周聰，閆曉東,2,*，唐碩,2

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710068

2. 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710068

近年來(lái)，隨著高超聲速關(guān)鍵技術(shù)的逐漸成熟，世界各國(guó)加速推進(jìn)高超聲速武器實(shí)戰(zhàn)化發(fā)展，高超聲速武器正逐步從潛在技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)威脅[1]。其高速機(jī)動(dòng)飛行特性所帶來(lái)的強(qiáng)大突防能力必將對(duì)現(xiàn)有攔截系統(tǒng)造成極大挑戰(zhàn)，研究可有效攔截此類目標(biāo)的先進(jìn)制導(dǎo)方法迫在眉睫。在傳統(tǒng)目標(biāo)攔截過(guò)程中，末制導(dǎo)被認(rèn)為是整個(gè)攔截制導(dǎo)的關(guān)鍵，中制導(dǎo)只需負(fù)責(zé)將攔截彈引導(dǎo)到導(dǎo)引頭開機(jī)距離內(nèi)，滿足脫靶量等少量約束即可。由于一般目標(biāo)軌跡可精確預(yù)測(cè)，或是飛行速度低、機(jī)動(dòng)能力弱，基于簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)方法以及比例制導(dǎo)類方法[2-4]可以較為容易的滿足大氣層內(nèi)中制導(dǎo)任務(wù)要求。但以高超滑翔飛行器為代表的新型臨近空間目標(biāo)，其高機(jī)動(dòng)能力不僅對(duì)攔截彈的中制導(dǎo)提出了更高的要求，也使得攔截中制導(dǎo)的作用和重要性大大增加[5]。考慮到其高速、高機(jī)動(dòng)、彈道難以預(yù)測(cè)的飛行特性，攔截此類目標(biāo)中制導(dǎo)設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮的因素有：① 目標(biāo)預(yù)測(cè)，高速目標(biāo)攔截中制導(dǎo)嚴(yán)重依賴對(duì)目標(biāo)軌跡的精確預(yù)測(cè)，而目標(biāo)靈活多變的機(jī)動(dòng)飛行導(dǎo)致對(duì)目標(biāo)軌跡的精確預(yù)測(cè)十分困難[5]；② 終端交會(huì)角約束，目標(biāo)具有較高的速度(通常高于攔截彈速度)，在這樣情況下減小交會(huì)角有利于末段攔截，因此需要對(duì)終端交會(huì)角進(jìn)行約束[6]；③ 可用氣動(dòng)過(guò)載約束，攔截彈所采用的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)一般工作時(shí)間較短，在中制導(dǎo)的大部分時(shí)間都是依靠氣動(dòng)力控制，然而，在攔截過(guò)程中隨著高度的增加可用氣動(dòng)過(guò)載快速衰減，其結(jié)果將是在低空可用過(guò)載富余而在高空可用過(guò)載不足[7]，此種情況要求中制導(dǎo)方法能夠合理分配全程過(guò)載，有效利用低空的過(guò)載能力同時(shí)避免高空過(guò)載超出限制，即滿足可用氣動(dòng)過(guò)載約束。此外，為了提高末制導(dǎo)段攔截能力，還希望中制導(dǎo)過(guò)程能夠盡量減少能量損失，提高終端速度[8]。

目前，專門針對(duì)臨近空間目標(biāo)，完全考慮以上攔截要求的中制導(dǎo)研究較少，但對(duì)其中一些具體問(wèn)題已有所研究。此類目標(biāo)的大氣層內(nèi)攔截中制導(dǎo)本質(zhì)上是一個(gè)預(yù)測(cè)和多約束問(wèn)題。約束主要包括終端脫靶量、終端交會(huì)角以及作為控制量的可用過(guò)載約束。目前，對(duì)終端角約束制導(dǎo)方法研究較多，如比例制導(dǎo)[9-10]、滑模[11-12]、最優(yōu)制導(dǎo)[13-15]均可以很好地實(shí)現(xiàn)，但可用過(guò)載約束的加入將使問(wèn)題復(fù)雜性大大增加。實(shí)際攔截過(guò)程中，由于飛行高度和速度的快速變化，可用過(guò)載約束值是時(shí)變的，而可用過(guò)載約束的施加又會(huì)影響后續(xù)可用過(guò)載的約束范圍[16]，這種控制約束與控制量之間的相互耦合使問(wèn)題更為棘手。對(duì)于包含較多約束的復(fù)雜制導(dǎo)問(wèn)題，最優(yōu)控制理論是更為有效的工具。文獻(xiàn)[17]最早應(yīng)用最優(yōu)控制方法研究了氣動(dòng)可用過(guò)載約束下制導(dǎo)問(wèn)題，通過(guò)在性能指標(biāo)中加入與動(dòng)壓相關(guān)罰函數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)可用過(guò)載的約束，但需要預(yù)先得到自身速度變化剖面以及目標(biāo)加速度信息；文獻(xiàn)[18]研究了平面內(nèi)終端角約束和終端指令加速度約束下的最優(yōu)制導(dǎo)問(wèn)題，解決了施加角約束后末端指令加速度過(guò)大問(wèn)題；文獻(xiàn)[16]基于線性化模型，研究了平面內(nèi)終端角約束和可用氣動(dòng)過(guò)載約束下攔截問(wèn)題，但在實(shí)施時(shí)需要采用數(shù)值積分方法多次迭代和預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)。文獻(xiàn)[19]應(yīng)用模型預(yù)測(cè)靜態(tài)規(guī)劃方法研究了彈道類目標(biāo)攔截問(wèn)題，通過(guò)將控制約束轉(zhuǎn)化為凸二次規(guī)劃問(wèn)題應(yīng)用內(nèi)點(diǎn)法求解實(shí)現(xiàn)了可用過(guò)載約束。不難看出現(xiàn)有方法在處理這類同時(shí)含有角約束和可用過(guò)載約束制導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，一般要結(jié)合數(shù)值方法，實(shí)施復(fù)雜，而且多在二維平面內(nèi)。

