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一道數(shù)學(xué)壓軸題的多解探究

2019-11-12 07:39周杰華
關(guān)鍵詞:壓軸題導(dǎo)數(shù)函數(shù)

周杰華

[摘 ? 要]探究一道壓軸題的多種解法,以喚醒學(xué)生的創(chuàng)新意識,激活學(xué)生的發(fā)散性思維,提升學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]壓軸題;多解;函數(shù);導(dǎo)數(shù)

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058(2019)26-0005-02

數(shù)學(xué)壓軸題具有典型性、示范性和代表性的特征,通過對其進行一題多解教學(xué),有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力,促使學(xué)生思維發(fā)散,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【題目】已知函數(shù)[f(x)=x2+2x+alnx],記[f(x)]的圖像為曲線[C].

(Ⅰ)當(dāng)[a=1]時,求曲線[C]在點[(1,f(1))]處的切線方程;

(Ⅱ)當(dāng)[a≤4]時,記[f(x)]的導(dǎo)函數(shù)為[g(x)],對任意兩個不相等的正數(shù)[x1,x2],證明:[g(x1)-g(x2)>x1-x2] .

【多解探究】本題(Ⅰ)比較簡單,當(dāng)[a=1]時, [f(x)=x2+2x+lnx],求導(dǎo)得[f '(x)=2x-2x2+1x],所以曲線[C]在點[(1,f(1))]處的切線斜率為[f '(1)=1].又由[f(1)=3]知切點坐標為[(1,3)],故所求切線方程為[y-3=x-1],即[x-y+2=0].

以下著重給出本題(Ⅱ) 的多解探究.

解法一:由題設(shè)得[g(x)=f '(x)=2x-2x2+ax,x>0],所以[g'(x)=2+4x3-ax2] [=2x3-ax+4x3,x>0].

設(shè)函數(shù)[t(x)=2x3-ax+4,x>0],當(dāng)[a≤0]時,易知[t(x)>0];當(dāng)[00],所以[t(x)>0.]

于是,可知當(dāng)[a≤4]時,[2x3-ax+4>0]在[(0,+∞)]上恒成立,從而可得[g'(x)>0],所以函數(shù)[g(x)]在[(0,+∞)]上單調(diào)遞增.

不妨設(shè)[x1x1-x2],即證[g(x2)-g(x1)>x2-x1],即證[g(x2)-x2>g(x1)-x1],亦即證函數(shù)[h(x)=g(x)-x]在[(0,+∞)]上單調(diào)遞增.

求導(dǎo)得[h'(x)=g'(x)-1=x3-ax+4x3,x>0].

設(shè)函數(shù)[m(x)=x3-ax+4,x>0],當(dāng)[a≤0]時,易知[m(x)>0];當(dāng)[00],所以[m(x)>0].于是,可知當(dāng)[a≤4]時, [x3-ax+4>0]在[(0 ,+∞)]上恒成立,從而可得[h'(x)>0],所以函數(shù)[h(x)]在[(0 ,+∞)]上單調(diào)遞增.故得證.

解法二:在解法一的基礎(chǔ)上,僅做兩處改進。

改進1:證明當(dāng)[a≤4]時,[2x3-ax+4>0]在[(0,+∞)]上恒成立.

當(dāng)[x>0]時,[2x3-ax+4>0]恒成立[?a<2x2+4x]恒成立[?a<2x2+4xmin=6],所以當(dāng)[a≤4]時,可得[2x3-ax+4>0]在[(0,+∞)]上恒成立.

改進2:證明當(dāng)[a≤4]時,[x3-ax+4>0]在[(0,+∞)]上恒成立.

當(dāng)[x>0]時,[x3-ax+4>0]恒成立[?a0]在[(0,+∞)]上恒成立.

解法三:由題設(shè)得[g(x)=f '(x)=2x-2x2+ax],所以[g(x1)-g(x2)=2(x1-x2)+2(x21-x22)x21x22+a(x1-x2)x1x2=][(x1-x2)2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2.]

于是,欲證[g(x1)-g(x2)>x1-x2],

即證[x1-x2?2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>x1-x2],又由[x1≠x2]知[x1-x2>0],所以即證[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>1].

接下來,給出兩種不同的證明.

證法1:由基本不等式及[a≤4]可得[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2≥2+4(x1x2)3-4x1x2] . ①

設(shè)函數(shù)[u(t)=4t3-4t2+2],其中[t=1x1x2>0],則因為[u'(t)=12t2-8t],所以易知當(dāng)[t∈0,23]時,[u'(t)<0];當(dāng)[t∈23,+∞]時,[u'(t)>0].于是,函數(shù)[u(t)]在[0,23]上單調(diào)遞減,在[23,+∞]上單調(diào)遞增,所以[u(t)≥u23=3827>1].

從而,可得[2+4(x1x2)3-4x1x2>1],進而結(jié)合①可知[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>1],所以[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2 ? ? >1].故得證.

證法2:由基本不等式可得[x1x2+2(x1+x2)x1x2>x1x2+4x1x2] .②

設(shè)函數(shù)[m(t)=t2+4t],其中[t=x1x2>0],則因為[m(t)=t2+2t+2t≥343>4],所以[x1x2+4x1x2>4].于是,結(jié)合②及[a≤4]可得[x1x2+2(x1+x2)x21x22>a],所以兩邊同除以[x1x2]得[1+2(x1+x2)x1x2>ax1x2],所以再移項且兩邊同時加上1可得[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>1],所以[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>1].故得證.

【反思】上述解法一先分析函數(shù)[g(x)]在[(0,+∞)]上的單調(diào)性,以便去掉目標不等式中的絕對值,再經(jīng)過適當(dāng)移項變形可發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)特點,有利于構(gòu)造函數(shù)求解目標問題;解法二改進的證明思路可敘述為:借助不等式恒成立的等價轉(zhuǎn)化策略(分離參數(shù),等價轉(zhuǎn)化為求相關(guān)函數(shù)的最值),巧妙證明兩個不等式恒成立;解法三先將欲證不等式具體化,有利于等價轉(zhuǎn)化目標問題,然后給出兩種不同的思路,其關(guān)鍵都是將含有[x1+x2]和[x1x2]的混合表達式放縮為只含有[x1x2]的表達式,以便換元、構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進行放縮處理(其中證法1先利用基本不等式對絕對值內(nèi)部進行適當(dāng)放縮,再構(gòu)造函數(shù),利用其單調(diào)性加以求解;證法2的書寫過程利用了綜合法,其思路是利用分析法獲得的,這是因為不等式[2+2(x1+x2)x21x22-ax1x2>1][?a

綜上,思考角度不同,呈現(xiàn)不一樣的解法,真正取得了“教一題,會一類,通一片”的教學(xué)效果.

(責(zé)任編輯 黃桂堅)

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