周建云，劉真真，許小可

(大連民族大學信息與通信工程學院，遼寧 大連 116600)

0 引言

近年來多種傳染病頻繁爆發(fā)，給社會帶來巨大的災難并造成大量的人員損失，是人們關注的熱點問題，因此研究疾病傳播具有重要的意義和價值。通過構建疾病傳播模型，研究復雜社會網絡上的疾病傳播規(guī)律，有利于分析影響疾病傳播的因素，而且能夠有針對性地采取防控措施，達到抑制疾病傳播的目的。復雜網絡中疾病傳播的研究，尤其是網絡結構對傳播的影響，近年來受到眾多研究人員的關注。早在1998年，Watts和Strogatz就指出“小世界效應”會加速傳染病在網絡中的傳播[1]。Pastor Satorras和Vespignani發(fā)現，在度不相關的網絡中網絡的異質性對疾病的傳播有著關鍵的影響；尤其是在大規(guī)模無標度網絡上，不管傳播閾值多低，疾病都會一直存在[2]。Eguiluz和Klemm指出，在SIS傳染模型中，即使度分布的二階矩發(fā)散，也存在非零的傳播閾值，并提出度關聯和高聚類系數可以抑制疾病在網絡上的傳播[3]。周冬梅等人基于雙層網絡的研究發(fā)現，層與層之間同配連接有益于信息的傳播，而異配連接則會抑制信息的傳播[4]。Liu和Hu發(fā)現，與隨機均勻網絡相比，在具有社團結構復雜網絡中的疾病傳播有較小的傳染臨界值和更大的穩(wěn)態(tài)感染密度[5]。Huang和Li發(fā)現，疾病在具有社團結構的無標度網絡中的傳播范圍要遠遠小于一般的無標度網絡[6]。Zhou發(fā)現，在具有社團結構的網絡中，隨著傳播速率的增加，感染密度會表現出穩(wěn)態(tài)、不穩(wěn)定振蕩或周期振蕩等不同特性[7]。王寧寧指出疾病更容易在無標度網絡中傳播，無標度網絡社團之間的耦合強度不會影響最終的染病人數，但社團結構的存在會縮短疾病傳播達到穩(wěn)態(tài)的時間[8]。Wu和Liu研究指出，在無標度網絡中，社團結構和高聚集系數是疾病傳播的不利因素，將會抑制疾病在網絡中的傳播[9]。

以上研究中，大都分析復雜網絡中單一結構因素對傳播的影響，但是實證網絡中某個統計特征的變化往往會導致其它很多特征的同步變化，而疾病傳播的結果是多種因素共同作用的結果，現有研究中一般無法區(qū)分各因素的不同作用。在本文中，我們提出一種新的研究思路，將疾病傳播模型與零模型相結合，討論在多結構因素影響下(對應多種零模型)，何種結構因素對疾病傳播起著至關重要的作用，從而更加全面和系統地分析網絡結構特征對疾病傳播的影響。具體地，根據實證社會網絡構建出不同階零模型[10]，在原始網絡與零模型網絡上進行疾病傳播的仿真實驗，比較不同零模型與原始網絡之間的特征差異對傳播有何影響。結果顯示，網絡中節(jié)點之間的最短路徑是影響傳播速度的最重要因素，該因素的影響要遠遠大于網絡度分布(1階特性)、度匹配(2階特性)和聚類系數(3階特性)；網絡度分布是影響傳播范圍的主要因素。在增強和減弱度匹配特性零模型上進行傳播仿真實驗發(fā)現：同配系數與傳播速度之間不具有強相關關系，而平均最短路徑長度是影響傳播速度的最重要因素。此外，社團結構的強度變化引起網絡平均最短路徑長度的改變，從而對疾病的傳播造成影響，更加印證了網絡平均最短路徑長度是影響傳播速度的最重要因素。

1 基于0-3階零模型的傳播分析

1.1 傳播模型簡介

經典的疾病傳播模型有SI模型[11]、SIS模型[12]以及SIR模型[13]等。本文研究框架具有通用性，因此理論上可以使用本文框架研究任意傳播模型在復雜網絡中的傳播?？紤]到SI模型機制最簡單，本文主要基于SI模型研究網絡中的傳播速度，同時基于SIS模型研究傳播范圍。在SI模型中，處于易感狀態(tài)(Susceptible)的個體為易感染者，表明其當前時刻為健康狀態(tài)，當其與處于感染狀態(tài)(Infected)的感染者有接觸時，易感染者以感染率β被感染，變?yōu)楦腥菊?；感染者不會變回易感染者。這種假設對于研究難以治愈的疾病或者突發(fā)疾病的短期爆發(fā)過程等都是合理的。SI模型的感染機制可由式(1)來描述：

(1)

其中，S(i)為初始時的易感染者，I(j)為感染者，I(i)表示S(i)被感染成為的感染者，右邊的I(j)表示感染者不會變回易感染者。

表1 SI模型算法流程Tab.1 The flow chart of SI model

SI算法的流程如表1所示，其中，感染者數量為I，易感者數量為S，總數N=S+I；感染率β表示易感染者在單位時間被染病鄰居感染的概率。在本文的研究中,初始時刻總是選取一個個體設為感染者(I=1)，剩余個體均為易感者(S=N-1)；設Δt=1。

SIS模型是基于SI模型的一種變形，在SIS模型中，節(jié)點被感染后將會以概率γ恢復成為易感轉狀態(tài)，之后與感染者接觸時，仍以感染率β被感染。

1.2 0-3階隨機斷邊重連零模型

一般而言，使用網絡零模型的主要目的是檢測實證網絡的非平凡特性，這就需要從粗糙到精確逐步逼近原始網絡。文獻[14-15]為了逐步逼近實證網絡，根據原始網絡的基本特性，將網絡中的基本組成單元分成不同的小模塊。不同階數零模型之間并不是獨立的，按照約束條件從少到多，存在一種包含關系，即0k?1k?2k?…(n-1)k?nk，任何一個n階零模型都會包含n-1階零模型的性質[16]。

圖1 0-3階零模型的構造過程Fig.1 The construction process of 0-3k null models

在復雜網絡中常用的零模型為0-3階零模型，本文應用隨機斷邊重連方法構建零模型[17]，圖1展示了基于斷邊重連方法構造0-3階零模型的具體過程。0階零模型只需保持和原始網絡相同的節(jié)點數和平均度。圖1a為0階零模型的構造過程，在原始網絡中隨機選擇一條連邊AB斷開，并隨機選擇兩個不相連的節(jié)點A、D，在兩節(jié)點之間添加一條連邊。1階零模型主要是保證與原始網絡具有相同的節(jié)點度分布(度序列)。圖1b為1階零模型的構造過程，若原始網絡中存在節(jié)點A、B、C、D，且A與B相連，C與D相連，A和D不相連，B和C不相連；將AB和CD斷開，使A與D相連，B與C相連，則保持了原始網絡的度分布(度序列)不變。2階零模型與原始網絡具有相同的聯合度分布，聯合度分布是指每條邊兩端連接節(jié)點的度值數目(概率)。若m(k1,k2)為度為k1和k2的節(jié)點之間連邊的總數，則p(k1,k2)=m(k1,k2)μ(k1,k2)/2m，其中，若k1=k2，則μ(k1,k2)=2；否則，μ(k1,k2)=1。圖1c是2階零模型的構造過程，保持網絡的聯合度分布不變，僅比一階特性多了一層限制，即要求連邊在隨機置亂時，節(jié)點B與D具有相同的度值。3階零模型與原始網絡具有相同的聯合邊度分布p(k1,k2,k3)，就要求零模型網絡和原始網絡具有相同的開三角形和閉三角形分布。聯合邊度分布考慮到三個節(jié)點之間的相互連接性，主要有兩種情況：一種是開三角形，即3個節(jié)點用2條邊來連接稱為pΛ(k1,k2,k3)；另一種是閉三角形，3個節(jié)點形成一個環(huán)稱為pΔ(k1,k2,k3)。圖1d是3階零模型的構造過程，保持網絡的聯合邊度分布不變，連邊置亂后零模型和原始網絡中的開三角形與閉三角形數量均相同。

圖2 原始網絡及0階零模型的度分布Fig.2 The degree distribution of the original network and its 0k null model