顯式制導(dǎo)是一種基于當(dāng)前飛行狀態(tài)，實(shí)時(shí)解算出對(duì)所要求終端條件的偏差，并以此來(lái)生成制導(dǎo)指令的方法，通過(guò)應(yīng)用最優(yōu)控制理論，可獲得某種性能指標(biāo)下修正終端偏差最優(yōu)制導(dǎo)律，這種方法最早應(yīng)用于火箭上升段制導(dǎo)[20]以及著陸制導(dǎo)問(wèn)題[21]。文獻(xiàn)[22]通過(guò)在控制量性能指標(biāo)中加入剩余飛行時(shí)間的倒數(shù)項(xiàng)，提出了通用顯式制導(dǎo)方法，在實(shí)現(xiàn)角約束同時(shí)避免了終端指令加速度過(guò)大問(wèn)題。雖然沒(méi)有考慮可用過(guò)載約束，但文中結(jié)果表明通過(guò)構(gòu)建不同的性能指標(biāo)可以實(shí)現(xiàn)多樣的軌跡形式和制導(dǎo)加速度變化規(guī)律，顯示出了具備控制過(guò)載分配能力以及實(shí)現(xiàn)可用過(guò)載約束潛力。此外，現(xiàn)有的中制導(dǎo)方法[8, 23-24]多假定預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)固定或已知，但在實(shí)際中，預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)是很難精確獲得的，且對(duì)制導(dǎo)性能影響很大。傳統(tǒng)目標(biāo)攔截時(shí)一般采用目標(biāo)勻速直線飛行的假設(shè)[2, 4]估計(jì)攔截點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)為將目標(biāo)軌跡假定為直線，以當(dāng)前速度沿直線遞推，顯然不適用于機(jī)動(dòng)目標(biāo)。機(jī)動(dòng)目標(biāo)的軌跡跟蹤和預(yù)測(cè)方法[25-28]雖然已經(jīng)有所研究，但由于計(jì)算量大、時(shí)間長(zhǎng)，很難應(yīng)用于中制導(dǎo)方法。對(duì)于制導(dǎo)方法來(lái)說(shuō)，隨著剩余飛行時(shí)間減少，預(yù)估攔截點(diǎn)將逐步收斂到實(shí)際攔截點(diǎn)，因此單一時(shí)刻預(yù)測(cè)精度并不是唯一且必須達(dá)到的要求，預(yù)測(cè)方法的穩(wěn)定性和快速性是同為重要的指標(biāo)。

考慮到以上問(wèn)題和需求，本文首先針對(duì)臨近空間目標(biāo)滑翔段飛行特性，提出了基于圓弧的幾何目標(biāo)預(yù)測(cè)方法，其將目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡近似為圓弧，依據(jù)圓弧遞推攔截點(diǎn)狀態(tài)，應(yīng)用此方法，基于目標(biāo)的位置和速度信息即可對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行快速預(yù)測(cè)。然后基于顯式制導(dǎo)原理，通過(guò)在性能指標(biāo)中構(gòu)建動(dòng)壓權(quán)重函數(shù)，以飛行動(dòng)壓近似可用過(guò)載變化，設(shè)計(jì)了變系數(shù)顯式制導(dǎo)律。相比通用顯式制導(dǎo)[22]，本文提出的方法滿足可用過(guò)載約束的同時(shí)還可有效提升攔截速度。最后，結(jié)合圓弧預(yù)測(cè)和變系數(shù)顯式制導(dǎo)，推導(dǎo)了機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截中制導(dǎo)方法，仿真結(jié)果表明了本文方法的有效性。

1 問(wèn)題描述與分析

1.1 攔截彈模型

由于一般攔截彈固體發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間很短，因此假定在進(jìn)入中制導(dǎo)階段時(shí)攔截彈發(fā)動(dòng)機(jī)已經(jīng)關(guān)機(jī)，在地面發(fā)射坐標(biāo)系下建立三維攔截彈質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：VM為速度；γM為彈道傾角；ψM為速度航向角；m為攔截彈質(zhì)量；g為重力加速度；xM、yM、zM為攔截彈在地面發(fā)射系下位置；Fx、Fy和Fz分別為攔截彈的阻力、升力和側(cè)向力，其定義為

Fx=qSCx(Ma,α,β)

(7)

Fy=qSCy(Ma,α)

(8)

Fz=qSCz(Ma,β)

(9)

其中：q為動(dòng)壓；S為參考面積；Ma為馬赫數(shù)；Cx、Cy、Cz分別表示導(dǎo)彈的阻力、升力和側(cè)向力系數(shù)；α、β為導(dǎo)彈的攻角和側(cè)滑角，在制導(dǎo)過(guò)程中，導(dǎo)彈的縱向和側(cè)向制導(dǎo)加速度是由升力和側(cè)向力提供的，即

Fy=may

(10)

Fz=maz

(11)

同時(shí)其可提供的制導(dǎo)加速度大小受最大攻角和側(cè)滑角限制：

(12)

式中：Cymax、Czmax表示最大攻角和最大側(cè)滑角下的升力和側(cè)向力系數(shù)，其與馬赫數(shù)有關(guān)，需要注意的是約束式是時(shí)變且與飛行狀態(tài)相關(guān)的。

1.2 攔截中制導(dǎo)問(wèn)題

中制導(dǎo)要求為末制導(dǎo)提供良好的初始條件，滿足中末制導(dǎo)交班要求。對(duì)于高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截，其終端約束為脫靶量和交會(huì)角。定義交會(huì)角為攔截彈速度矢量與目標(biāo)速度矢量夾角的補(bǔ)角[6]，對(duì)于三維攔截，可以將其分解到縱向和側(cè)向平面：

φy=π-(γM-γT)

(13)

φz=π-(ψM-ψT)

(14)

