山東省廣饒縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 任百義

數(shù)學(xué)的幾何學(xué)問可謂“小題大做”，初中生的思維常常有“短路”現(xiàn)象，這主要是因?yàn)榻處熢谂囵B(yǎng)學(xué)生的“數(shù)形轉(zhuǎn)換”的學(xué)科素養(yǎng)上缺乏實(shí)踐.怎樣才能讓學(xué)生在課堂上多實(shí)踐呢？通過備課組的集體研討和平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐分析，裁剪與折紙是課堂上培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)形轉(zhuǎn)換”學(xué)科素養(yǎng)的有效途徑.

與課堂實(shí)踐不謀而合，近年來中考試卷中考查裁剪與折紙的問題屢見不鮮.如2017年江蘇省無錫市數(shù)學(xué)試卷第10題：如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD 翻折得到△AED，連接CE，則線段CE的長(zhǎng)等于（ ）.

圖1

中考試題是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)考查的具體體現(xiàn)，而課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的有效途徑.為此，筆者在初中幾何教學(xué)過程中開始嘗試裁剪與折紙的數(shù)學(xué)拓展性課程，讓學(xué)生初步體驗(yàn)到剪裁與折紙?jiān)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一些“學(xué)問”.

一、課堂裁剪與折紙可以豐富數(shù)學(xué)探索的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)幾何最顯著的特點(diǎn)是“數(shù)形轉(zhuǎn)換”的思想.在實(shí)驗(yàn)操作中讓學(xué)生體驗(yàn)這種思想發(fā)現(xiàn)的過程，感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)涵是課堂教學(xué)的基本點(diǎn).比如，在學(xué)習(xí)“勾股定理”內(nèi)容時(shí)，教材就給出了剪紙證明的方法，剪裁四個(gè)相同的直角三角形進(jìn)行拼接，然而學(xué)生拼接的方法是豐富多彩的，與教材有著不同的形式.在學(xué)習(xí)“等腰三角形”時(shí)，不妨在課堂上讓學(xué)生思考將一張長(zhǎng)方形紙片折成等腰三角形；再學(xué)習(xí)用直角三角形及任意三角形紙片折成一個(gè)長(zhǎng)方形.當(dāng)然，折紙必須強(qiáng)調(diào)重疊部分只能是兩層紙，不能反復(fù)重疊.通過課堂上剪裁與折紙活動(dòng)和小組交流醞釀出很多不同的方法，然后通過學(xué)生對(duì)折紙過程和相應(yīng)的說明展示，讓課堂變得活潑且有趣，學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究由情而發(fā).

毋庸置疑，筆者在課堂上采用的這些鮮活的案例都取得了很好的效果，有時(shí)，剪裁與對(duì)折活動(dòng)從課堂中延伸到了課堂外，充分說明調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候展示與剪裁、折紙的內(nèi)容有關(guān)的中考試題，使學(xué)生對(duì)剪裁、折紙的學(xué)習(xí)重視起來.

二、課堂裁剪與折紙數(shù)學(xué)探索案例分享

剪裁與折紙可以作為一種生活欣賞的藝術(shù)，用于幾何教學(xué)則是作為有著除藝術(shù)欣賞之外的教學(xué)輔助工具的功能，其教學(xué)應(yīng)用價(jià)值和使用手段尚有待師生認(rèn)知、認(rèn)可.同時(shí)，剪裁與折紙還面臨著各種挑戰(zhàn)，其應(yīng)用和教學(xué)活動(dòng)只是在摸索和嘗試的過程中.筆者就以平行四邊形的教學(xué)過程為例，將課堂裁剪與折紙數(shù)學(xué)探索與同人分享.

1.創(chuàng)設(shè)剪裁與折紙情境，引入新課

師：同學(xué)們，我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)過了三角形的知識(shí)，在那里我們認(rèn)識(shí)了一些特殊三角形，如等腰三角形、直角三角形等，同時(shí)學(xué)習(xí)過一般四邊形的性質(zhì)，從今天開始，讓我們?cè)傺杏懸活愄厥獾乃倪呅?，好嗎？（拿出一?6開紙板，將寬對(duì)折并剪裁）

師：在小學(xué)就知道這是一個(gè)什么四邊形？

學(xué)生答長(zhǎng)方形或矩形.

用電子白板展示折紙過程，如圖2所示.

圖2

學(xué)生在電子白板的示范下開始剪裁和折紙.

師：你們通過折紙得到了一個(gè)什么四邊形？

生：平行四邊形.

師：開始的16開紙也是平行四邊形嗎？

生：也是，只不過有些特殊.

