智小軍，周守鋒，黃 輝

(西安機(jī)電信息技術(shù)研究所，陜西 西安 710065)

0 引言

基于線性調(diào)頻連續(xù)波(LFMCW, Linear Frequency Modulation Continuous Wave)體制的調(diào)頻引信利用差頻回波中各諧波與距離的線性對應(yīng)關(guān)系完成對炸高的連續(xù)測量[1]，其距離分辨率取決于調(diào)頻帶寬[2]。差頻回波是由調(diào)頻引信射頻端的三角波調(diào)制信號與經(jīng)過目標(biāo)反射的三角波信號通過混頻器的差拍得到，當(dāng)三角波發(fā)生器所產(chǎn)生三角波調(diào)制信號的線性度較理想時(shí)，距離分辨率僅與調(diào)頻帶寬有關(guān)。在實(shí)際使用過程中，因成本和體積的限制調(diào)頻引信通常會使用基于RC充放電路的三角波發(fā)生器，所產(chǎn)生三角波調(diào)制信號具有一定的指數(shù)非線性度[3]，造成差頻回波中各諧波與距離線性對應(yīng)關(guān)系惡化，可能影響到了調(diào)頻引信的距離分辨率[4]。

文獻(xiàn)[5]中對二次曲線甚至高階次曲線[6]的誤差函數(shù)進(jìn)行了分析，即線性頻率上因運(yùn)放或VCO器件的因素造成畸變，通過該類型差頻信號數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)在不同非線性度條件下定量分析了距離分辨率的惡化程度[7]。文獻(xiàn)[8]中的誤差函數(shù)則是正弦信號，即在線性頻率上附加了一個(gè)有若干半周期整數(shù)倍的正弦干擾[9]，并推導(dǎo)出與該正弦波形參數(shù)有關(guān)的實(shí)際距離分辨率計(jì)算公式[10]。文獻(xiàn)[11]意識到在實(shí)際工程中無法得到理想的線性調(diào)頻信號，提出了一種NLFM(非線性調(diào)頻)引信探測體制，引入調(diào)制系數(shù)參數(shù)描述非線性并分析了其優(yōu)越性[12]，但實(shí)際工程中極少用到甚至不易得到該類型的調(diào)制波形[13]。文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)出了調(diào)頻引信瞬時(shí)相位的數(shù)學(xué)模型，但該模型是基于理想線性條件下得出的[15]，無法對因采用RC三角波發(fā)生電路產(chǎn)生的指數(shù)型非線性進(jìn)行分析。針對傳統(tǒng)調(diào)頻引信因使用RC三角波發(fā)生電路會引起回波的指數(shù)非線性變化，因缺乏相應(yīng)回波模型而無法定量分析的問題，本文提出了調(diào)頻引信的指數(shù)型回波建模方法。

1 調(diào)頻引信測距原理

1.1 調(diào)頻引信測距原理

典型調(diào)頻引信工作原理框圖如圖1所示。通過零差拍工作方式，將產(chǎn)生的三角波調(diào)頻信號同時(shí)送至發(fā)射天線和混頻器本振端口，與經(jīng)目標(biāo)反射的延時(shí)回波差拍之后得到差頻信號，通過距離(延時(shí))與差頻信號的頻率線性對應(yīng)關(guān)系實(shí)現(xiàn)測距。不失一般性以三角波的上升段為例，且不考慮幅值和初始相位，令中心頻率為f0，調(diào)頻帶寬為B，調(diào)頻周期為T，調(diào)頻斜率為k=2B/T，距離R處的目標(biāo)引起的時(shí)延差為τR=2(R-vt)/c，v為相對運(yùn)動(dòng)速度，c為光速。用下標(biāo)i表示si(t)為差頻回波信號：

(1)

忽略τR2項(xiàng)的影響，對該式中的相位做微分后可得差頻頻率fi：

(2)

(3)

(4)

