李文會(huì)

摘 要 隨著2016年9月13日《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》的發(fā)布，2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確將“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”定義為：“具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度和價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的。”同時(shí)提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析這六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 核心素養(yǎng) 比例

中圖分類(lèi)號(hào)：G633文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1基于《比例的意義》一課淺談數(shù)學(xué)建模一般性結(jié)果的人文溫度

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，《比例的意義》一課本安排在六年級(jí)下冊(cè)第四單元的第一課時(shí)，屬于典型的概念或意義建構(gòu)類(lèi)的內(nèi)容，其是同一單元后續(xù)如《比例的基本性質(zhì)》、《正比例和反比例》和《圖形的放大和縮小》等相關(guān)內(nèi)容教學(xué)的重要基礎(chǔ)：（ 見(jiàn)教材：六年級(jí)下冊(cè)《比例的意義》）

從具體情境來(lái)看，為強(qiáng)化“兩個(gè)比相等”對(duì)于組成比例的決定性作用。教材的書(shū)面性引導(dǎo)語(yǔ)更為聚焦對(duì)大小不同但形狀相同的國(guó)旗的長(zhǎng)和寬的比值上，通過(guò)借助相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算比值的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)“兩個(gè)比相等”的內(nèi)在感悟，進(jìn)而順理成章用“=”表達(dá)相應(yīng)的相等關(guān)系。

在本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐中，當(dāng)學(xué)生根據(jù)給出的數(shù)據(jù)驗(yàn)證任意兩面國(guó)旗長(zhǎng)和寬的比值相等，并形成對(duì)比例的意義的初步感悟后，教師給了學(xué)生自主質(zhì)疑的時(shí)間和空間。而正中下懷的“反饋”如期而至：“是不是比值相等，比就相等？”而所有學(xué)生在第一時(shí)間用一個(gè)“是”字對(duì)這樣的質(zhì)疑做出了回應(yīng)。這樣的局面不應(yīng)簡(jiǎn)單歸咎于學(xué)生的不假思索，要知道對(duì)于萬(wàn)事萬(wàn)物，“意義”永遠(yuǎn)無(wú)法脫離生活而獨(dú)立存在，即使是在上述第一次抽象已經(jīng)完成的情況下。很顯然教材文本對(duì)比值過(guò)強(qiáng)的指向性讓學(xué)生對(duì)比例意義的數(shù)學(xué)思考沒(méi)有了溫度，在學(xué)生心中，“比例”已經(jīng)徹底淪為了滿足某種游戲規(guī)則的“四個(gè)數(shù)的產(chǎn)物”。

面對(duì)學(xué)生這種具有高度趨同性的預(yù)設(shè)范圍內(nèi)的生成，本人迅速做出反應(yīng)，出示了如下的問(wèn)題情境：

面對(duì)情境，學(xué)生運(yùn)用自身多年訓(xùn)練形成的運(yùn)算能力直奔比值而去。并在短短幾秒鐘基于相等的比值迅速給出了“150：3=100：2”的結(jié)果。很顯然，情境對(duì)于理解“意義”的不可或缺在學(xué)生心里已經(jīng)不再重要，這再一次佐證了學(xué)生在新知的理解與把握方面溫度的缺失。在等待了良久之后，終于有學(xué)生開(kāi)始將50千米/時(shí)的平均速度和50元/個(gè)的單價(jià)還原到生活中去，并引領(lǐng)全體學(xué)生對(duì)比例中兩個(gè)比的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行質(zhì)疑。因理解能力和認(rèn)知水平存在個(gè)體差異，學(xué)生對(duì)“比例的意義”的重新詮釋和觀念的轉(zhuǎn)變并不同步，但最終大多數(shù)學(xué)生對(duì)“比值相等是比相等的必要而不充分條件”的結(jié)論達(dá)成了共識(shí)，即比值相等比不一定相等，而比相等比值一定相等。雖然溫度的回升讓習(xí)得的結(jié)果重新具有了人文的屬性，但即使是這樣，依然有部分學(xué)生不愿進(jìn)行自我否定而固守自己的“陣地”。那么如此程度根深蒂固的影響來(lái)自何方呢？讓我們順藤摸瓜、溯本求源，結(jié)合教材內(nèi)容去尋找真因。

