鄒士祥 林 明

（江蘇科技大學(xué) 鎮(zhèn)江 212001）

1 引言

為了避免信源數(shù)錯(cuò)誤導(dǎo)致DOA 估計(jì)方法失效，在未知信源數(shù)的條件下進(jìn)行DOA 估計(jì)的方法受到廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)［3］結(jié)合Capon 算法和MUSIC算法，提出了一種未知信源數(shù)的高分辨DOA 估計(jì)方法m-Capon，然而對于實(shí)際情況，該算法的m 值不易確定，m 值太小則相關(guān)矩陣不能收斂到噪聲子空間，過大則特征值不相等的噪聲分量會被誤認(rèn)為信號分量，而且在低信噪比以及快拍數(shù)較少時(shí)，性能也會受到很大影響；文獻(xiàn)［4］對這個(gè)問題進(jìn)行了討論，提出了一種修正MUSIC算法，但它只對信噪比和快拍數(shù)較大并且非相干信號源有效。而在實(shí)際工程中，由于多徑傳播等因素的影響，存在大量相關(guān)信號源，從而使得信號波達(dá)角的估計(jì)性能下降很多。文獻(xiàn)［2］雖然在低信噪比以及快拍數(shù)較少時(shí)估計(jì)仍然具有較好的性能，但無法估計(jì)相干信號，且計(jì)算量大。

本文提出的在未知信源數(shù)情況下一種超分辨DOA 估計(jì)，能夠較好地解決低信噪比以及低快拍數(shù)情況下性能嚴(yán)重下降的情況，并且對相干信號能夠進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)，新的DOA 估計(jì)算法通過約束條件實(shí)現(xiàn)最大限度的減少陣列輸出的方差，保證來波方向的輸出功率，利用空間平滑矩陣的中心赫爾米特（Centro-Hermitian）特性構(gòu)造兩個(gè)實(shí)值矩陣，降低了計(jì)算量，同時(shí)利用空間平滑技術(shù)對相干信號進(jìn)行解相干處理，最后用求根的方法代替譜峰搜索。

2 算法原理

2.1 信號模型

M 個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號入射到空間L 元均勻線陣中，假設(shè)陣元數(shù)等于通道數(shù)，即各陣元接收到信號后經(jīng)各自傳輸通道送到處理器，選取陣列的第一個(gè)陣元為參考陣元，則窄帶信號陣列接收快拍數(shù)據(jù)矢量X（t）表示為

其中X（t）為陣列接收的L 1 維快拍數(shù)據(jù)矢量，S（t）為L 1 維的空間信號矢量，A 為空間陣列L×M 流型矩陣，即導(dǎo)向矢量陣。

其協(xié)方差矩陣為

其中Rs=E[S(t)S(t)H]為信源協(xié)方差矩陣，σ2為噪聲功率，I為單位矩陣。

對R進(jìn)行特征分解有

ES為信號子空間，EN為噪聲子空間，ΛS為大特征值組成的對角陣，ΛN為小特征值組成的對角陣。

R的特征值滿足如下關(guān)系：實(shí)際中數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣是通過N 次快拍數(shù)據(jù)估計(jì)得到的，即

快拍數(shù)N 取值越大，這個(gè)估計(jì)值越接近真實(shí)值，從而對角度的估計(jì)越準(zhǔn)確。

MUSIC算法的空間譜函數(shù)為

其中θ是方位角，s(θ)為導(dǎo)向矢量。

MVDR算法的空間譜函數(shù)為

2.2 基本原理

該算法是在波束形成的框架上提出的，因此不需要估計(jì)信源數(shù)，對于DOA 估計(jì)問題，基于輸出功率提出約束式（8b），對在來波方向上增益的平方加上約束，其中權(quán)值矢量的范數(shù)約束保證了有意義的結(jié)果，其約束條件為

其中c，β是大于零的常數(shù)。

式（8）可以歸結(jié)為條件下求極值，對于條件下求極值可以用拉格朗日常數(shù)法，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。

上式對ω 求導(dǎo)，并令其為零，得

這就意味著最優(yōu)權(quán)值矢量是矩陣束{R，s(θ)s(θ)H+βI}最小特征值對應(yīng)的特征向量。

由于(s(θ)s(θ)H+βI)是可逆的，這就等同于求解(s(θ)s(θ)H+βI)R-1最小特征向量。c 的值對公式無關(guān)緊要，β值將在后面求解。

利用Sherman-Morrison公式：

得

其中常數(shù)：

相關(guān)矩陣的特征分解可以表示為R=∑iL=1ξieieiH，ξi和ei分別代表特征值和特征向量，在存在噪聲空間情況下，R 是一個(gè)滿秩矩陣，其特征向量形成L 維空間的正交基。因此s(θ)可以用R的特征向量表示