師：這節(jié)課我們就開始學(xué)習(xí)平行四邊形.我們?cè)谇懊嫣骄窟^許多圖形，可以從哪些方面開始探究一個(gè)圖形的特征呢？

生：需要探究平行四邊形的定義、性質(zhì)，還有判定等.

師生合作認(rèn)識(shí)平行四邊形的定義、表示符號(hào).

2.通過剪裁與折紙?zhí)骄科叫兴倪呅蔚男再|(zhì)

師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們已經(jīng)掌握了平行四邊形的定義、表示符號(hào)（拿起學(xué)生剛剛折出的平行四邊形），大家覺得可以從哪些角度去探究這個(gè)平行四邊形的性質(zhì)呢？

學(xué)生答邊、角、對(duì)角線等.

由學(xué)生自己通過猜想和度量來證實(shí)猜想：平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等.

電子白板展示平行四邊形的性質(zhì).

師：你們能夠證明上面兩個(gè)猜想嗎？請(qǐng)先將這段文字寫成數(shù)學(xué)命題的形式，然后證明.

學(xué)生作圖、寫出已知和求證，以及證明過程.

如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC.

求證：AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D.（證明過程略去）

課堂練習(xí)：（用電子白板展示課堂練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)）

圖3

在圖3中，若∠A=120°，則其他幾個(gè)角的度數(shù)分別是多少？

若AB=2，BC=4，∠A和∠B的度數(shù)分別是多少？

創(chuàng)設(shè)目的：采取先同桌交流再全班展示的方式進(jìn)行.目的是訓(xùn)練學(xué)生對(duì)平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角相等的性質(zhì)的理解.

3.課堂上類比折紙，度量平行四邊形的高的概念

師：（拿出一個(gè)已經(jīng)折好的平行四邊形）現(xiàn)在讓我們回過頭再看看這個(gè)圖形的折紙過程（展開），請(qǐng)同學(xué)們思考這樣一個(gè)問題.

電子白板展示：

課堂練習(xí)：如圖4，四邊形ABCD是平行四邊形，作DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E、F.求證DE=BF.

圖4

答案是開放的、不唯一的，因此，學(xué)生交流后的答案精彩紛呈.預(yù)設(shè)學(xué)生可能的思路有以下幾種：

思路1：利用?ABCD對(duì)角相等、對(duì)邊相等的性質(zhì)可以得出∠A=∠C、AD=CB，再利用不難得出DE=BF.

思路2：得出DE=BF，或四邊形DEBF的四個(gè)角為90°，證明四邊形DEBF也是平行四邊形.

思路3：引導(dǎo)學(xué)生從平行線間的距離進(jìn)行探究證明.

創(chuàng)設(shè)目的：通過學(xué)生在課堂上對(duì)問題的討論與交流，讓應(yīng)用折紙作為輔助探究的工具和演示幾何形態(tài)成為可能，為學(xué)生針對(duì)幾何問題敞開探究、開放的大門.因此，多角度的思考可以博采眾長(zhǎng)，有效提升學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)知能力.

4.創(chuàng)設(shè)剪裁與折紙練習(xí)題，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

為了開發(fā)剪裁與折紙活動(dòng)，筆者用坐標(biāo)紙作為數(shù)學(xué)教學(xué)專用折紙紙張，不但有網(wǎng)格可以表示坐標(biāo)，還可以用不同的顏色表示剪裁或折疊后的區(qū)域等，從而讓學(xué)生能直觀地應(yīng)用剪裁或折紙.比如，讓學(xué)生練習(xí)一些必要的習(xí)題，可從中考試題中選編過來.如：

練習(xí)1：如圖5，把一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，從折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（ ）.

圖5

A.正三角形 B.正方形

C.正五邊形 D.正六邊形

練習(xí)2：如圖6，方格紙中有一透明等腰三角形紙片，按圖中裁剪線將這個(gè)紙片裁剪成三部分.請(qǐng)你將這三部分小紙片重新分別拼接成：

圖6

圖7

（1）一個(gè)非矩形的平行四邊形.

（2）一個(gè)正方形.

請(qǐng)?jiān)趫D中畫出拼接后的圖形，要求每張三角形紙片的頂點(diǎn)與小方格的頂點(diǎn)重合……

創(chuàng)設(shè)目的：通過練習(xí)來營(yíng)造一種動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、直覺判斷、合情推理的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，在活動(dòng)中，學(xué)生根據(jù)自己的能力得出不同層次的結(jié)論.練習(xí)中的剪裁與折紙過程足以激勵(lì)每一個(gè)學(xué)生參與到力所能及的探究中.

總之，在課堂上創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的剪裁與折紙活動(dòng)，能為學(xué)生仔細(xì)觀察，廣泛聯(lián)想，多方向、多角度、多層次去思考營(yíng)造機(jī)會(huì)，因此，剪裁與折紙是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑.