李江濤， 吳志強(qiáng)， 王遠(yuǎn)岑， 張祥云

（天津大學(xué)a. 機(jī)械工程學(xué)院； b. 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津300350）

0 引 言

多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)的重要?jiǎng)恿W(xué)行為之一。 當(dāng)系統(tǒng)中存在多穩(wěn)態(tài)時(shí)，不同初始條件或擾動(dòng)，可能導(dǎo)致系統(tǒng)行為趨于不同吸引子，最終振動(dòng)特征往往有重要區(qū)別。 多穩(wěn)態(tài)導(dǎo)致的這種振動(dòng)行為的不確定性，會(huì)對(duì)工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和運(yùn)行帶來(lái)嚴(yán)重危害。

管道渦激振動(dòng)中結(jié)構(gòu)動(dòng)力與尾流水動(dòng)力的相互作用非常復(fù)雜， 而且二者的耦合作用具有很強(qiáng)的非線性特征[1]。 其響應(yīng)是否存在多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，若存在其有何特點(diǎn)，是一個(gè)值得關(guān)注的理論和工程問(wèn)題。

已有小尺度實(shí)驗(yàn)研究表明， 流速增大或減小時(shí)管道振動(dòng)存在遲滯現(xiàn)象， 在遲滯區(qū)有多解共存現(xiàn)象，即渦激振動(dòng)多穩(wěn)態(tài)行為確實(shí)存在。 Feng（1968）[2]首先在彈性支撐柱體風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)折合速度約為6 時(shí)管道出現(xiàn)遲滯現(xiàn)象，其響應(yīng)曲線同時(shí)包含初始分支（initial branch）和下端分支（lower branch）。Brika、Labeville 等[3]隨后也在風(fēng)洞中進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)，選用了阻尼比與Feng（1968）[2]不同的空心管道，得到了更大的“鎖頻”區(qū)間和兩倍于Feng 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的滯后區(qū)域。 后來(lái)，Williamson[4-6]對(duì)中等雷諾數(shù)的低質(zhì)量比彈性支撐圓柱體進(jìn)行了一系列的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)質(zhì)量阻尼比m*ζ 不同時(shí)，渦激振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)兩種不同的響應(yīng)。 大m*ζ 時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)存在兩個(gè)分支:初始激勵(lì)分支（initial excitation branch）和下端分支（lower branch），最大振幅出現(xiàn)在初始激勵(lì)分支上；小m*ζ 時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)存在三個(gè)分支:初始分支（initial branch）、上端分支（upper branch）和下端分支（lower branch），最大振幅出現(xiàn)在上端分支上。系統(tǒng)響應(yīng)在初始分支與上端分支、上端分支與下端分支之間都發(fā)生了跳躍現(xiàn)象，前者屬于遲滯，后者屬于間歇切換。

盡管渦激振動(dòng)的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象已被實(shí)驗(yàn)證明，理論分析的研究卻較少有相關(guān)的報(bào)道，焦點(diǎn)也多在預(yù)測(cè)模型上。 關(guān)于結(jié)構(gòu)渦激振動(dòng)響應(yīng)的預(yù)測(cè)模型有多種，其中尾流振子模型因?yàn)槠渚哂休^為明確、合理的物理意義以及較好的計(jì)算精度，被工程界廣泛采用。 該模型通過(guò)相互獨(dú)立的方式分別建立圓柱振子運(yùn)動(dòng)方程和流體振子運(yùn)動(dòng)方程，然后利用它們共同預(yù)報(bào)流體-彈性系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。Hartlen 和Currie[7]在Bishop 和Hasson[8]等人研究的基礎(chǔ)上，首次提出了尾流動(dòng)力可以使用Van der Pol 方程作為升力系數(shù)的控制方程，并且可以與結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程聯(lián)立求解。后來(lái)Iwan[9]和Blevins[10]通過(guò)研究，給出了用于二維流場(chǎng)彈性支撐剛性圓柱的尾流振子模型。Facchinetti 和Langre[11-12]對(duì)前人的工作進(jìn)行了總結(jié)，并且對(duì)比了位移、速度、加速度耦合尾流振子模型，認(rèn)為加速度耦合模型可以更好地模擬結(jié)構(gòu)對(duì)流體的作用，但是在預(yù)測(cè)鎖頻區(qū)域?qū)挾葧r(shí)，僅適用于小質(zhì)量比情況，隨著質(zhì)量比增大，簡(jiǎn)縮速度范圍估計(jì)偏于保守。陳偉民和鄭仲欣[1]在前人研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合并利用速度耦合模型和加速度耦合模型的優(yōu)點(diǎn)，提出來(lái)一種新的非線性耦合模型，且與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)照較為準(zhǔn)確。 關(guān)于渦激振動(dòng)中的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，還有人做了一些相關(guān)的研究,陳威霖和及春寧等[13]研究了單圓柱渦激振動(dòng)中的振幅不連續(xù)和相位切換現(xiàn)象，結(jié)果表明當(dāng)阻流比小于0.05 后，鎖定區(qū)間向更高的折合流速偏移，上端分支和下端分支之間的遲滯環(huán)寬度增大近4 倍，并解釋了圓柱升力和位移之間相位差跳躍現(xiàn)象。