于是，得到

其中ai=eiHs(θ) 。

將式（13）代入式（11a）得

于是特征分解變?yōu)?/p>

其中x，γ分別為特征向量和特征值。

很明顯{ei|?i}不是式（15）的解，相反，最優(yōu)權(quán)向量是由特征向量的加權(quán)和，表示為，為了計(jì)算新的特征向量，將代入式（15）得

b=[b1，…，bL]T是矩陣最小特征值對應(yīng)的特征向量，其元素為

當(dāng)導(dǎo)向矢量完全屬于信號子空間時(shí)，在這種情況下，ai=0，?i∈N0得到

則B~表示為

其是對角矩陣，能夠看出是{β-1ξi|?i∈N0}式（19）的特征值。

如 果{β-1ξi|?i∈N0}不 是 最 小 特 征 值，同 時(shí)bi=0，?i ∈N0，這就表示期望的權(quán)值向量包含在信號子空間中。b矩陣中非零元素組成的特征向量對應(yīng)于下面矩陣的最小特征值：

因此，由于權(quán)值矢量和s(θ)的獨(dú)立性將阻礙在來波方向上產(chǎn)生波峰，為了解決這個(gè)問題，需要對β值做約束。

因?yàn)棣?1I+?s(θ)sH(θ)和R 矩陣都是Hermite 矩陣，則以下不等式成立［11］。

為了保證最小特征值屬于{β-1ξi|?i∈N0}這個(gè)集合，則需解決式（22）給出的β下限問題：

β 最小為

由于ξL-1≤ξM故把β 設(shè)為

其中k 的取值不能太小，接近于1 才能滿足條件要求。

由文獻(xiàn)［1］中提出的最優(yōu)化約束條件

由拉格朗日乘法得到

于是得到類似于MUSIC算法形式的空間譜

2.3 實(shí)值相干處理

J是交換矩陣，它的反對角線為1，其余為零。兩邊乘以實(shí)酉矩陣，則實(shí)值協(xié)方差矩陣為

Q 為實(shí)值L L 維的列對稱矩陣，根據(jù)陣元數(shù)的奇偶選擇實(shí)值變換矩：

矢量0={0 ，0，…，0}T，I為k階單位矩陣，J為k階反單位矩陣。

利用求根的方式代替譜峰搜索，定義多項(xiàng)式：

式中p(z)=[1，z，…，zL-1]T。

將多項(xiàng)式修改為如下形式：

多項(xiàng)式中存在z*項(xiàng)，使得求零過程變得復(fù)雜，故用pT(z-1)代替pH(z)，即

f(z)是2（M-1）次多項(xiàng)式，它的根相對于單位圓是鏡像對，只需求式（34）M 個(gè)接近于單位圓上的根，即

本文算法步驟如下：

1）根據(jù)式（29）利用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R 構(gòu)造空間平滑矩陣，根據(jù)式（30）構(gòu)造實(shí)值矩陣，并進(jìn)行特征分解；

2）由式（25）求得β，進(jìn)而根據(jù)式（11b）求得?；

4）對步驟3）得到的實(shí)值矩陣進(jìn)行特征分解，求得最小特征值對應(yīng)的特征向量；

5）根據(jù)式（34）中的求根多項(xiàng)式，計(jì)算出期望信號的波達(dá)方向。

3 仿真結(jié)果

實(shí)驗(yàn)一：仿真采用均勻線陣，陣元個(gè)數(shù)M =8，陣元間距為半波長，信源為4 個(gè)入射角分別為-60h、-20h、30h和70h的窄帶信號，快拍次數(shù)為100，信噪比為10 dB，入射信號分別為非相關(guān)信源與相關(guān)信源。

圖1 非相干信號估計(jì)

圖2 相干信號估計(jì)

實(shí)驗(yàn)二：仿真采用均勻線陣，陣元個(gè)數(shù)M =8，陣元間距為半波長，信源為1 個(gè)入射角為50h的窄帶信號，一組快拍次數(shù)為100，均方根誤差隨SNR的變化情況；另一組信噪比為10db，均方根誤差隨快拍數(shù)的變化情況，仿真進(jìn)行200 次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，結(jié)果取平均。

圖3 SNR對估計(jì)性能的影響

圖4 快拍數(shù)對估計(jì)性能的影響

實(shí)驗(yàn)三：采用均勻線陣，陣元個(gè)數(shù)M =8，陣元間距為半波長，快拍數(shù)為100，信源為2個(gè)入射角分別為5h和10h的窄帶信號，仿真估計(jì)成功概率隨快拍數(shù)的變化。

圖5 估計(jì)成功概率隨快拍數(shù)的變化

由圖1和圖2可以看到對于非相干信號和相干信號，本文算法都能夠較準(zhǔn)確地估計(jì)出來，所以本算法同樣適用于相干信號；在圖3 中，兩種算法在同樣SNR情況下，誤差相當(dāng)；從圖4和圖5中可以看出，在小快拍數(shù)的情況下，本文算法的估計(jì)誤差和性能都稍優(yōu)于ROOT-MUSIC算法。

4 結(jié)語

本文針對信號源估計(jì)誤差導(dǎo)致DOA 估計(jì)錯(cuò)誤的問題，提出一種基于未知信源數(shù)的超分辨DOA估計(jì)，理論分析和計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明，該算法能夠處理相干信號，在低信噪比以及低快拍數(shù)情況下仍具有較好的性能，估計(jì)精度與求根MUSIC 算法相當(dāng)，且計(jì)算量適中，具有很好的可行性與實(shí)用性。