式中：γM、ψM分別為攔截彈的彈道傾角和速度航向角；γT、ψT為目標(biāo)的彈道傾角和速度航向角。對(duì)于小速度比攔截，愈小的交會(huì)角愈有利于末制導(dǎo)攔截[6]，因此，需要對(duì)終端交會(huì)角進(jìn)行約束：

(15)

同時(shí)脫靶量約束為

(16)

因此，本文的攔截中制導(dǎo)設(shè)計(jì)要求為:給出合理的控制序列a=[ay,az]，使其滿足控制約束式(12)以及終端約束式(15)和式(16)，同時(shí)盡可能地增大終端速度。

2 基于空間圓弧的軌跡預(yù)測(cè)

高超聲速滑翔飛行器一般在縱向保持準(zhǔn)平衡滑翔狀態(tài)，而在側(cè)向通過(guò)調(diào)整傾側(cè)角，控制升力方向的方式進(jìn)行機(jī)動(dòng)和制導(dǎo)飛行。盡管這類飛行器機(jī)動(dòng)模式多樣[29-30]，但在滑翔段機(jī)動(dòng)飛行中，為了維持準(zhǔn)平衡滑翔條件以及滿足制導(dǎo)控制系統(tǒng)的限制，攻角、傾側(cè)角的調(diào)整并不頻繁[25, 31]，可以在某一較短的攔截時(shí)間內(nèi)認(rèn)為是常值。此時(shí)，滑翔飛行器彈道傾角較小，在速度法向只存在重力和氣動(dòng)升力，在兩者合力作用下飛行器的實(shí)際軌跡為一近似的空間圓弧，其圓弧半徑為

(17)

式中：L和G分別為目標(biāo)的升力和重力；σ為其傾側(cè)角；mT為目標(biāo)質(zhì)量。因此，在對(duì)高速滑翔類目標(biāo)進(jìn)行軌跡預(yù)測(cè)時(shí)，采用基準(zhǔn)圓弧軌跡方式比一般按當(dāng)前速度直線遞推[4]的方法在理論上更適用。

2.1 空間圓弧方程

空間圓弧方程可以采用直角坐標(biāo)也可以采用極坐標(biāo)的方式，本文采用直角坐標(biāo)的方式。對(duì)于空間圓弧，可以認(rèn)為是一球面與通過(guò)此球面的平面相交產(chǎn)生，球面方程可以由球心坐標(biāo)(x0,y0,z0)和球面半徑(R0) 4個(gè)參數(shù)定義：

(18)

空間平面方程為

Ax+By+Cz+D=0

(19)

式中：(A,B,C)為其平面的法向量坐標(biāo)，由于D可以通過(guò)將球面方程中的球心坐標(biāo)代入求得，因此其實(shí)質(zhì)的參數(shù)只有3個(gè)，所以空間圓弧方程為

(20)

由式(20)可知，空間圓弧總共需要以下7個(gè)特征參數(shù):(x0,y0,z0,R0,A,B,C),才能唯一確定。

2.2 圓弧軌跡確定方法

對(duì)于空間圓弧來(lái)說(shuō)，通過(guò)3個(gè)軌跡點(diǎn)可以確定其參數(shù)，如圖1所示假設(shè)在進(jìn)行中制導(dǎo)軌跡預(yù)測(cè)時(shí)，以當(dāng)前時(shí)刻(tk)按間隔時(shí)間Δt分別向后遞推取3個(gè)軌跡點(diǎn)：P(tk)、P(tk-1)、P(tk-2)，其在地面系下的位置坐標(biāo)為

(21)

圖1 圓弧軌跡預(yù)測(cè)

首先通過(guò)軌跡點(diǎn)P1、P2、P3坐標(biāo)可得到圓弧所在平面方程為

(22)

其對(duì)應(yīng)于空間平面方程(19)的系數(shù)為

(23)

同時(shí)由空間球面方程(18)可得

(24)

(25)

(26)

聯(lián)立以上3個(gè)方程，可消去R0，得到關(guān)于圓心坐標(biāo)的方程為

A2x+B2y+C2z+D2=0

(27)

A3x+B3y+C3z+D3=0

(28)

式中：

聯(lián)立式(19)、式(27)和式(28)獲得關(guān)于圓心坐標(biāo)的線性代數(shù)方程組為

(29)

求解式(29)得圓心坐標(biāo)為

(30)

圓弧半徑為

(31)

至此，可獲得確定圓弧軌跡的7個(gè)特征參數(shù)。

2.3 預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)

一般臨近空間目標(biāo)在滑翔段速度衰減較慢，在預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)估計(jì)時(shí)可假定目標(biāo)保持當(dāng)前速度VT飛行，則如圖1所示經(jīng)過(guò)剩余飛行時(shí)間T后目標(biāo)軌跡轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為

(32)

圓弧平面單位法向量為

(33)

預(yù)測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)XT′可以通過(guò)將目標(biāo)當(dāng)前位置XT沿圓心O，以空間向量n旋轉(zhuǎn)?角度得到(如圖1所示)

XT′=XT+R(n,?)(XT-XO)

(34)

式中：R(n,?)表示沿任意空間方向向量n、旋轉(zhuǎn)?角度的轉(zhuǎn)換矩陣，定義為

(35)

式中：nx、ny、nz為空間法向量n的分量，由此可計(jì)算得到給定剩余飛行時(shí)間T下的預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)位置。

為了對(duì)終端交會(huì)角約束，需要預(yù)測(cè)目標(biāo)在攔截點(diǎn)處的彈道傾角和速度航向角，基于圓弧軌跡的假設(shè)，可以方便地進(jìn)行估算：

首先如圖1所示，在預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)T′處的目標(biāo)速度方向向量可表示為

VT′=OT′×n

(36)

因此，速度方向向量分量為

VT′=[VT′x,VT′y,VT′z]T

(37)

則目標(biāo)終端的彈道傾角和速度航向角為

(38)

(39)

3 變系數(shù)顯式制導(dǎo)