2比例、比、分?jǐn)?shù)和除法在意義建構(gòu)上的一脈相承

人教版六年級(jí)上冊(cè)《比的意義》（見(jiàn)教材）的內(nèi)容，圖中的內(nèi)容“兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除”。 “比”能夠執(zhí)行除法的運(yùn)算是不爭(zhēng)的事實(shí)，但“意義”往往體現(xiàn)在結(jié)果上，僅僅將“比”視為一種運(yùn)算同樣是失去溫度的表現(xiàn)。當(dāng)過(guò)分從“數(shù)”的角度關(guān)注比值大小而不去從“數(shù)量”的角度去理解第三種數(shù)量的意義時(shí)，出現(xiàn)上述《比例的意義》一課的局面也就不足為奇了。

把一根2m長(zhǎng)的木條鋸成同樣長(zhǎng)的4段，每段是這根木條的，每段長(zhǎng)（? ）？? ）=（? ）m=m。

接下來(lái)，讓我們繼續(xù)來(lái)看與“比”息息相關(guān)的更早出現(xiàn)的“分?jǐn)?shù)”：

題為人教版五年級(jí)下冊(cè)考查《分?jǐn)?shù)的意義》一個(gè)內(nèi)容的常見(jiàn)命題，學(xué)生常常將結(jié)果填反，即第一問(wèn)算“2？”的結(jié)果，第二問(wèn)算“1？”的結(jié)果。究其根本原因，是對(duì)與上述“比”的兩種不同意義相對(duì)應(yīng)的“分?jǐn)?shù)”的兩種不同意義的理解缺乏清晰的認(rèn)識(shí)。第一問(wèn)與其說(shuō)是1段和4段的關(guān)系，不如說(shuō)是“0.5m”和“2m”的關(guān)系，其本質(zhì)是上述同類(lèi)量的比，因此得到的結(jié)果是不含名稱(chēng)表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)，第二問(wèn)實(shí)際上是“2m”和“4段”之間的關(guān)系，其本質(zhì)是上述不同類(lèi)量的比，因此得到的結(jié)果是第三種數(shù)量，如果這一問(wèn)的最終結(jié)果配以“米/段”的名稱(chēng)，是完全可行的。

從上面的論述中我們體會(huì)到，對(duì)“比”的意義兩種不同的理解并不是無(wú)中生有的空穴來(lái)風(fēng)，實(shí)則在教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》時(shí)已然發(fā)生，《比的意義》的教學(xué)實(shí)際上是對(duì)兩種不同理解的拓展和延伸。這再一次說(shuō)明站在全套教材至高點(diǎn)處對(duì)教學(xué)內(nèi)容的縱向整體把握、以認(rèn)知發(fā)展的角度緊扣前后之間聯(lián)系的必不可少。

如果從分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于“平均分”過(guò)程的角度去理解，我們不難想到“除法”為分?jǐn)?shù)的前身，但這樣的理解僅僅涉及了分?jǐn)?shù)的意義中的一則，即與“平均分”相對(duì)應(yīng)的表示第三種數(shù)量的帶名稱(chēng)的分?jǐn)?shù)的意義。實(shí)際上除法有“包含”和“等分”兩種基本的類(lèi)型，這其實(shí)就是與分?jǐn)?shù)的意義以及比的意義相對(duì)應(yīng)的除法的兩種不同的意義：

等分除（表示第三種數(shù)量“每份數(shù)”）? ?包含除（表示兩個(gè)同類(lèi)數(shù)量的關(guān)系）

通過(guò)以上比例、比、分?jǐn)?shù)和除法在意義建構(gòu)上的對(duì)比分析，我們不難感受到一脈相承的意味深長(zhǎng)。如果重新來(lái)過(guò)，這些相互關(guān)聯(lián)的同一支路上的內(nèi)容將會(huì)是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生自主遷移和類(lèi)比探究能力的良好素材，將促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)共同本質(zhì)更好地理性把握。但這一切都要以將生活作為“意義”的載體為前提，否則，學(xué)生只是在“數(shù)”的世界中進(jìn)行沒(méi)有溫度的縱向深入，也是與發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的初衷背道而馳的。

參考文獻(xiàn)

[1] 史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016：22-27.