1.3 實驗結果與分析

本實驗使用某企業(yè)的短信通訊數據集進行仿真實驗，對應的實證社交網絡反映了該企業(yè)內部的信息交互情況[18]。網絡中包含2 111個節(jié)點，3 050條連邊。圖2是該原始網絡及0階零模型的度分布圖，如圖所示，原始網絡的度分布具有長尾分布的特點，從圖中能夠看出0階零模型縮小了網絡度分布的異質性。由于1-3階零模型均保持了原始網絡的度序列特征，因此度分布和原始網絡完全相同，故沒有在圖中顯示。

表2 網絡特征統計量Tab.2 Network feature statistics

表2列出了原始網絡和0-3階零模型的其他結構特征(匹配系數、聚類系數和平均最短路徑長度)。從表中可以看出，1-3階零模型隨階數的上升與原始網絡越為接近；而0階零模型由于改變了度分布，致使其隨機性最強，除了平均最短路徑長度之外，其他特征與原始網絡的差異最大。

首先，基于SI模型研究影響傳播速度的關鍵因素。圖3是原始網絡和0-3階零模型傳染密度隨時間變化的曲線圖。這里設傳染率β=0.2，傳播時間T=80，曲線是實驗200次取均值的結果。從圖中可以看出，相對于高階零模型，0階零模型的傳播曲線更加接近于實證網絡。具體地，0階零模型在初始階段傳播速度低于原始網絡，而在t=30之后，這一情況發(fā)生了反轉，0階零模型的傳播速度大于原始網絡。而1-3階零模型的傳播速度總是大于原始網絡，隨著階數的上升，傳播速度下降，并且隨時間傳播的相對次序不變。隨著階數的升高，1到3階零模型的傳播速度越來越趨近于原始網絡，這是因為隨著階數的升高，所生成的零模型網絡與原始網絡的結構差異也越來越小。

盡管1-3階零模型的拓撲結構相對于0階零模型，在很多方面更加接近于實證網絡，但是0階零模型的傳播曲線卻和真實網絡更加相似。為了揭示出現這一現象的主要原因，圖4顯示了原始網絡與0-3階零模型中節(jié)點間最短路徑長度的分布，橫軸為最短路徑長度，縱軸為該路徑長度在網絡中的概率分布。從圖中可以看出最短路徑長度在7以下時，1-3階零模型曲線有序地在原始網絡上方，而0階零模型在原始網絡的下方。在最短路徑長度大于7時，這一情況發(fā)生反轉，1-3階零模型均在原始網絡的下方且保持相對次序不變，表明1-3階零模型的平均最短路徑長度隨階數的上升而增加且都小于原始網絡。此時0階零模型相對于1-3階零模型，它更加接近于實證網絡，這也是0階零模型和原始網絡傳播曲線特征比較接近的重要原因。由以上分析可知，在該實證網絡中，網絡中節(jié)點之間的最短路徑是影響傳播的最重要因素，該因素的影響要遠遠大于網絡度分布(1階特性)、度匹配(2階特性)和聚類系數(3階特性)。

圖3 0-3階零模型及原始網絡傳播曲線Fig.3 0-3k null models and original network spreading curves

圖4 最短路徑長度的分布Fig.4 The distribution of shortest path length

圖5 SIS模型下0-3階零模型及原始網絡傳播曲線Fig.5 0-3k null models and original network spreading curves in SIS model

然后，基于SIS模型研究影響傳播范圍的關鍵因素。圖5是SIS模型下原始網絡和0-3階零模型傳染密度隨時間變化的曲線圖。這里設傳染率β=0.2，恢復率γ=0.09，傳播時間T=80，曲線是實驗200次取均值的結果。如圖所示，0階零模型網絡的最終傳播范圍要顯著高于1-3階零模型及原始網絡。具體地，在傳播前期，1-3階零模型的傳播范圍有序地大于原始網絡，0階零模型的傳播范圍顯著小于原始網絡。但是，隨著傳播時間的增加，當t>32后，0階零模型的傳播范圍逐漸超過了原始網絡和1-3階零模型。當t>39后，0階零模型的傳播范圍大于1-3階零模型和原始網絡的最大傳播范圍，并仍在快速增加，最終達到75%，顯著高于其他網絡(60%左右)。0階零模型與1-3階零模型及原始網絡的本質區(qū)別是度分布不同，所以造成傳播范圍差異性的主要原因是網絡度分布的改變。