本節(jié)首先在勻速假設(shè)下推導(dǎo)了三維終端角約束顯式制導(dǎo)律，然后在性能指標(biāo)中構(gòu)建動(dòng)壓權(quán)重函數(shù)，設(shè)計(jì)了制導(dǎo)增益自適應(yīng)更新的顯式制導(dǎo)方法，實(shí)現(xiàn)了可用過(guò)載約束。

3.1 三維角約束顯式制導(dǎo)

攔截彈在慣性系中的運(yùn)動(dòng)可描述為

(40)

式中：yM為攔截彈在慣性系中的位移矢量；aM為對(duì)應(yīng)的制導(dǎo)加速度矢量，制導(dǎo)律需要滿足終端狀態(tài)約束：

(41)

即同時(shí)滿足終端位置和速度約束，定義新的狀態(tài)量和控制量為

(42)

(43)

u=aM

(44)

對(duì)式(42)和式(43)分別求導(dǎo)可得

(45)

(46)

所以構(gòu)成線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：

(47)

式中：

(48)

為了實(shí)現(xiàn)式(41)所示的終端約束，需令

X1(tf)=X2(tf)=0

(49)

考慮二次型性能指標(biāo)：

(50)

式中：n可取大于等于0的任意整數(shù)，如式(50)的性能指標(biāo)可保證當(dāng)剩余飛行時(shí)間T趨近于0時(shí)制導(dǎo)加速度愈小，且隨著n的增大而使這種效果更明顯。一般的，n=0 僅表示控制消耗最省的性能指標(biāo)。

對(duì)于如式(47)、式(49)、式(50)定義線性最優(yōu)控制問(wèn)題，可以應(yīng)用最優(yōu)控制理論得到確定解析解[22]，從文章完備性考慮給出簡(jiǎn)要推導(dǎo)過(guò)程。

定義哈密頓函數(shù)

H=L+λ(AX+bu)

(51)

式中：λ=[λ1,λ2]為協(xié)態(tài)向量，由最優(yōu)性條件：

(52)

同時(shí)

(53)

所以原問(wèn)題的最優(yōu)解為

u*=-λbTn

(54)

為了求解協(xié)態(tài)向量λ，定義基礎(chǔ)求解矩陣M，其滿足：

(55)

對(duì)照式(52)和式(55)，作為通解形式協(xié)態(tài)向量應(yīng)滿足：

λ=cM

(56)

式中：c為常向量。采用如下方法求解M矩陣，令

(57)

當(dāng)T=0時(shí)有X=0，對(duì)式(57)積分，可得

(58)

(59)

MX=QcT

(60)

cT=Q-1MX

(61)

將式(61)和式(56)代入式(54)整理可得最優(yōu)解為

u*=-(Mb)TQ-1MXTn

(62)

基于以上推導(dǎo)求解原問(wèn)題，將式(48)代入式(58)，此時(shí)M=I，可得

(63)

所以

(64)

根據(jù)式(62)原問(wèn)題以式(50)為性能指標(biāo)的最優(yōu)制導(dǎo)指令為

u*=-(Mb)TQ-1MXTn=

(65)

將式(42)～式(44)代入式(65)，整理可得

(66)

式中：

K1=(n+2)(n+3),K2=(n+2)(n+1)

(67)

假定攔截彈采用常值速度飛行，則有

(68)

(69)

(70)

(71)

采用近似R=VT：

(72)

對(duì)于采用氣動(dòng)力控制的攔截彈，加速度制導(dǎo)指令只能施加在速度法方向，因此將式(72)分解到彈道系的OYv,OZv方向：

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

以上推導(dǎo)沒(méi)有考慮重力影響，為了提高制導(dǎo)精度，實(shí)際實(shí)施時(shí)可在縱向制導(dǎo)指令式(79)中加入重力補(bǔ)償項(xiàng)，有

gcosγ

(81)

式(80)和式(81)的制導(dǎo)指令中包含縱側(cè)向耦合項(xiàng)，一般中制導(dǎo)過(guò)程中實(shí)際速度方向偏離視線以及要求的終端角方向并不顯著，此時(shí)可假定qε-γ≈0，qβ-ψ≈0及γf-γ≈0,ψf-ψ≈0，同時(shí)臨近空間目標(biāo)在滑翔段具有較小的彈道傾角，可取qε≈γf≈0，此時(shí)，制導(dǎo)指令式(80)和式(81)可簡(jiǎn)化為

(82)

在中制導(dǎo)攔截飛行中，攔截彈控制系統(tǒng)通過(guò)跟蹤該制導(dǎo)指令實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的攔截。

3.2 制導(dǎo)增益自適應(yīng)更新設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)可用過(guò)載約束，在式(50)所示性能指標(biāo)中加入權(quán)重函數(shù)g(T)：

(83)

式中:權(quán)重函數(shù)設(shè)置為可提供的最大加速度，即根據(jù)可提供控制能力進(jìn)行控制量的分配，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)間接的控制約束：

g(T)=umax

(84)

類似的，采用如式(51)～式(62)推導(dǎo)過(guò)程可得到對(duì)應(yīng)最優(yōu)制導(dǎo)指令：

u*=-(Mb)TQ-1MXg(T)

(85)

式中：

(86)

氣動(dòng)力所能提供的最大可用加速度為

umax=qSCmax

(87)

式中：Cmax為最大攻角下的升力系數(shù)或最大側(cè)滑角下的側(cè)向力系數(shù)，由于在高馬赫數(shù)下變化不顯著，因此可近似為常值。

對(duì)于權(quán)重函數(shù)(84)，可寫為與終端量的相對(duì)比值形式，消去參考面積和常值氣動(dòng)系數(shù)項(xiàng)，此時(shí)

(88)

