尤洋洋 林智丹 舒俊超 呂平

摘 要 本文基于一系列前提假設(shè)，結(jié)合大型哺乳動(dòng)物、蜥腳類恐龍相關(guān)生長(zhǎng)參數(shù)，基于半經(jīng)驗(yàn)公式的非線性混合效應(yīng)模型得到西方飛龍生長(zhǎng)曲線，再分析能量損耗途徑，得到西方飛龍的能量模型。該模型可以為飛龍的相關(guān)描述提供理論支持以及為未來的物種研究提供思路。

關(guān)鍵詞 基于半經(jīng)驗(yàn)公式的非線性混合效應(yīng)模型 多項(xiàng)式逼近 能量分析

中圖分類號(hào)：TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

自從Sheiner提出了非線性混合效應(yīng)模型以來，再到Lindstrom 等人提出了模型參數(shù)的估計(jì)和算法，非線性混合效應(yīng)模型在農(nóng)業(yè)、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境保護(hù)中均有應(yīng)用。因其擬合結(jié)果比非線性固定效應(yīng)模型準(zhǔn)確，現(xiàn)有許多文獻(xiàn)對(duì)已有的生物，利用5種經(jīng)驗(yàn)性生長(zhǎng)函數(shù)（Gompertz、Logistic 、VonBertalanffy、Richards 和Brody）擬合生物體重生長(zhǎng)的非線性混合效應(yīng)模型。本文選題為2019年國(guó)際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題，在虛構(gòu)電視劇“權(quán)力的游戲”背景下，結(jié)合一些額外的假設(shè)，建立虛擬飛龍的能量損耗模型，為未來的物種研究提供思路。

1飛龍的條件假設(shè)

參考小說中龍的形象，我們認(rèn)為這三條龍為雙足飛龍且龍只吃肉。我們將飛龍的生長(zhǎng)階段分為幼年期，亞成年期和成年期。并假設(shè)在幼年期的飛龍不能噴火和飛翔。而處于亞成年期和成年期的飛龍具有較強(qiáng)的飛行能力以及可以噴出火焰。龍翅膀的骨骼結(jié)構(gòu)類似于蝙蝠。至于飛龍的噴火能力，我們認(rèn)為在肺與肝的旁邊，有一個(gè)火房，儲(chǔ)存氫氣用于噴火。

2能量模型

首先我們建立龍的能量消耗模型。由能量守恒不難知道，能量輸入=能量輸出+能量貯存，其中生物體的能量輸出主要考慮排泄排遺、基礎(chǔ)代謝、行走、飛行、噴火的能量損耗。

2.1能量貯存

2.1.1基于半經(jīng)驗(yàn)公式的非線性混合效應(yīng)模型

飛龍貯存的能量用于龍的生長(zhǎng)。參照文獻(xiàn)基于Von Bertalanffy經(jīng)驗(yàn)公式的蜥腳類恐龍的生長(zhǎng)速度預(yù)測(cè)，我們用Von Bertalanffy經(jīng)驗(yàn)公式預(yù)測(cè)飛龍的生長(zhǎng)曲線

利用蜥腳類恐龍和公牛生長(zhǎng)擬合模型的結(jié)論，選取參數(shù)為0.065，為1，再通過已有的龍出生時(shí)體重為，一年后為的基本假設(shè)，擬合得到非線性混合效應(yīng)模型：

2.1.2能量貯存曲線

我們將體重的增加等價(jià)于體內(nèi)脂肪的堆積，通過脂肪與熱量的轉(zhuǎn)換，認(rèn)為質(zhì)量為的肉類所含的熱量為。對(duì)于每一個(gè)確定每天貯存的能量為

2.2能量輸出

2.2.1排泄排遺的能量損耗

根據(jù)文獻(xiàn)數(shù)據(jù)查閱，定義龍的排泄與排遺能量占龍總攝入能量的，可表示為

2.2.2代謝的能量損耗

借鑒美國(guó)Scholander學(xué)者提出的恒溫動(dòng)物代謝率模型，結(jié)合大型哺乳動(dòng)物和鳥類的正常體溫范圍，確定龍的熱中性區(qū)為，此時(shí)認(rèn)為代謝率與體重加成正比。取整體BMR正相關(guān)于體重的 0.75方。結(jié)合數(shù)值換算，我們確定龍?jiān)跓嶂行詤^(qū)時(shí)代謝率單位