本文利用Van der Pol 尾流振子模型描述流體的作用， 選用非光滑平方非線性項(xiàng)描述流體對(duì)結(jié)構(gòu)的阻尼作用，采用加速度耦合模型，建立深海立管的渦激振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型。應(yīng)用Poincaré 映射方法，研究流速變化引起立管渦激振動(dòng)行為的分岔現(xiàn)象，從而深入分析流速變化對(duì)渦激振動(dòng)的影響。

1 深海立管渦激振動(dòng)模型

1.1 立管振動(dòng)模型

立管頂部通過(guò)張緊器與海上平臺(tái)相連接，張緊器可以簡(jiǎn)化為一個(gè)剛度為k 的彈簧。 其作用主要有兩點(diǎn):一是可以為管道提供一個(gè)較大的靜張力從而避免管道產(chǎn)生較大的彎曲；二是可以減小由于平臺(tái)的垂直運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的縱向應(yīng)力對(duì)立管的影響[14]；立管底端簡(jiǎn)化為鉸支連接，模型示意如圖1 所示。

圖1 立管模型示意圖Fig.1 Diagram of the riser model

基于Euler 梁的彎曲振動(dòng)理論，立管橫向振動(dòng)的基本方程可表示為

式中:y （z, t ）為立管的橫向位移， 是關(guān)于垂向坐標(biāo)軸z 和時(shí)間t 的連續(xù)函數(shù)；EI 為立管的抗剛度；mp=πρp（D2-d2）/4 為單位長(zhǎng)度管道質(zhì)量，mf=πρfd2/4 為內(nèi)部流體質(zhì)量，ma=CaπρwD/4 為管道附加質(zhì)量，其中ρp、 ρf、 ρw分別為立管材料密度、內(nèi)部流體密度和海水密度；D、d 分別為立管的內(nèi)外直徑；Ca為附加質(zhì)量系數(shù)，一般取1； f （z, t ）為立管單位長(zhǎng)度上的作用力；T （z, t ）為立管的有效張力，其表達(dá)式為

1.2 尾流振子模型

尾流振子模型即不考慮具體的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)，而是將流體和其中的振蕩物體視為一個(gè)整體系統(tǒng)，把尾流部分看成一個(gè)非線性振子，尾流振子的振動(dòng)引起結(jié)構(gòu)的振動(dòng)；反過(guò)來(lái)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)又對(duì)尾流有一個(gè)反饋的作用。 本文采用Van der Pol 方程來(lái)表示旋渦脫落的振動(dòng)特性，同時(shí)用慣性耦合來(lái)表達(dá)其與結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)間的耦合作用。 具體形式如下[11-12]:

式中:η 為流體對(duì)結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)升力系數(shù)CL和結(jié)構(gòu)靜態(tài)橫向升力系數(shù)CL0之比，η=2CL/CL0；Ωf為漩渦脫落的圓頻率，Ωf=2πStU/D，其中U 為水流流速，St為Strouhal 數(shù)，本文取St=0.2；A、ε 為經(jīng)試驗(yàn)測(cè)定的耦合系數(shù)，分別取12 和0.3。

流體對(duì)立管的作用力包含兩部分: f= fL+ fL′。 其中渦激升力為

阻尼力為

式中CD為流體阻力系數(shù)，取1.2。

1.3 流固耦合模型

引入如下無(wú)量綱量將方程（1）和（3）進(jìn)行無(wú)量綱化:

式中，M=mp+mf+ma并對(duì)其進(jìn)行伽遼金離散，假設(shè)解有如下形式:

其中離散系統(tǒng)中各系數(shù)具體表達(dá)式如下所示:

表1 計(jì)算模型參數(shù)[15]Tab.1 Calculation parameter of model

2 流速變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響

因此，分別計(jì)算了有阻尼、無(wú)阻尼兩種情況下系統(tǒng)特征值隨流速變化的情況見圖2。 無(wú)阻尼情況下，特征值隨流速變化，純虛特征值逐漸接近至相等，然后變成兩對(duì)虛部相等的復(fù)重根，再變?yōu)閮蓪?duì)純虛根。 U∈（0.025-0.085 m/s）間屬于耦合顫振，為平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，而其他區(qū)間平衡點(diǎn)是中心穩(wěn)定的；有阻尼時(shí)，U 約為0.05 m/s 時(shí)，渦激頻率與結(jié)構(gòu)頻率大小交換（臨界值可從虛部顏色變化看出）。 由于始終有一對(duì)復(fù)根實(shí)部大于0，平衡點(diǎn)始終是不穩(wěn)定的，即立管處于渦激振動(dòng)狀態(tài)。

圖2 特征值隨流速變化圖Fig.2 Variation of eigenvalues with flow velocity

3 流速變化對(duì)系統(tǒng)行為的影響

復(fù)雜非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論分析通常比較困難， 因而數(shù)值方法成為通常采用的手段， 其中Poincaré 映射方法得到較廣泛的應(yīng)用。 根據(jù)Poincaré 截面上點(diǎn)的分布情況，即可對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)類型進(jìn)行判斷。 當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)以后，若Poincaré 截面上的點(diǎn)數(shù)目有限時(shí)，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)是周期的；若這些點(diǎn)形成閉環(huán)，則對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是概周期的；若這些點(diǎn)在有限區(qū)域形成一定形態(tài)的吸引子，則對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)可能是混沌的。

3.1 流速變化導(dǎo)致的分岔及雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象

Poincaré 映射方法用于分析參數(shù)引起的系統(tǒng)響應(yīng)行為變化時(shí)，可得Poincaré 截面上點(diǎn)隨參數(shù)的變化圖，稱為Poincaré 分岔圖。 如果采用參數(shù)延拓法，同時(shí)獲得參數(shù)遞增和遞減的兩個(gè)分岔圖，則可從是否存在滯后/跳躍現(xiàn)象來(lái)判斷是否存在多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。 用Poincaré 方法分析系統(tǒng)分岔時(shí)，Poincaré 截面選擇有重要影響。 為得到振動(dòng)幅度隨參數(shù)的變化圖，本文選用截面定義為

本節(jié)利用Poincaré 映射方法分析水流流速在0.01-0.20 m/s 之間變化時(shí)立管振動(dòng)行為的變化。 圖3 給出了流速遞增、遞減兩種情況下的Poincaré 分岔圖計(jì)算結(jié)果，而豎直方向的箭頭表示解發(fā)生跳躍的方向。（其中“實(shí)線箭頭→” 表示正向，“虛線箭頭 ”表示反向）。從圖3 可以看出，增大流速和減小流速時(shí)算得的立管振動(dòng)響應(yīng)基本一致，立管的振動(dòng)響應(yīng)隨著流速的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，并且出現(xiàn)了渦激振動(dòng)特有的“鎖頻”現(xiàn)象。當(dāng)折合速度小于3 時(shí)，立管振動(dòng)響應(yīng)較小，此時(shí)渦激振動(dòng)對(duì)管道的影響較小，尾流和管道之間的相互影響也較??；當(dāng)折合速度處于4～11 之間時(shí)，管道出現(xiàn)較大的振動(dòng)響應(yīng)，振幅均大于0.6D，最大可達(dá)到1.2D。 此時(shí)管道振動(dòng)頻率接近漩渦脫落頻率并出現(xiàn)了“鎖頻”現(xiàn)象；隨著流速繼續(xù)增大，立管振幅也隨之減小。 在“鎖頻”區(qū)域兩側(cè)，出現(xiàn)了因解跳躍導(dǎo)致的滯后現(xiàn)象。 這與Feng （1968）[2]和Williamson（1996-1999）[4-6]等學(xué)者在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象類似，在滯后區(qū)間內(nèi)有雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

圖3 增大流速和減小流速時(shí)立管振動(dòng)響應(yīng)對(duì)照?qǐng)DFig.3 Comparison of riser vibration response with increasing flow velocity and decreasing flow velocity

特別需指出鎖頻解存在范圍U∈（0.024-0.086 m/s）與前文得到的耦合顫振范圍U∈（0.025-0.085 m/s）較為接近，也就是說(shuō)可用線性分析得到的耦合顫振區(qū)來(lái)估計(jì)渦激共振導(dǎo)致的鎖頻區(qū)。這一結(jié)論與Langre（2006）[18]所得結(jié)論一致。