式中：q(T)為當(dāng)前時(shí)刻動(dòng)壓；qf為飛行終端時(shí)刻動(dòng)壓。由于是顯式制導(dǎo)，在實(shí)施過(guò)程中需要預(yù)先得到攔截全程性能指標(biāo)權(quán)重g(T)即飛行動(dòng)壓相對(duì)變化，采用如下方法對(duì)其進(jìn)行近似預(yù)測(cè)。

首先應(yīng)用指數(shù)形式的大氣密度擬合公式：

ρ=ρ0e-h/hs

(89)

式中：ρ0為基準(zhǔn)大氣密度；hs為擬合常數(shù)；h為飛行高度；將式(89)代入式(88)，即

(90)

式中：h(T)和hf分別為當(dāng)前和終端高度；V(T)和Vf為當(dāng)前和終端速度?？梢钥吹絼?dòng)壓權(quán)重式(90)與速度的平方項(xiàng)和高度的指數(shù)項(xiàng)有關(guān)，考慮到高度變化對(duì)其的影響要比速度變化顯著的多，且攔截彈速度變化局限在前期較短時(shí)間內(nèi)，在這里應(yīng)用等速假設(shè)消去速度項(xiàng)，則

(91)

由于在中制導(dǎo)過(guò)程中實(shí)際軌跡偏離視線并不顯著，且制導(dǎo)律式(82)的收斂特性可保證飛行軌跡逐漸收斂到視線方向，此時(shí)高度變化可近似為

hf-h(T)=VTsinqs

(92)

式中：V、qs、T分別為當(dāng)前時(shí)刻下的速度、視線高低角和剩余飛行時(shí)間。將式(92)代入式(91)，同時(shí)令

(93)

此時(shí)，權(quán)重函數(shù)可寫為

g(T)=ecT

(94)

將式(94)代入式(86)積分可得

(95)

將式(94)和式(95)代入式(85)，即可得到變系數(shù)顯式制導(dǎo)律，其與式(82)形式一致，只改變了制導(dǎo)增益：

(96)

可以看到制導(dǎo)增益K1、K2是隨剩余飛行時(shí)間T和參數(shù)c變化的，因此需要估算剩余飛行時(shí)間(估算方法第4節(jié)給出)，并按式(93)計(jì)算參數(shù)c，最后應(yīng)用式(96)即可得到當(dāng)前制導(dǎo)周期內(nèi)更新的制導(dǎo)增益。

4 圓弧預(yù)測(cè)變系數(shù)顯式攔截中制導(dǎo)

本節(jié)結(jié)合圓弧預(yù)測(cè)和變系數(shù)顯式制導(dǎo)，通過(guò)圓弧預(yù)測(cè)方法估計(jì)攔截點(diǎn)目標(biāo)狀態(tài)，應(yīng)用變系數(shù)顯式制導(dǎo)方法實(shí)施對(duì)臨近空間機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截。

4.1 攔截點(diǎn)目標(biāo)狀態(tài)與剩余飛行時(shí)間估計(jì)

攔截中制導(dǎo)實(shí)施過(guò)程中的幾何關(guān)系如圖2所示，M、P分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)位置；T′為預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)位置；MT′為導(dǎo)彈位置相對(duì)預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)T′的視線；qb和qs為導(dǎo)彈對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)的視線方位角和高低角，通過(guò)預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)和導(dǎo)彈位置可以計(jì)算得到。

圖2 攔截中制導(dǎo)實(shí)施過(guò)程中幾何關(guān)系示意圖

由前所述，臨近空間目標(biāo)飛行軌跡可近似為一段空間圓弧，此時(shí)基于2.2節(jié)圓弧確定方法，根據(jù)若干間隔時(shí)刻目標(biāo)點(diǎn)位置可確定對(duì)應(yīng)圓弧特征參數(shù)。然后在剩余飛行時(shí)間T時(shí)的預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)位置可由式(34)計(jì)算得到：

(97)

假定攔截彈以速度VM沿直線飛行，則有

|MT′|=VMT

(98)

式中：|MT′|為攔截彈當(dāng)前位置到預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)T′ 距離，有

|MT′|=

(99)

將預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)位置式(97)代入式(99)同時(shí)聯(lián)立式(98)即可得到關(guān)于剩余飛行時(shí)間的方程，此方程為超越方程，可采用數(shù)值方法求解。

求得剩余飛行時(shí)間后，應(yīng)用式(32)～式(38)即可估計(jì)攔截點(diǎn)位置以及目標(biāo)的速度傾角和速度航向角。以上在進(jìn)行攔截點(diǎn)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)時(shí)，需要的測(cè)量信息為目標(biāo)當(dāng)前時(shí)刻位置，當(dāng)前時(shí)刻速度大小以及兩個(gè)歷史時(shí)刻位置。

4.2 圓弧預(yù)測(cè)攔截中制導(dǎo)的實(shí)現(xiàn)

應(yīng)用變系數(shù)顯式制導(dǎo)方法對(duì)4.1節(jié)估計(jì)得到的預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)進(jìn)行攔截時(shí)，首先根據(jù)預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)位置T′計(jì)算預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)視線角qs，然后結(jié)合導(dǎo)彈當(dāng)前速度VM計(jì)算顯式制導(dǎo)增益式(96)，接著應(yīng)用變系數(shù)顯式制導(dǎo)方法得到制導(dǎo)指令式(82)，整個(gè)制導(dǎo)方法的實(shí)施流程如圖3所示。

如圖2所示，若對(duì)導(dǎo)彈不施加制導(dǎo)，忽略重力和阻力影響，導(dǎo)彈將按當(dāng)前速度飛行，以此預(yù)估攔截時(shí)刻零控導(dǎo)彈位置M′，有

|MM′|=VMT

(100)

零控導(dǎo)彈位置與預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)之間的位移M′T′即為零控脫靶量,中制導(dǎo)要保證終端時(shí)刻零控脫靶量為零，此時(shí)等價(jià)于：

γ(tf)=qs(tf),ψ(tf)=qb(tf)

(101)