可見，理想線性條件下的三角波零差拍測距精度僅與調(diào)頻帶寬有關(guān)。

圖1 零差拍調(diào)頻引信工作原理框圖Fig.1 Schematic block diagram of zero beat-frequency LFMCW fuze

1.2 非線性分析

實(shí)際應(yīng)用時(shí)三角波調(diào)制信號會疊加各種非線性干擾，應(yīng)考慮其對距離分辨率的影響。令e(t)為發(fā)射調(diào)制頻率信號的非線性干擾項(xiàng)，則e(t-τR)為接收頻率信號的非線性干擾項(xiàng)，經(jīng)過接收機(jī)零差拍處理后得到差頻信號中的非線性干擾頻率差拍信號表達(dá)式為ei(t)=e(t)-e(t-τR)。實(shí)際系統(tǒng)中非線性誤差函數(shù)滿足連續(xù)可微的條件，故利用拉格朗日中值定理可簡化為ei(t)=e′(t)τR。e′(t)為e(t)的一階導(dǎo)數(shù)。對ei(t)所表示的非線性頻率誤差函數(shù)積分后即可得到非線性誤差信號的相位表達(dá)式：2πe(t)τR，將該式代入式(1)可將差頻回波信號數(shù)學(xué)模型修正如下：

(5)

對比式(1)和式(5)，可知s1(t)為理想線性條件下的差頻信號，而s2(t)即為引入的非線性調(diào)制干擾項(xiàng)，導(dǎo)致si(t)成為一個(gè)調(diào)相信號，此時(shí)將無法得到式(2)—式(4)的對應(yīng)關(guān)系。實(shí)際上，由于時(shí)域上二者是相乘關(guān)系在頻域上則是完成了卷積運(yùn)算，相當(dāng)于在理想目標(biāo)回波譜附近引起附加的非線性調(diào)制邊帶，展寬后目標(biāo)差頻回波譜的具體大小與e(t)有關(guān)。非線性頻率干擾項(xiàng)e(t)在每個(gè)調(diào)制周期的起始和結(jié)束點(diǎn)均為0，在每個(gè)調(diào)制周期內(nèi)描述為偏離線性頻率的大小，利用e(t)定義調(diào)頻線性度L[16]：

(6)

e(t)max為相對于理想線性頻率的最大頻率偏離量。結(jié)合式(5)和式(6)可知，存在非線性頻率干擾的條件下，距離分辨率不僅與調(diào)制帶寬有關(guān)系，還應(yīng)考慮調(diào)頻線性度帶來的影響。

2 調(diào)頻引信的指數(shù)型回波建模方法

調(diào)頻引信因使用RC三角波調(diào)制信號發(fā)生電路使得e(t)為指數(shù)型非線性頻率信號,式(5)中的非線性頻率信號在LFMCW雷達(dá)中常被當(dāng)作二次/高階曲線或正弦信號進(jìn)行分析，無法適用于調(diào)頻引信。為此本文提出調(diào)頻引信的指數(shù)型回波建模方法，并分析了指數(shù)非線性對回波頻譜和距離分辨率帶來的影響。

2.1 指數(shù)型回波建模

本文首先給出周期性指數(shù)型三角波調(diào)制發(fā)射信號的頻率分段解析式，對其在每個(gè)調(diào)制周期內(nèi)進(jìn)行定積分后歸納出連續(xù)性瞬時(shí)相位的一般解析式，該解析式與其相應(yīng)延時(shí)信號作差拍處理后即可得到調(diào)頻引信的指數(shù)型回波模型，在此基礎(chǔ)上分析了指數(shù)非線性對距離分辨率的影響并給出了新的計(jì)算方法。所建模型可使回波信號具有模擬信號應(yīng)有的連續(xù)性，避免出現(xiàn)數(shù)值仿真計(jì)算不收斂以及因相位不連續(xù)出現(xiàn)的頻譜雜散問題。瞬時(shí)相位是由調(diào)頻頻率信號在各相應(yīng)周期內(nèi)積分得到的，為此首先給出如式(7)所示周期性指數(shù)型三角波調(diào)制頻率信號解析式，該式因使用了基于RC充放電電路的三角波發(fā)生器使所產(chǎn)生三角波具有指數(shù)非線性。對該式積分即可得到發(fā)射信號的瞬時(shí)相位，對發(fā)射信號瞬時(shí)相位延時(shí)后得到目標(biāo)反射信號瞬時(shí)相位，將發(fā)射和反射信號瞬時(shí)相位相減后即可得到差頻回波信號的瞬時(shí)相位數(shù)學(xué)模型。

