陳偉軍 龍世瑜 梁啟文

摘要：本文提出了一種有效的基于加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的時域有限差分法（WLP-FDTD），并采用這種方法精確的模擬電磁波在石墨烯薄片中的傳播。本文提出的方法結(jié)合石墨烯表面電導(dǎo)率的帶內(nèi)項(xiàng)并引入一種輔助差分方程技術(shù)，在電場強(qiáng)度和石墨烯中導(dǎo)體電流之間建立關(guān)系。一個數(shù)值實(shí)驗(yàn)?zāi)M計算了石墨烯中電磁波的傳播。相比傳統(tǒng)的FDTD，本文提出的方法具有更高的計算精確和效率。

關(guān)鍵詞：加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式;時域有限差分法;石墨烯;電磁特性

中圖分類號：TP368 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-9416（2019）07-0101-02

0 引言

石墨烯是一種二維平面單層碳原子結(jié)構(gòu)，其獨(dú)特的物理特性給科學(xué)研究者帶來了很大的興趣[1]。在許多應(yīng)用中，電磁特性包括石墨烯的散射和傳播引起了學(xué)者的興趣[2]。由于石墨烯器件是多尺度結(jié)構(gòu)和色散材料，數(shù)值仿真模擬石墨烯器件是一種有挑戰(zhàn)性的工作。最近，大多采用FDTD方法用來模擬電磁波在石墨烯層中的傳播[3-7]。在參考文獻(xiàn)[3]中，標(biāo)準(zhǔn)的FDTD使用復(fù)共軛色散材料模型和高密度采樣點(diǎn)去研究兩平行板石墨烯層。在參考文獻(xiàn)[4]中，亞網(wǎng)格FDTD和特定類型的完全匹配層被提出來模擬無窮薄的薄片。在參考文獻(xiàn)[5]中，采用FDTD結(jié)合表面邊界條件模擬石墨烯薄片。由于時間穩(wěn)定性條件的限制，采用FDTD模擬計算極小結(jié)構(gòu)時要求較大的內(nèi)存和計算時間。在參考文獻(xiàn)[6]中，采用了一種無條件穩(wěn)定的局部一維FDTD模擬計算石墨烯器件。然而，當(dāng)局部一維FDTD的時間步增大時，色散誤差也跟著增大。

本文提出了一種無條件穩(wěn)定的加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的FDTD，該方法結(jié)合了石墨烯表面電導(dǎo)率的帶內(nèi)項(xiàng)，有效模擬電磁波在石墨烯薄片中的傳播。與參考文獻(xiàn)[7]中提出的線性卷積技術(shù)不同，輔助差分方程技術(shù)引入到加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的FDTD中，在電場強(qiáng)度和石墨烯導(dǎo)體電流之間建立關(guān)系。采用一個數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明了本文提出的方法。本文提出的方法的結(jié)算結(jié)果與理論解一致，比傳統(tǒng)的FDTD有更高的效率。

1 數(shù)學(xué)公式

其中，Td=1/（2fc），Tc=3Td和fc=5000GHz。我們選擇電磁波持續(xù)時間Tf=1.5×10-12s，時間尺度因子s=1.885×1014和步進(jìn)階數(shù)N=80[10]。一個y方向的極化波從空氣中垂直入射到石墨烯中，如圖1所示。由于在計算區(qū)域中包含有薄層，一種細(xì)的網(wǎng)格1nm×1500nm應(yīng)用到石墨烯層。漸變網(wǎng)格應(yīng)用到剩余的計算區(qū)域，最大的網(wǎng)格為1500nm×1500nm。為了計算的方便，Mur一階吸收邊界被用來截斷計算區(qū)域。在這個算例中，石墨烯的厚度是10nm，μc=0.5eV，T=300K，和τ= 0.5×10-12s。圖2畫出了本文提出方法、基于輔助差分方程的時域有限差分法和理論方法計算的結(jié)果。與理論計算結(jié)果比較，本文提出方法的精度被證明。表1給出了計算時間的比較。我們的方法比基于輔助差分方程的時域有限差分法具有更高的計算效率。

3 結(jié)語

本文把石墨烯電子模型的帶內(nèi)項(xiàng)引入到麥克斯韋方程中，并采用基于輔助差分方程和加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的FDTD有效模擬電磁波在石墨烯中的傳播。一個數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明本文提出的方法有效。

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