即導(dǎo)彈速度方向與預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)視線方向一致，同時(shí)滿足終端角約束：

γ(tf)=γf,ψ(tf)=ψf

(102)

結(jié)合以上分析，制導(dǎo)律式(82)的本質(zhì)即為調(diào)整導(dǎo)彈速度方向使其與預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)視線方向一致，同時(shí)達(dá)到指定終端角方向。

需要注意的是以上在推導(dǎo)顯式制導(dǎo)以及剩余飛行時(shí)間估計(jì)時(shí)采用了目標(biāo)和攔截彈勻速飛行的假設(shè)。實(shí)際中，目標(biāo)在滑翔段飛行時(shí)速度衰減緩慢，較為符合這樣的假設(shè)。攔截彈雖然有一定的速度變化，但主要發(fā)生在前期，隨著高度增加，阻力下降，其逐漸將接近常值，而且在制導(dǎo)過(guò)程中是不斷更新的，因此可以滿足制導(dǎo)需要。

5 數(shù)值仿真與分析

本節(jié)將通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證本文制導(dǎo)律的實(shí)際效果，在實(shí)施時(shí)分為兩部分：首先針對(duì)固定攔截點(diǎn)進(jìn)行打擊，驗(yàn)證變系數(shù)顯式制導(dǎo)處理終端角約束以及可用過(guò)載約束的能力，同時(shí)與常系數(shù)下的顯式制導(dǎo)進(jìn)行了對(duì)比；然后以做側(cè)向機(jī)動(dòng)的CAV-H飛行器作為目標(biāo)，驗(yàn)證本文制導(dǎo)方法進(jìn)行軌跡預(yù)測(cè)以及對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截能力，同時(shí)與一種預(yù)測(cè)比例制導(dǎo)方法進(jìn)行了對(duì)比；最后考慮測(cè)量偏差和氣動(dòng)參數(shù)不確定性影響，進(jìn)行蒙特卡羅打靶驗(yàn)證本文方法在隨機(jī)偏差條件下的制導(dǎo)性能。在仿真時(shí)，機(jī)動(dòng)過(guò)載約束不是定值，通過(guò)約束攻角和側(cè)滑角α、β∈[-15°,15°]得到，制導(dǎo)指令對(duì)應(yīng)的攻角和側(cè)滑角通過(guò)氣動(dòng)力系數(shù)反插值得到。

5.1 針對(duì)固定點(diǎn)攔截仿真結(jié)果

初始時(shí)刻導(dǎo)彈位置為(0, 15, 0) km，速度為2 000 m/s,飛行高度15 km,彈道傾角15°，速度方位角0°。選定的攔截點(diǎn)位置為(70, 35, 4) km,速度傾角和航向角約束分別為0°和8°，飛行全程無(wú)動(dòng)力。分別在常系數(shù)和變系數(shù)下應(yīng)用本文制導(dǎo)律式(82)進(jìn)行攔截，其中常系數(shù)按式(67)計(jì)算，采用控制量最省的性能指標(biāo)，因此取n=0。針對(duì)固定點(diǎn)攔截的仿真結(jié)果如表1、圖4～圖7所示。

圖4給出了變系數(shù)顯式制導(dǎo)性能指標(biāo)權(quán)重預(yù)測(cè)值和實(shí)際值對(duì)比。可以看出，采用式(94)所示的簡(jiǎn)化預(yù)測(cè)方法雖然在初期有一定偏差，但可以很快地收斂于實(shí)際值，證明用于簡(jiǎn)化的假設(shè)是合理的。

由表1和圖5可以看到，變系數(shù)顯式制導(dǎo)具有較小脫靶量，同時(shí)終端角以很高的精度滿足了約束要求。而常系數(shù)顯式制導(dǎo)不僅沒(méi)有實(shí)現(xiàn)終端角約束，而且產(chǎn)生了較大的脫靶量。主要原因可以從圖6分析得到：攔截飛行后半段制導(dǎo)需用加速度超過(guò)氣動(dòng)力所能提供的最大法向加速度，加速度飽和導(dǎo)致無(wú)法實(shí)現(xiàn)期望制導(dǎo)效果。而變系數(shù)顯式制導(dǎo)需用加速度全程調(diào)節(jié)在可用加速度邊界內(nèi)，保證了終端脫靶量和角約束實(shí)現(xiàn)。這種需用加速度合理分配是通過(guò)制導(dǎo)增益的自適應(yīng)調(diào)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。如圖7(c)所示，變系數(shù)顯式制導(dǎo)初期有較大的增益，而在制導(dǎo)過(guò)程中逐漸減小，最后與常系數(shù)顯式制導(dǎo)趨于一致。這樣的變化充分利用飛行初期富余的過(guò)載能力，而在后期飛行高度增加可用過(guò)載減小后降低了需用過(guò)載要求。結(jié)果表明變系數(shù)顯式制導(dǎo)能夠根據(jù)飛行全程可用過(guò)載的變化合理分配需用過(guò)載，滿足可用過(guò)載約束，繼而保證終端脫靶量和角約束的實(shí)現(xiàn)。

表1 固定點(diǎn)攔截仿真結(jié)果

圖4 變系數(shù)顯式制導(dǎo)性能指標(biāo)權(quán)重預(yù)測(cè)

圖5 針對(duì)固定點(diǎn)攔截軌跡

圖6 固定點(diǎn)攔截加速度變化

可用過(guò)載約束的實(shí)現(xiàn)同時(shí)導(dǎo)致了飛行軌跡的差異，如圖5(b)所示，變系數(shù)顯式制導(dǎo)軌跡相比常系數(shù)在前期機(jī)動(dòng)繞飛更多航程，而在后段保持平直飛行和較小曲率，這樣的軌跡形式降低了攔截末端需用過(guò)載要求，表明這種方法已經(jīng)具備一定的軌跡規(guī)劃能力。