(7)

式(7)中，f0為中心頻率，U為充電電壓，F(xiàn)為壓控振蕩器調(diào)頻系數(shù)，單位為MHz/V，τ=-1/RC為時(shí)間常數(shù)，n表示當(dāng)前所處調(diào)制周期位置，即tn=t-nT∈[0,T]。具體推導(dǎo)過程如下：

1) 設(shè)發(fā)射初始相位為0；

2)n=0時(shí)，0≤t0≤T。在第一個(gè)調(diào)制周期上升段的瞬時(shí)相位為：

(8)

式(8)中，ω0=2πf0。在上升段結(jié)束點(diǎn)即t0=T/2時(shí)的瞬時(shí)相位為：

(9)

3) 在第一個(gè)調(diào)制周期下降段的瞬時(shí)相位為：

(10)

在下降段結(jié)束點(diǎn)即t0=T時(shí)瞬時(shí)相位為：

(11)

4) 依次令n=1,2,…，即可得到第n個(gè)調(diào)制周期的發(fā)射信號瞬時(shí)相位一般表達(dá)式：

(12)

5) 目標(biāo)反射信號瞬時(shí)相位為：

φer(tn)=φet(tn-τR)

(13)

6) 差頻回波信號的瞬時(shí)相位則為：

φei(tn)=φet(tn)-φet(tn-τR)

(14)

7) 最終可得到指數(shù)型差頻回波信號數(shù)學(xué)模型為(暫不考慮幅度起伏)：

sei(tn)=ejφei(tn)

(15)

對比式(15)與式(1)可知，式(15)所表述信號函數(shù)具有明顯的指數(shù)型非線性特性，且考慮了其周期性從而保證了各周期之間相位的連續(xù)性，通過基于該式的數(shù)值仿真分析可以更真實(shí)、定量地分析指數(shù)非線性對調(diào)頻引信距離分辨率的影響。

2.2 指數(shù)非線性分析

相應(yīng)的，為從理論上定性分析式(15)所表達(dá)指數(shù)型回波對調(diào)頻引信距離分辨率的影響，這里將式(7)代入式(5)整理后得：

(16)

顯然因指數(shù)非線性使三角波差頻回波信號成為一個(gè)調(diào)相信號，而ej2πe(tn)τR就是這個(gè)調(diào)相波的復(fù)包絡(luò)。由于其周期也為T，故此時(shí)差頻回波信號對應(yīng)距離R處的諧波已被該復(fù)包絡(luò)在附近諧波位置展寬，從而無法分辨出原諧波所對應(yīng)距離R。式(3)修正為式(17)所表達(dá)的實(shí)際距離分辨率：

(17)

?fi=2(2πe(t)max)τR/T

(18)

又結(jié)合式(6)即可將式(17)簡化為：

?R=πLcτR

(19)

可見在指數(shù)非線性條件下應(yīng)由式(4)改為式(19)計(jì)算實(shí)際距離分辨率，根據(jù)以上分析可知：

1) 當(dāng)L足夠小時(shí)f=f，此時(shí)距離分辨率取決于帶寬；反之當(dāng)L增大到一定程度后，距離分辨率與調(diào)頻帶寬無關(guān)，由調(diào)頻線性度L決定。

2) 在調(diào)頻線性度L一定的情況下，距離分辨率還與目標(biāo)距離有關(guān)，目標(biāo)距離越大，回波時(shí)延τR就越大，距離分辨率就越低。

