浙江省三門縣三門初級中學 丁堅鋒

在中考前的一段時間，畢業(yè)班的教師忙著選題、做題、研題，不亦樂乎.其間，有幾位教師與我交流了一道題的解法，得知這道題的得分率很低，這引起了筆者對這道題一探究竟的興趣.

一、試題呈現(xiàn)

圖1

圖2

二、解法探究

1.代數(shù)法：借助函數(shù)模型，關(guān)聯(lián)方程知識

求最值是函數(shù)問題中最常見的一類問題，從幾何圖形中找出數(shù)量關(guān)系，建立一個函數(shù)模型去求BD的最大值，便成了很自然的想法，于是筆者進行了嘗試.

分析：如圖2，分別作AE⊥BC 于點E，DF⊥BC 交BC 的延長線于點F.

設(shè)AE=a，DF=b.

由BE2+AE2=AB2，得，化簡得a2+b2=

由BD2=（BC+CF）2+DF2，得（a+b）+1.此時，只需求出a+b的最大值即可.

圖3

不妨設(shè)a+b=m，消去a（消去b也行），得a=m-b.代入中，得m2+2=0.由Δ≥0，得0.畫出y=的圖像，如圖3，計算出圖像與橫軸的交點的坐標，結(jié)合圖像可知，m的最大值為，此時.至此，問題得到解決.

反思：此法通過數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，借助函數(shù)性質(zhì)去求最大值，這一過程對學生分析圖形中的數(shù)量關(guān)系提出了較高的要求.同時，需要有較強的綜合運用知識的能力，才能順利解決問題.學生較少接觸含兩個字母的二次式，對他們而言，首先想到的是解方程，而不會考慮用根的判別式.學生不易理解看成關(guān)于b的方程和關(guān)于m的方程的區(qū)別，如果從解方程的角度來看，這兩者是一樣的，因為根的表達式是方程的另一種表現(xiàn)形式.我們知道，當m變化時，會影響到b是否有實數(shù)根，所以，把方程看成關(guān)于b的方程，從方程有解還是無解方面去考慮，利用根的判別式求m的取值范圍.

不過，一元二次不等式在初中階段不做學習要求，通過建立二次函數(shù)，借助函數(shù)圖像去解二次不等式，對初中生來說難度過大.

2.幾何法：借助基本圖形，關(guān)聯(lián)圖形變換

用變換的方法將數(shù)量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，聚集分散的條件到一個三角形或基本圖形中，從而解決問題，是解決一類幾何最值問題的基本思路.

解法1：利用全等變換解決問題.

分析：如圖4，將△BCD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE，即構(gòu)造出一對全等三角形：△ACE與△DCB，利用全等性質(zhì)，將已知條件分別進行轉(zhuǎn)移，把問題轉(zhuǎn)化到△ABE中進行解決.過點C作CE⊥BC，且CE=BC，連接BE、AE，所以易知所以BD=AE.AE的最大值等于AB+BE，所以BD的最大值為

圖4

解法2：利用相似變換解決問題.

分析：如圖5，將△ACD做相似變換，得到△AEB，將問題轉(zhuǎn)化到△BCE中進行解決.以AB為斜邊，作Rt△AEB，AE=BE，連接CE.易知BE=.因為且∠EAC=∠BAD，所以，所以BD=的最大值等于BE+BC，所以BD的最大值等于

圖5

反思：一般地，數(shù)學問題的解決是經(jīng)過一系列的轉(zhuǎn)化來完成的，圖形的變換則能將幾何問題中的已知條件在圖形的位置上進行轉(zhuǎn)移，在數(shù)量關(guān)系上進行轉(zhuǎn)化，所以，圖形的變換思想在轉(zhuǎn)化過程中起到極大的作用.初中的圖形變換主要有全等變換（平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)）和相似變換.學習經(jīng)驗告訴我們，當圖形中有兩條共頂點的等線段時，一般可以構(gòu)造全等三角形（有些教師稱之為“手拉手”模型），學生對于添輔助線構(gòu)造全等三角形的方法較為熟悉，而對構(gòu)造“手拉手”型的相似三角形卻較為陌生.事實上，這與我們在教學過程中有沒有對一個基本圖形進行深入探究和類比學習有極大的關(guān)系，如圖6，△ABC和△CDE都是等邊三角形，我們既要引導學生對圖中的結(jié)論進行探究，又要從圖形的變換角度提煉數(shù)學思想方法.圖7則是圖6一般化的結(jié)果，對此，可從類比學習角度進行圖形關(guān)系的探究，從而使學生形成構(gòu)造“手拉手”型相似三角形的意識，培養(yǎng)圖形關(guān)聯(lián)的意識.