圖7 固定點(diǎn)攔截仿真結(jié)果

同時(shí)由圖7(d)可以看出，變系數(shù)顯式制導(dǎo)相比常系數(shù)具有更高的終端速度，主要原因是，一般顯式制導(dǎo)所采用的如式(50)所示性能指標(biāo)表示制導(dǎo)加速度最省，對(duì)于氣動(dòng)力攔截彈，制導(dǎo)加速度是由升力提供的，而終端速度是與阻力直接相關(guān)的；在一般問(wèn)題中，由于認(rèn)為愈小的氣動(dòng)升力下誘導(dǎo)阻力愈小，這樣的性能指標(biāo)近似等價(jià)于最大化終端速度；但是這個(gè)準(zhǔn)則在大空域攔截，高度和動(dòng)壓大幅變化的場(chǎng)景下并不完全適用。因?yàn)閷?duì)于相同的制導(dǎo)加速度指令，動(dòng)壓不同，攻角則不同，進(jìn)而導(dǎo)致誘導(dǎo)阻力有差別。顯然隨著動(dòng)壓增大，所需攻角減小可以使對(duì)應(yīng)的誘導(dǎo)阻力降低。本文在原有性能指標(biāo)中引入如式(94)所示動(dòng)壓權(quán)重，更能匹配這種變化，繼而減小誘導(dǎo)阻力，提升終端速度。

以上結(jié)果和分析表明，基于動(dòng)壓權(quán)重自適應(yīng)更新的變系數(shù)顯式制導(dǎo)方法可行，相比一般常系數(shù)顯式制導(dǎo)，其不僅滿足了可用過(guò)載約束，保證了終端脫靶量和角約束的實(shí)現(xiàn)，還有效提升了終端速度。

5.2 針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截仿真結(jié)果

選擇CAV-H飛行器作為目標(biāo)，其初始時(shí)刻位置為(200, 35, 0) km，飛行高度為35 km，飛行速度為3 500 m/s，速度傾角和航向角為0°。在攔截過(guò)程中，CAV-H以恒定的攻角和傾側(cè)角(α=10°,σ= 40°)進(jìn)行側(cè)向機(jī)動(dòng)，模擬一般滑翔飛行器在滑翔段的飛行方式。同時(shí)假定目標(biāo)的位置和速度信息可以測(cè)量得到，圓弧預(yù)測(cè)時(shí)兩個(gè)歷史時(shí)刻位置間隔時(shí)間選為 5 s，中制導(dǎo)初始狀態(tài)選擇發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)時(shí)刻飛行狀態(tài)。導(dǎo)彈在距目標(biāo)15 km 時(shí)中末制導(dǎo)交班，中制導(dǎo)結(jié)束。由于本文沒(méi)有考慮末制導(dǎo)段，中制導(dǎo)結(jié)束后的制導(dǎo)指令保持最后時(shí)刻的值，終端交會(huì)角約束為0°，其他初始狀態(tài)和仿真條件沿用5.1節(jié)中的設(shè)置。

分別應(yīng)用圓弧預(yù)測(cè)變系數(shù)顯式制導(dǎo)方法(本文制導(dǎo)方法)和預(yù)測(cè)比例制導(dǎo)[4]按上述條件進(jìn)行仿真，其中預(yù)測(cè)比例制導(dǎo)采用以目標(biāo)當(dāng)前速度沿直線遞推的方法估計(jì)攔截點(diǎn)，同時(shí)應(yīng)用比例制導(dǎo)打擊攔截點(diǎn)。仿真結(jié)果如表2和圖8所示，可以看出：由于未加入末制導(dǎo)段修正，本文制導(dǎo)方法脫靶量和終端交會(huì)角沒(méi)有完全收斂到0，然而其精度足以滿足中末制導(dǎo)交班要求；而預(yù)測(cè)比例制導(dǎo)出現(xiàn)了較大的零控脫靶量(4 262.19 m)和交會(huì)角(11.464 1°)偏差。導(dǎo)致這種差異的原因可結(jié)合仿真結(jié)果圖9和圖10進(jìn)行分析。

表2 機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截結(jié)果

圖8 針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截軌跡

首先是本文制導(dǎo)所采用的圓弧預(yù)測(cè)方法相比預(yù)測(cè)比例制導(dǎo)以當(dāng)前速度沿直線遞推的方法[4]顯著提升了預(yù)測(cè)精度。圖9(a)和圖9(c)給出了兩種方法的預(yù)測(cè)效果對(duì)比，可以看到本文制導(dǎo)方法一開始就達(dá)到了較高的精度，收斂到實(shí)際值附近，尤其在縱向和側(cè)向；而預(yù)測(cè)比例制導(dǎo)方法在初期出現(xiàn)了較大的偏差，雖然隨著剩余飛行時(shí)間的減少在攔截末端可以收斂到實(shí)際值，但在這個(gè)過(guò)程中將導(dǎo)致預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)大幅變化，使制導(dǎo)方法無(wú)法在初期過(guò)載能力充足情況下提前應(yīng)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)和修正零控脫靶量。由圖9(b)和圖9(c)可以看出，在進(jìn)行剩余飛行時(shí)間和預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)目標(biāo)位置估計(jì)時(shí)，兩種預(yù)測(cè)方式結(jié)果相近，其在初期均有一定的偏差，隨后逐漸收斂到真實(shí)值，這種偏差主要是沒(méi)有考慮攔截彈速度變化引起的，由于飛行初期大氣稠密，攔截彈速度將快速衰減，而以當(dāng)前速度進(jìn)行估計(jì)時(shí)將使剩余飛行時(shí)間小于實(shí)際值，并使預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)航向位移大于實(shí)際值。隨著高度增加阻力減小，攔截彈速度變化趨于穩(wěn)定，剩余飛行時(shí)間和預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)目標(biāo)位置估計(jì)值也將趨于實(shí)際值,仿真結(jié)果表明可以滿足制導(dǎo)需要。