3 仿真驗(yàn)證

通過與理想線性回波模型的仿真結(jié)果對比可驗(yàn)證所建立調(diào)頻引信指數(shù)型回波模型的有效性。本文建立調(diào)頻引信系統(tǒng)模型參數(shù)如下：f0=24 GHz,T=5 μs，目標(biāo)初始距離為10 m，相對運(yùn)動(dòng)速度400 m/s。調(diào)制周期一定時(shí)，RC電路的充放電時(shí)常也就固定下來，此時(shí)充電電壓U值決定帶寬B，而此時(shí)在不同B值時(shí)相應(yīng)的指數(shù)型調(diào)制三角波線性度L也會跟著變化。因此只要分析在不同B值時(shí)，系統(tǒng)相應(yīng)的線性度以及距離分辨率情況。

3.1 調(diào)制帶寬B=40 MHz

此時(shí)式(1)和式(16)描述的理想線性和指數(shù)非線性條件下的三角波調(diào)制頻率波形如圖2所示。

圖2 40 MHz調(diào)制帶寬時(shí)的發(fā)射頻率曲線Fig.2 Transmitted frequency curve when B=40 MHz

此時(shí)指數(shù)頻率調(diào)制的線性度較好，較為接近線性調(diào)制頻率曲線，由式(6)計(jì)算得L≈5%。對上圖中兩條曲線分別與延時(shí)后的回波混頻后可得差頻頻率曲線如圖3所示。

圖3 40 MHz調(diào)制帶寬時(shí)的差頻頻率曲線Fig.3 Difference frequency curve when B=40 MHz

由式(3)可計(jì)算得到此時(shí)對應(yīng)10 m處的差頻為1.066 7 MHz，而指數(shù)差頻很明顯已不是一根譜線而是有一定的寬度，約為320 kHz。用調(diào)制頻率的整數(shù)倍來考核所展寬程度時(shí)，可得：n=320/200=1.6。同時(shí)將L≈0.05代入用式(18)所表達(dá)的實(shí)際帶寬，并與理想譜線(近似為點(diǎn)頻)相比可得理論展寬倍數(shù)為：f/f≈1.423。可見理論計(jì)算值和實(shí)際仿真結(jié)果基本一致。將兩個(gè)不同調(diào)制方式下的差頻信號進(jìn)行做傅里葉變換后的頻譜如圖4所示。

圖4 40 MHz調(diào)制帶寬時(shí)的差頻頻譜Fig.4 Spectrum of Difference frequency signal when B=40 MHz

當(dāng)調(diào)頻帶寬為40 MHz，所對應(yīng)的指數(shù)非線性度為L≈0.05時(shí)，式(15)與式(1)的差頻頻譜很接近，所對應(yīng)的距離分辨率并沒有降低?？梢姰?dāng)調(diào)制帶寬較小，指數(shù)非線性度不大于5%，使得回波頻譜的展寬因子n<2時(shí)，本文所推建立調(diào)頻引信指數(shù)型回波模型仿真計(jì)算結(jié)果與理想線性回波模型基本一致。

3.2 調(diào)制帶寬B=150 MHz

實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)為了滿足較高的距離分辨率指標(biāo)而往往盡可能提高調(diào)頻帶寬，但此時(shí)采用RC電路的弊端就會顯現(xiàn)出來。圖5為大帶寬條件下式(1)和式(16)描述的理想線性和指數(shù)非線性條件下的三角波調(diào)制頻率波形。

圖5 150 MHz調(diào)制帶寬時(shí)的發(fā)射頻率曲線Fig.5 Transmitted frequency curve when B=150 MHz

可見此時(shí)指數(shù)頻率調(diào)制的線性度已嚴(yán)重惡化，指數(shù)性變化規(guī)律較明顯，由式(6)計(jì)算得L=47.17%。同樣對上圖中兩條曲線分別與延時(shí)后的回波混頻后可得差頻頻率曲線如圖6所示。