為了進(jìn)一步說(shuō)明這類行為的特點(diǎn)，又分別計(jì)算了典型流速下立管振動(dòng)響應(yīng)的時(shí)間歷程、相圖和頻譜。 在鎖頻區(qū)左側(cè)，當(dāng)折合速度為3.02 時(shí)，增大和減小流速情況下得到的時(shí)間歷程、相圖、頻譜如圖4所示。 從兩圖中可以很明顯地看出在增大流速時(shí)，其時(shí)間歷程呈現(xiàn)出明顯的“拍頻”現(xiàn)象，屬概周期運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)幅值最大值也僅為0.08D，頻譜中含兩種不同的頻率成分；而在減小流速的情況下，其時(shí)間歷程呈現(xiàn)出較為規(guī)整的正弦圖像，響應(yīng)振幅達(dá)到0.4D，而頻譜中僅含一種頻率成分，接近立管線性固有頻率，屬周期運(yùn)動(dòng)。說(shuō)明當(dāng)折合速度為2.77-3.02 區(qū)間內(nèi)存在周期運(yùn)動(dòng)、概周期運(yùn)動(dòng)共存的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

圖4 增大和減小流速時(shí)立管的時(shí)間歷程圖、相圖和譜圖（折合速度3.02）Fig.4 The history, phase diagram and spectrum of riser with increasing and decreasing flow velocity at a reduced speed of 3.02

在鎖頻區(qū)域右側(cè)，當(dāng)折合速度為11.06 時(shí)，增大和減小流速情況下的結(jié)果如圖5 所示。在該折合速度下，響應(yīng)的不同主要體現(xiàn)在振動(dòng)幅值大小和頻譜中主要頻率的不同。 當(dāng)增大流速時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值可以達(dá)到0.93D 左右，頻譜分析得到的主要頻率為0.186 rad/s；而當(dāng)減小流速時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值只有0.17D 左右，頻譜分析得到的主要頻率為0.249 rad/s；顯然，當(dāng)折合速度為10.81-11.32 區(qū)間內(nèi)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象是兩類不同周期運(yùn)動(dòng)的共存。

圖5 增大和減小流速時(shí)立管的時(shí)間歷程圖、相圖和譜圖（折合速度為11.06）Fig.5 The history, phase diagram and spectrum of riser with increasing and decreasing flow velocity at a reduced speed of 11.06

通過(guò)具體對(duì)各流速下立管振動(dòng)響應(yīng)的分析， 可以更清楚地看出立管在這些流速下的振動(dòng)響應(yīng)均產(chǎn)生了雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。 其差異既有振動(dòng)形態(tài)的不同，也包含振動(dòng)幅值、頻率的差別。

3.2 響應(yīng)頻率和相位差變化規(guī)律

為了進(jìn)一步研究立管響應(yīng)頻率在選取流速范圍內(nèi)變化規(guī)律， 本文分別計(jì)算繪制了立管響應(yīng)頻譜和尾流振子頻譜隨流速變化的三維圖形，如圖6-7 所示。

圖6 1 000 m 立管振動(dòng)響應(yīng)三維頻譜圖Fig.6 Three-dimensional spectrum of 1 000 m riser’s vibration response

根據(jù)譜分析結(jié)果提取了主要頻率成分隨流速變化結(jié)果見圖7， 為反應(yīng)響應(yīng)的本質(zhì)圖中還給出了有阻尼情況下特征值頻率的結(jié)果。

圖6-7 清晰地反映了其振動(dòng)響應(yīng)頻率隨流速變化的規(guī)律:

（1） 當(dāng)流速較小時(shí)（0.010-0.022 m/s 之間），頻譜中有兩個(gè)主要頻率成分: 較小的頻率非常接近漩渦脫落頻率， 隨著流速增加而增加且幅值較小；較大的頻率在0.15 rad/s 附近波動(dòng)，基本和管道固有頻率 （1 000 m 管道的固有頻率為0.154 rad/s）相同，且隨流速變化不明顯，其與線性化矩陣的有阻尼特征值結(jié)果吻合較好。 也就是說(shuō)在小流速時(shí)，立管的振動(dòng)為概周期運(yùn)動(dòng)，其頻率成分包括:渦激頻率和立管頻率，此時(shí)相當(dāng)于漩渦脫落激勵(lì)立管振動(dòng)。 因流體阻尼作用小，流體與立管相互作用較弱，響應(yīng)中保留了立管的頻率成分；