圖9(d)給出了采用本文制導(dǎo)方法得到的目標(biāo)終端彈道傾角和速度航向角估計(jì)值與實(shí)際值對(duì)比，可以看到其精度很高，估計(jì)偏差小于0.5°，而且到攔截時(shí)刻將完全與實(shí)際值一致，結(jié)果表明估計(jì)方法可行，可以滿足交會(huì)角約束的需要。

以上結(jié)果和分析表明，本文制導(dǎo)所采用的圓弧預(yù)測(cè)相比一般按當(dāng)前速度直線遞推的方法，更符合臨近空間目標(biāo)機(jī)動(dòng)特性，顯著提升了預(yù)測(cè)精度，不僅能實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)位置的估計(jì)，還能進(jìn)行目標(biāo)終端速度傾角和航向角的預(yù)測(cè)，保證了中制導(dǎo)順利實(shí)施。

其次，如前所述，所應(yīng)用的變系數(shù)顯式制導(dǎo)方法具有可用過(guò)載約束能力，其在一定程度上能根據(jù)攔截全程最大可用過(guò)載變化合理分配制導(dǎo)加速度，避免制導(dǎo)加速度飽和；而不具備這種能力的比例制導(dǎo)，隨著攔截彈飛行高度增加，很快出現(xiàn)了制導(dǎo)加速度飽和現(xiàn)象(如圖10所示)。在這種條件下導(dǎo)彈只能以最大攻角和側(cè)滑角飛行(如圖11(a)所示)，由于實(shí)際加速度仍無(wú)法達(dá)到制導(dǎo)需用加速度要求，導(dǎo)致縱向和側(cè)向出現(xiàn)較大零控脫靶量，同時(shí)未能實(shí)現(xiàn)交會(huì)角約束。

圖9 目標(biāo)狀態(tài)預(yù)測(cè)結(jié)果

圖10 機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截加速度變化

綜上表明，本文提出的結(jié)合圓弧預(yù)測(cè)和變系數(shù)顯式制導(dǎo)對(duì)臨近空間目標(biāo)實(shí)施攔截中制導(dǎo)的方法可行，其目標(biāo)預(yù)測(cè)精度的提升和可用過(guò)載約束的實(shí)現(xiàn)保證了最終制導(dǎo)效果，滿足了終端零控脫靶量和交會(huì)角約束的要求，實(shí)現(xiàn)了對(duì)臨近空間機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效攔截。

5.3 隨機(jī)偏差條件下攔截仿真結(jié)果

5.1節(jié)和5.2節(jié)均是在假定目標(biāo)信息可精確獲得條件下的仿真，在實(shí)際中，雷達(dá)測(cè)量和跟蹤得到的目標(biāo)位置和速度信息不可避免存在誤差，同時(shí)，所使用的氣動(dòng)參數(shù)也存在不確定性。在5.2節(jié)仿真條件基礎(chǔ)上，加入測(cè)量信息和氣動(dòng)參數(shù)偏差進(jìn)行蒙特卡羅打靶仿真。其中，考慮目標(biāo)位置和速度在地面坐標(biāo)系下的3軸分量(x,y,z)以及(Vx,Vy,Vz)分別含有一倍標(biāo)準(zhǔn)差為 50 m 和 30 m/s的測(cè)量偏差[32]，攔截彈的阻力系數(shù)、升力系數(shù)以及側(cè)向力系數(shù)按3倍標(biāo)準(zhǔn)差為15%的偏差限攝動(dòng)，仿真次數(shù)500，打靶統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3以及圖12和圖13所示。

可以看到，加入隨機(jī)偏差后，預(yù)測(cè)比例制導(dǎo)的零控脫靶量和交會(huì)角均出現(xiàn)了非常大的散布，其主要是引入的速度測(cè)量偏差使目標(biāo)速度方向計(jì)算值發(fā)生改變，沿目標(biāo)當(dāng)前速度方向直線遞推攔截點(diǎn)的預(yù)測(cè)方式會(huì)將這種速度方向偏差顯著放大，導(dǎo)致預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)的大幅變化和零控脫靶量的大范圍散布。本文制導(dǎo)方法得到的零控脫靶量相比無(wú)測(cè)量偏差條件下也有所增大，其主要是由于位置偏差導(dǎo)致預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)變化引起的，然而，最終零控脫靶量散布期望與位置偏差基本處于同一水平，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于預(yù)測(cè)比例制導(dǎo)結(jié)果。考慮到未加入末制導(dǎo)段修正，這樣的精度仍然能夠滿足中末制導(dǎo)交班要求。結(jié)果表明，在測(cè)量信息和氣動(dòng)參數(shù)存在隨機(jī)偏差條件下，本文制導(dǎo)方法依然能夠保持較好的預(yù)測(cè)和制導(dǎo)性能，且零控脫靶量和交會(huì)角可以滿足中末制導(dǎo)交班要求。

表3 蒙特卡羅仿真統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖12 零控脫靶量分布圖

圖13 交會(huì)角分布圖

6 結(jié) 論

1) 圓弧預(yù)測(cè)方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)側(cè)向機(jī)動(dòng)目標(biāo)預(yù)測(cè)攔截點(diǎn)位置和速度角的有效預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)精度能夠滿足中制導(dǎo)需求。

2) 基于動(dòng)壓權(quán)重自適應(yīng)更新的變系數(shù)顯式制導(dǎo)方法不僅可以滿足終端角和可用過(guò)載約束，還可以提高導(dǎo)彈終端速度，增強(qiáng)攔截能力。

3) 結(jié)合圓弧預(yù)測(cè)和變系數(shù)顯式制導(dǎo)方法，可以滿足臨近空間目標(biāo)攔截中制導(dǎo)預(yù)測(cè)和多約束的要求，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效攔截。

4) 測(cè)量不準(zhǔn)確和氣動(dòng)參數(shù)不確定條件下，本文方法依然能夠保持較好的預(yù)測(cè)和制導(dǎo)性能，滿足中末制導(dǎo)交班要求。