圖6

圖7

從筆者與其他教師的交流中發(fā)現(xiàn)，解決這個問題最困惑的地方在于要用到什么知識，添什么樣的輔助線.思路受阻的原因是解題者在進行問題表征的過程中無法有效地與相關(guān)知識和解題模型聯(lián)系起來，如：求最大值的模型、添輔助線構(gòu)造相似圖形的模型.在問題表征過程中能做到積極有效地關(guān)聯(lián)知識，這與解題者的活動經(jīng)驗有直接關(guān)系，活動經(jīng)驗的獲得又與其學習活動分不開，特別是參與探究圖形結(jié)論的過程性學習.

在教學過程中，告訴學生一些“基本圖形”的結(jié)論是不夠的，更重要的是關(guān)注發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程和深層次的學習內(nèi)容（數(shù)學方法的總結(jié)和數(shù)學思想的凝練）.

三、將問題一般化，發(fā)現(xiàn)共性見本質(zhì)

將上述問題進行一般化處理，即得到如下的問題：如圖8，在四邊形ABCD中，AB=m，BC=n，CD∶AC∶AD=a∶b∶c，則BD的最大值為______.

分析：構(gòu)造∠BAO=∠CAD，所以∠BAC，所以，所以.如圖9，當B、O、D三點共線時（點O在點B、D之間），BD的值最大，BD最大=

圖8

圖9

反思：把具體的數(shù)據(jù)換成字母，特殊的位置關(guān)系退化成一般情形，去探究一般化的結(jié)論，是從一題多解走向多解歸一的有效途經(jīng)，是發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的有效方法.用相似變換轉(zhuǎn)化關(guān)系是解決這類問題的一般方法.

我們從圖9中可以看出，當BD的值最大時，A、B、C、D四點共圓，凸顯了數(shù)學的奇異之美，在答案的結(jié)構(gòu)上也顯現(xiàn)出對稱之美.這不禁讓人聯(lián)想到托勒密定理：圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積；托勒密定理的推論：任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當A、B、C、D四點共圓時取等號.可見，對于這個問題，可利用托勒密定理的推論來求BD的最大值，設(shè)CD=ak，AC=bk，AD=ck，代入AC·BD≤AB·CD+AD·BC便可求得結(jié)果.

事實上，托勒密定理及其推論也是通過構(gòu)造“手拉手”型相似三角形得以證明的.

四、體會：發(fā)揮“解題模型”在解題中的積極作用——知識的關(guān)聯(lián)與思維的啟發(fā)

“解題模型”是指教師在解題教學中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出的一些結(jié)論性認識.具體指一些一般化程度較高的結(jié)論或圖形（或稱之為“基本圖形”），如“手拉手”“一線三等角”等模型.它的主要作用在于聯(lián)想“原型”，啟迪解題方向，縮減思維長度.從廣義上看，數(shù)學教材中的定義、法則、公式、原理、性質(zhì)、定理等也是數(shù)學“解題模型”.

“解題模型”是學生在數(shù)學解題中開展聯(lián)想的原型，如果學生看到相應(yīng)的問題能建立聯(lián)想，就能順利地找到解題思路.

比如問題：如圖10，在△ABC 中，AB=BC=AC，AD=3，CD=4，BD=5，求∠ADC的度數(shù).

這是學習全等三角形知識后出現(xiàn)的一道典型的習題，我們把此題與文章開頭的問題（圖1）做一下對比，不難發(fā)現(xiàn)，它們在已知條件的特征和相關(guān)線段的位置關(guān)系上都極為相似，解決問題的方法都用到了圖6的結(jié)論.在學生的學習過程中，這三個問題（圖形）的出現(xiàn)順序應(yīng)該是：圖6—圖10—圖1，難度逐級上升，應(yīng)用圖6解決其他兩個問題，不僅是結(jié)論的應(yīng)用，更是一種數(shù)學思想和方法的體現(xiàn).在解決圖10所示的問題時，若能及時給予學生從分析已知尋找可關(guān)聯(lián)的知識、從分析圖形特征尋找可關(guān)聯(lián)的基本圖形這兩方面的啟發(fā)，就能使學生獲得有益的解題經(jīng)驗，解決圖1所示的問題便會順利很多.

圖10

解題是一個復雜的思維活動，數(shù)學解題模型作為重要的解題元素往往能夠幫助學生形成良好的解題直覺，啟迪解題方向.按照波利亞的觀點，在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型，充分利用相似問題中的方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題.這反映出數(shù)學解題模型能使解題者在分析問題時產(chǎn)生活躍的聯(lián)想，誘發(fā)知識關(guān)聯(lián)，進而催化假設(shè)、類比、遷移、轉(zhuǎn)化，問題也會順利解決.