2 基于匹配特性零模型的傳播分析

2.1 面向匹配特性有傾向性斷邊重連零模型

在各種網絡中，如果網絡中度大的節(jié)點傾向于和度大的節(jié)點相連，度小節(jié)點傾向于和度小節(jié)點相連，這種傾向性即為度匹配的正相關性。如果度小節(jié)點傾向于和度大節(jié)點相連，這種傾向性即為度匹配的負相關性?？梢允褂闷ヅ湎禂?Assortativity coefficient)[19]來度量網絡的匹配特性，如果匹配系數r為正值，代表具有相同度值的節(jié)點之間有某種協同關系，網絡具有正匹配特性；如果匹配系數r為負值，表示具有不同度數的節(jié)點間有某種聯系，網絡具有負匹配特性。

如果想改變實證網絡的度匹配特性，就需要有傾向性地進行斷邊重連來構造同配或異配網絡。如圖6所示，原始網絡a中有A、B、C、D四個節(jié)點，其中節(jié)點A與C相連，B與D相連，相連節(jié)點之間的度有一定差距但相差不大，屬于中性網絡。如果將原始網絡的度大節(jié)點A和度大節(jié)點D相連，度小節(jié)點B和度小節(jié)點C相連(如圖6b所示)，就增強了網絡的同配特性。將這一過程反復進行，就可以生成強同配網絡。相反，將原始網絡的度最大的節(jié)點A和度最小的節(jié)點B相連，其余節(jié)點相連(如圖6c所示)，就增強了網絡的異配特性，反復進行就可以生成強異配網絡。

圖6 復雜網絡中3種不同的度匹配模式Fig.6 Three degree assortativity patterns of complex networks

使用上述有傾向性的斷邊重連算法生成強同配網絡和異配網絡后，就可以研究網絡拓撲結構對度度相關特性的約束以及這種約束對傳播有何影響。

2.2 實驗結果與分析

圖7為原始網絡及同配零模型、異配零模型網絡的傳播曲線圖，r是匹配系數，正值表示網絡為同配網絡，負值表示網絡是異配網絡。根據左燾等以前的研究結果可知：同配系數越大的網絡，傳播速度越慢，即同配系數的增大將會對疾病傳播起抑制作用[20]。然而每個網絡具有不同的特點，從圖中的實驗結果來看與上述結論并不完全相符，匹配系數的變化并沒有導致比較有規(guī)律的傳播結果。

圖7 匹配特性零模型傳播曲線Fig.7 The propagation curve of null models with different Assortativity

參照零模型的方式可以循序漸進分析出度匹配特性由弱到強的整個過程中對于傳播的影響。圖8a是匹配系數隨置亂次數的變化曲線，縱軸是匹配系數，橫軸是置亂次數，其中n是網絡中連邊的數量，負數代表網絡進行異配置亂，正數代表進行同配置亂。圖8b為傳播速度隨置亂次數的變化情況，縱軸是傳播速度，定義為單位時刻傳染的人數，這里取傳染90%的節(jié)點與所用時間的比值作為傳播速度，橫軸是置亂次數。如圖8a所示，匹配系數隨置亂次數單調增加。理論上，疾病的傳播速度應與圖8a相對應，即與同配系數呈負相關關系，但是從圖8b能夠看出與上述結論存在明顯差異。為了探究這一現象，接下來我們計算了匹配特性零模型的平均最短路徑長度，分析到底是什么因素起主導性，對疾病傳播的速度有著重要影響。圖8c是匹配特性零模型的平均最短路徑長度隨置亂次數的變化曲線，縱軸是平均最短路徑長度，橫軸是置亂次數。從圖中可以看出，改變匹配特性零模型的置亂次數會改變網絡的平均最短路徑長度，但其與置亂次數并無明顯相關性。為了進一步討論平均最短路徑長度的改變對傳播速度的影響，圖8d給出了傳播速度與平均最短路徑長度的對應關系。從圖中可以看出，平均最短路徑長度與疾病傳播速度具有強相關關系，呈現負相關性。至此，可以得到以下結論：在匹配特性零模型上的疾病傳播，多因素共同作用下，平均最短路徑長度相對于度匹配特性對疾病的傳播速度起著主導作用。