2.2.3行走的能量損耗

根據(jù)文獻(xiàn)[3]中水平奔走的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行估算，設(shè)每日的奔走時(shí)間為，單位為，則每日的日常運(yùn)動(dòng)能量損耗（單位為）為：

查閱翼龍的奔走速度，幼龍奔走速度取，每日的奔走時(shí)間記做，單位為小時(shí)，得：

在龍的亞成年期和成年期，奔走速度，每日的奔走時(shí)間記做，單位為小時(shí)，得到

2.2.4飛行的能量損耗

參考鳥類和蝙蝠的飛行能耗模型，建立龍的飛行能耗模型。通過文獻(xiàn)[5]得到平均功率：

其中是由機(jī)翼產(chǎn)生的升力（通常等于重量）），是飛行速度，是由鳥的形態(tài)和空氣密度決定的形態(tài)參數(shù)。為拍打階段的相對(duì)持續(xù)時(shí)間。

假定龍的平均飛行速度為，每日的飛行時(shí)間為。龍的飛行能量損耗單位為，基于蝙蝠的數(shù)據(jù)，結(jié)合其他鳥類的飛行參數(shù)，取，得到下列方程：

2.2.5噴火的能量損耗

通過查閱一些生物的肺的體積，我們利用MATLAB多項(xiàng)式逼近的方法，得到較為精確的多項(xiàng)式擬合函數(shù)，來估算龍存儲(chǔ)氫氣的火房的體積。進(jìn)而計(jì)算一次噴火所需能量。

2.3模型的求解

幼年期為龍出生后的一年，并且幼龍不會(huì)噴火不會(huì)飛行。亞成年期與成年期的龍的具有以上全部的能量損耗方式，現(xiàn)在選取奔走時(shí)間分別2小時(shí)和4小時(shí)同時(shí)亞成年期與成年期時(shí)飛龍的每日飛行時(shí)間為1小時(shí)進(jìn)行計(jì)算（見圖1、圖2）

2.4靈敏度分析

在基于半經(jīng)驗(yàn)公式的非線性混合效應(yīng)模型中，我們得到的

當(dāng)確定為100000時(shí)，對(duì)于滿足初始條件，可取。此時(shí)，由圖3可知，變化3%時(shí)，的變化率不高于10.5%，且基本小于5.5%。確定為0.065時(shí)，對(duì)于滿足初始條件，可取。由圖4可知，A變化3%時(shí)，Q的變化率不高于6%。

由靈敏度分析，生長(zhǎng)曲線的預(yù)測(cè)是合理的。

3結(jié)論

通過上述模型的建立分析，我們發(fā)現(xiàn)，飛龍每日能量消耗基本上是遞增的。基于我們的假設(shè)下，可以看出一只成年期的飛龍每日的能量損耗一般在108數(shù)量級(jí)上。而熱量攝入則是能量損耗的9/10，可以看出每日對(duì)食物的需求是龐大的。并且如果考慮長(zhǎng)途的飛行或者惡劣環(huán)境中生存，飛龍對(duì)外界所需能量的要求更高。

參考文獻(xiàn)

[1] Thomas，M.L.&N.Holly.Woodward. Modeling growth rates for sauropod dinosaurs[J].Paleobiology，2008，34（02）：264-281.

[2] 張曉雪，余雄，葛建軍，魏趁，張夢(mèng)華，王丹，尤震晨，黃錫霞，馬光輝.新疆地區(qū)西門塔爾母牛生長(zhǎng)曲線擬合分析[J].中國(guó)畜牧雜志，2018，54（09）：50-53+63.

[3] 陸健健.能量生態(tài)學(xué)（四）：生物個(gè)體的代謝能量[J].生態(tài)學(xué)雜志，1987（06）：61-65.

[4] 陸健健.能量生態(tài)學(xué)（五）：維持生命運(yùn)動(dòng)能量的組分及估算[J].生態(tài)學(xué)雜志，1988（01）：59-63.

[5] Hedenstrom A，et al.Bird or bat： comparing airframe design and fligh tperformance[J].Bioinspiration & Biomimetics，2009，4（01）：15001.

[6] 余永亮.蝙蝠飛行的空氣動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展[J].空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2018，36（01）：129-134.