由式(3)可計(jì)算得到此時(shí)對應(yīng)10 m處的差頻為4 MHz，指數(shù)差頻在相比于40 MHz時(shí)的譜寬有很明顯擴(kuò)展，約為12.9 MHz。所對應(yīng)譜線根數(shù)為n=12.9/0.2=64.5。將L=47.17%代入用式(18)后可得理論擴(kuò)展倍數(shù)為：f/f≈59.3。考慮到不規(guī)則區(qū)和多普勒的影響，以上兩值計(jì)算誤差在允許范圍之內(nèi)，也就是說由于線性度的惡化將目標(biāo)距離諧波譜展寬了至少10 MHz以上，其頻譜對比情況可見圖7。

圖6 150 MHz調(diào)制帶寬時(shí)的差頻頻率曲線Fig.6 Difference frequency curve when B=150 MHz

圖7 150 MHz調(diào)制帶寬時(shí)的差頻頻譜Fig.7 Spectrum of Difference frequency signal when B=150 MHz

相對比線性差頻頻譜，指數(shù)差頻頻譜已被大大展寬且能量也被分散，此時(shí)已經(jīng)無法從諧波的包絡(luò)能量分布明顯區(qū)分出目標(biāo)距離特征。由式(19)可計(jì)算出此時(shí)實(shí)際距離分辨率為R≈29.64 m，在帶寬和線性度不變增加距離R=20 m時(shí)相應(yīng)實(shí)際距離分辨率為R≈59.28 m。帶寬不變，通過調(diào)整RC時(shí)常使線性度如圖8所示進(jìn)一步惡化時(shí)，差頻頻譜能量包絡(luò)特征如圖9所示。

經(jīng)計(jì)算如圖8(a)所示指數(shù)型非線性度已達(dá)到L=97.35%，由于充放電時(shí)常很小造成波形已非常接近周期性方波。由圖9可以看到其頻譜除頻譜同樣被展寬之外，其能量包絡(luò)為sinc函數(shù)形式，即能量集中在直流和基波上?？梢?，因采用RC三角波發(fā)生電路使得調(diào)頻引信信號的指數(shù)非線性度增加，頻譜展寬因子n>2，此時(shí)調(diào)頻引信系統(tǒng)的距離分辨率下降，不能再利用傳統(tǒng)理想線性回波模型和距離分辨率計(jì)算方法進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)與分析。

通過與理想線性回波模型的仿真對比發(fā)現(xiàn)：當(dāng)使用RC三角波發(fā)生電路時(shí)，調(diào)頻引信回波模型為指數(shù)非線性，當(dāng)指數(shù)非線性度大于5%時(shí)實(shí)際回波頻譜會展寬，造成距離分辨率相對于理想線性條件下惡化。

圖8 L惡化后的頻率對比Fig.8 Contrast of frequency when L is worsen

圖9 L惡化后的差頻頻譜對比Fig.9 Contrast of Difference frequency signal spectrum when L is worsen

4 結(jié)論

本文提出了調(diào)頻引信的指數(shù)型回波建模方法。該方法給出了周期性指數(shù)型三角波調(diào)制發(fā)射信號的頻率分段解析式，對其在每個(gè)調(diào)制周期內(nèi)進(jìn)行定積分后歸納出連續(xù)性瞬時(shí)相位的一般解析式，該解析式與其相應(yīng)延時(shí)信號作差拍處理后即可得到調(diào)頻引信的指數(shù)型回波模型，在此基礎(chǔ)上分析了指數(shù)非線性對距離分辨率的影響并給出了新的計(jì)算方法。仿真對比結(jié)果表明該模型有效，當(dāng)指數(shù)非線性度大于5%時(shí)實(shí)際回波頻譜會展寬，造成距離分辨率相對于理想線性條件下惡化。按照指數(shù)型回波模型進(jìn)行仿真計(jì)算可以更準(zhǔn)確地定量分析調(diào)頻引信的回波頻譜和距離分辨率。下一步應(yīng)結(jié)合工程實(shí)踐中的實(shí)測結(jié)果對比分析和驗(yàn)證指數(shù)非線性對調(diào)頻引信距離分辨率的影響。