圖8 不同匹配特性零模型對應的傳播曲線Fig.8 TheSpreading curves corresponding to null models of different assortativity

3 基于社團結構零模型的傳播分析

3.1 增強和減弱社團結構零模型

社團結構一般會呈現出社團內部節(jié)點之間連接稠密、屬于不同社團的節(jié)點之間連接稀疏的特點。如果要增強原始網絡的社團結構，就需要減少社團之間的連邊，增加社團內部的連邊。增強社團結構的零模型構造過程如圖9所示。首先將原始網絡劃分為多個社團，然后在保持其它連邊結構不變的情況下，將兩個社團之間的連邊交換為社團內部節(jié)點之間的連邊。如圖9a中所示，將社團A和社團B間的兩條連邊A1-B1與A5-B3斷開，然后分別將社團A中的兩個節(jié)點A1與A5相連，將社團B中的兩個節(jié)點B1與B3相連，得到的網絡拓撲結構如圖9b所示。

基于斷邊重連的減弱社團結構零模型構造過程是將上述過程反過來。首先將圖9b中社團A內部的連邊A1-A5和社團B內部的紅色連邊B1-B3斷開，然后將社團A和社團B間的節(jié)點A1與B1相連、A5與B3相連，重新連接后的結果如圖9a所示。增強或減弱社團結構的零模型可以有效在保持真實網絡拓撲結構基本不變的情況下，增強或減弱社團結構特性。

3.2 實驗結果與分析

圖10為原始網絡及增強和減弱社團結構零模型網絡的傳播曲線圖。Q是模塊度值[19]，它是衡量網絡社團結構強弱的指標，Q值越大，表示網絡中社團結構越強。從圖中可以看出，Q值越大的網絡，疾病的傳播速度越慢，全部節(jié)點感染所用時間越長。主要原因是，隨著社團結構的增強，社團內連接的緊密性增強了，社團間的連接強度減弱了，這使得疾病在社團間的傳播變得困難，從而減慢了疾病在網絡上的傳播速度。相反，減弱網絡中的社團結構，也會對傳播速度及全部節(jié)點感染所用的時間有影響，即社團結構越弱，傳播速度越快，全部節(jié)點感染所用的時間也越短。為了揭示出現這一現象的具體原因，圖11給出了原始網絡及增強和減弱社團結構零模型的節(jié)點間最短路徑長度分布圖。從圖中可以看出，Q值越大，網絡的平均最短路徑長度越大；Q值越小，網絡的平均最短路徑長度越小。因此，增強和減弱社團結構強度對于疾病傳播的影響可以歸根于網絡中節(jié)點間最短路徑長度的變化。

圖9 增強和減弱社團結構的零模型Fig.9 The null models of increasing and weakening community structure

圖10 原始網絡及社團零模型傳播曲線Fig.10 The spreading curves of community null models

圖11 最短路徑長度分布Fig.11 The distribution of shortest path length

4 結論

在實證網絡中很難精確分析單一的網絡結構參數對于傳播的具體影響。本文通過引入網絡零模型，探討原始網絡和零模型網絡之間拓撲結構的差異對疾病傳播的影響。基于原始網絡構建0-3階零模型，并且在原始網絡和零模型網絡上進行傳播仿真實驗，分析不同網絡之間的傳播差異。在0-3階零模型上進行傳播仿真實驗，比較網絡結構差異與實驗結果可知：網絡的平均最短路徑長度是影響疾病傳播速度的關鍵因素，而度分布的變化是影響傳播范圍的主要原因。在基于匹配特性零模型的傳播仿真實驗中發(fā)現：網絡的匹配特性不是影響傳播的主要因素，而網絡的平均最短路徑長度是影響傳播的關鍵性因素。網絡中社團結構強度的改變，使得網絡的平均最短路徑長度發(fā)生改變，所以社團結構對疾病傳播的影響實際上是網絡平均最短路徑長度的改變造成的，網絡的平均最短路徑長度越短，傳播速度越快。