圖7 響應(yīng)頻率變化Fig.7 Variation of response frequency

（2） 當(dāng)流速處在較大范圍時(shí)（0.024-0.086 m/s 之間），此流速范圍立管振動(dòng)處在“鎖頻”區(qū)域，振幅較大，響應(yīng)頻率成分以基頻為主，其頻率值由U=0.024 m/s 時(shí)的0.148 rad/s 增大到了U=0.086 m/s 時(shí)的0.183 rad/s，略小于線性化矩陣的有阻尼特征值結(jié)果。 也就是說(shuō)在中等流速下，立管的振動(dòng)為周期運(yùn)動(dòng)，漩渦脫落頻率與立管頻率接近而發(fā)生“鎖頻”現(xiàn)象， 即發(fā)生共振；

（3） 隨著流速的增大（0.088-0.1 m/s 之間），此流速范圍管道振動(dòng)脫離“鎖頻”區(qū)域，立管振幅幅值較小。 其頻譜圖像又發(fā)生了進(jìn)一步的變化，主要頻率從0.088 m/s 時(shí)的0.249 rad/s 躍變?yōu)?.1 m/s 時(shí)的0.302 rad/s，得到的頻率接近于漩渦脫落頻率Ωf=2πStU/D（Ωf=0.340-0.387 rad/s），處于線性化矩陣有阻尼特征值之間，接近較大的特征值。 也就是說(shuō)在小幅周期振動(dòng)區(qū)間，即在高流速下，由于系統(tǒng)的耦合性，立管振動(dòng)響應(yīng)的主要頻率接近漩渦脫落頻率，并且立管頻率部分被衰減掉。

同時(shí)又提取了立管和尾流振子頻譜分析中主頻率對(duì)應(yīng)的相位差， 并分析了其值隨流速變化的規(guī)律，如圖8 所示。 從圖中可以看出，在選取流速范圍內(nèi)， 二者振動(dòng)相位之間的關(guān)系是隨著流速逐漸變化的。 當(dāng)流速為0.03-0.048 m/s 之間時(shí)，二者振動(dòng)相位是同相的；當(dāng)流速為0.048-0.096 m/s 之間時(shí)，二者振動(dòng)相位是相反的。當(dāng)v=0.096 m/s 時(shí)，立管位移-尾流振子位移的相位差達(dá)到了180°，二者相位完全相反。

圖8 立管和尾流振子相位差隨流速變化圖Fig.8 Phase difference of riser and wake oscillator with flow velocity

4 結(jié) 論

本文利用Van der Pol 尾流振子模型描述流體的作用，建立了深海立管的渦激振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，利用Poincaré 映射方法，研究了流速變化引起立管振動(dòng)行為的分岔現(xiàn)象，并具體分析了振動(dòng)響應(yīng)頻率和相位的變化規(guī)律，主要結(jié)論如下:

（1） 無(wú)阻尼情況下，系統(tǒng)特征值隨流速變化，純虛特征值逐漸接近至相等，然后變成兩對(duì)虛部相等的復(fù)重根，再變?yōu)閮蓪?duì)純虛根。 U∈（0.025-0.085 m/s）間屬于耦合顫振平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，而其他區(qū)間平衡點(diǎn)是中心穩(wěn)定的；有阻尼時(shí)，由于始終有一對(duì)復(fù)根實(shí)部大于0，平衡點(diǎn)始終是不穩(wěn)定的，即立管處于渦激振動(dòng)狀態(tài)。

（2） 通過(guò)本文的計(jì)算和研究表明:1000m 長(zhǎng)管道系統(tǒng)響應(yīng)存在三個(gè)區(qū)域，小流速下概周期運(yùn)動(dòng)，中流速下大幅鎖頻周期運(yùn)動(dòng)，高流速下小幅周期運(yùn)動(dòng)。 在鎖頻區(qū)兩側(cè)，分別存在兩種類型的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象:概周期運(yùn)動(dòng)與大幅周期運(yùn)動(dòng)共存，大幅與小幅周期運(yùn)動(dòng)共存。

（3） 通過(guò)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)頻率進(jìn)行計(jì)算分析可知，系統(tǒng)處于小流速時(shí)，振動(dòng)為概周期運(yùn)動(dòng)，頻率成分包括:渦激頻率和立管頻率，相當(dāng)于渦脫落激勵(lì)立管振動(dòng)；中等流速下，振動(dòng)為大幅周期運(yùn)動(dòng)，渦脫落頻率與立管頻率接近而發(fā)生鎖頻現(xiàn)象，即發(fā)生共振；高流速下，振動(dòng)為小幅周期運(yùn)動(dòng)，僅含渦脫落頻率，立管頻率部分被衰減掉。

（4） 在選取流速范圍內(nèi)，立管和尾流振子振動(dòng)相位之間的關(guān)系是隨著流速逐漸變化的，由小流速下的同相位變成了大流速下相反的相位。