模擬題的一個(gè)重要特征就是解題入口比較寬,可以從不同角度處理,例如本題中第(1)問,考慮到不等式右邊是平方式,容易聯(lián)想到柯西不等式；

第(1)問相對(duì)較簡(jiǎn)單,以下重點(diǎn)討論第(2)問,我們都清楚不等式是選考內(nèi)容,有些高中側(cè)重極坐標(biāo)與參數(shù)方程教學(xué),淡化不等式,導(dǎo)致部分考生即使學(xué)習(xí)過三個(gè)正數(shù)的基本不等式,也不能夠靈活運(yùn)用,本題最大的亮點(diǎn)是使用兩個(gè)正數(shù)的基本不等式也可以解決；

方法二因?yàn)閍,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3=

同理

二要認(rèn)真落實(shí)云南與周邊省區(qū)市及長(zhǎng)江沿岸省區(qū)市簽訂的戰(zhàn)略合作協(xié)議，深入推進(jìn)與長(zhǎng)江流域、成渝經(jīng)濟(jì)區(qū)和周邊省區(qū)的交流合作，加強(qiáng)資本引進(jìn)、渠道建設(shè)、市場(chǎng)對(duì)接，深度開展資本和產(chǎn)業(yè)合作。

點(diǎn)評(píng)解題成功的關(guān)鍵要素是代數(shù)變形的靈活應(yīng)用,本題中技巧是將3 次降為2 次處理,若變形能力足夠強(qiáng)大,再退一步,此題僅用初中的知識(shí)也可以解決.

方法三(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3

根據(jù)(1)問得

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用此方法雖然只需要具備初中知識(shí),但變形技巧要求高,對(duì)于高中生來講有點(diǎn)繞圈子,不推薦使用.此方法的介紹,主要目的是讓我們感受數(shù)學(xué)的美.

我們?cè)趯W(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候不可回避地接觸到函數(shù)的凹凸性,由函數(shù)的凹凸性衍生出來的琴生不等式也可以很好地證明此題

琴生不等式

若f(x) 在區(qū)間I上為凸函數(shù),則對(duì)x1,x2,···,xn ∈I,總有當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=···=xn時(shí)取等號(hào).

方法四構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3(x＞0),因?yàn)閒′′(x)=6x＞0,所以f(x)在(0,+∞)是遞增的凸函數(shù),即整理得當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

有一定競(jìng)賽基礎(chǔ)的考生都知道權(quán)方和不等式是一個(gè)銳利小巧的不等式,它具有條件簡(jiǎn)明、結(jié)構(gòu)優(yōu)美、使用方便等特點(diǎn),本題也可以使用權(quán)方和不等式證明；

權(quán)方和不等式

已知a1,a2,···,an,x1,x2,···,xn均為正數(shù),若m＞0,則有

方法五(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

結(jié)束語(yǔ)

筆者所處的廣東省采用全國(guó)Ⅰ卷,據(jù)了解,在選做題的處理上大部分中學(xué)都鼓勵(lì)學(xué)生選擇極坐標(biāo)與參數(shù)方程,

由于不等式選講內(nèi)容長(zhǎng)期得不到足夠的重視,而今年全國(guó)Ⅰ卷的極坐標(biāo)與參數(shù)方程突然難度加大,整個(gè)考生一片“哀嚎”.

本文采用五種方法對(duì)2019年不等式選講高考題進(jìn)行多角度分析,充分說明不等式選做題的命制有一定的規(guī)律,解決方法也是多種多樣的,同時(shí)不等式與高中數(shù)學(xué)其他板塊內(nèi)容結(jié)合比較緊密,特別是解決最值問題,有獨(dú)到的優(yōu)勢(shì),學(xué)好不等式對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)也有很大的幫助.所以在今后的教學(xué)中,我們一線教師一定要對(duì)不等式選講的教學(xué)加以重視.