李旭 榮梓景 阮曉曦

摘 要：針對(duì)相對(duì)不可區(qū)分和區(qū)分關(guān)系約簡(jiǎn)的問(wèn)題提出相應(yīng)的算法。首先，考慮等價(jià)關(guān)系中相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)，提出一種新的辨識(shí)矩陣，并在此基礎(chǔ)上得到了一種約簡(jiǎn)算法，通過(guò)關(guān)系的補(bǔ)關(guān)系提出相對(duì)區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)算法。然后，將相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系等概念推廣到一般關(guān)系。對(duì)于關(guān)系決策系統(tǒng)的相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系約簡(jiǎn)給出了相應(yīng)的辨識(shí)矩陣，并利用關(guān)系的補(bǔ)關(guān)系得到了相對(duì)區(qū)分關(guān)系約簡(jiǎn)的辨識(shí)矩陣，從而得到了兩者的約簡(jiǎn)算法。

最后，在選取的UCI數(shù)據(jù)集上，對(duì)提出的算法進(jìn)行驗(yàn)證。在等價(jià)關(guān)系上，基于絕對(duì)約簡(jiǎn)的相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)（EQIND）算法與相對(duì)不可區(qū)分一般關(guān)系的約簡(jiǎn)（BIIND）算法所得約簡(jiǎn)相同， 基于絕對(duì)約簡(jiǎn)的相對(duì)區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)（EQDIS）算法與相對(duì)區(qū)分一般關(guān)系的約簡(jiǎn)（BIDIS）算法所得約簡(jiǎn)相同;同時(shí)算法BIIND、BIDIS可以對(duì)不完備決策表進(jìn)行約簡(jiǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的可行性。

關(guān)鍵詞： 粗糙集;不可區(qū)分關(guān)系;區(qū)分關(guān)系;關(guān)系決策系統(tǒng);屬性約簡(jiǎn)

中圖分類(lèi)號(hào)：TP18

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： Corresponding reduction algorithms for relative indiscernibility and discernibility relation were proposed. Firstly， considering the reduction of the relative indiscernibility relation in equivalence relation， the corresponding discernibility matrix was proposed and a reduction algorithm was proposed based on the matrix. Then， a reduction algorithm for relative discernibility relation was proposed according to the complementary relationship of the relation. Secondly， the concepts such as relative indiscernibility relation were expanded to the general relation. The corresponding discernibility matrix was proposed for the relative indiscernibility relation reduction in the relation decision system， and the corresponding discernibility matrix for the relative discernibility relation reduction was obtained by using the complementary relationship of the relation， so the reduction algorithms for both relations were obtained. Finally， the proposed algorithms were verified on the selected UCI datasets. In the equivalence relation，

the algorithm of the relative EQuivalence INDiscernibility relation reduction based on absolute reduction （EQIND） and the algorithm of the relative BInary INDiscernibility relation reduction （BIIND） have the same results. The algorithm of the relative EQuivalence DIScernibility relation reduction based on absolute reduction （EQDIS） and the algorithm of the relative BInary DIScernibility relation reduction （BIDIS） have the same results. Meanwhile， BIIND and BIDIS are suitable for the incomplete decision table. The feasibility of the proposed algorithms were verified by the experimental results.

Key words：? rough set; indiscernibility relation; discernibility relation; relation decision system; attribute reduction

0 引言

粗糙集理論[1]作為處理不確定性、不一致問(wèn)題的數(shù)據(jù)分析處理理論，在1982年由波蘭學(xué)者Pawlak提出。屬性約簡(jiǎn)是粗糙集理論研究中的核心問(wèn)題之一，其主要思想是根據(jù)某種特定規(guī)則，在保持論域中的對(duì)象分類(lèi)不變的前提下，刪除冗余屬性?，F(xiàn)階段屬性約簡(jiǎn)理論研究已取得了重大進(jìn)展，例如，正域約簡(jiǎn)[2-3]、變精度約簡(jiǎn)[4]、分配約簡(jiǎn)[5]、覆蓋約簡(jiǎn)[6-7]、局部約簡(jiǎn)[8]等。許多學(xué)者在等價(jià)關(guān)系的基礎(chǔ)上對(duì)屬性約簡(jiǎn)進(jìn)行了廣泛深入的討論，然而當(dāng)數(shù)據(jù)存在不完備、不一致現(xiàn)象時(shí)，通常誘導(dǎo)不出等價(jià)關(guān)系，于是學(xué)者通過(guò)容差關(guān)系[9]、限制容差關(guān)系[10]、相似關(guān)系[11]等非等價(jià)的二元關(guān)系拓寬了屬性約簡(jiǎn)的研究范圍。目前，文獻(xiàn)[12]根據(jù)條件（決策）屬性在論域中所決定的關(guān)系，給出了一般關(guān)系并在該關(guān)系下討論了屬性約簡(jiǎn)。文獻(xiàn)[13]將正域約簡(jiǎn)推廣至一般關(guān)系決策系統(tǒng)，并給出了嚴(yán)格證明。文獻(xiàn)[14]在決策表中提出了不可區(qū)分關(guān)系及區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)，同時(shí)，在信息表中給出了關(guān)于區(qū)分和不可區(qū)分的4個(gè)關(guān)系，并研究了4個(gè)關(guān)系的相關(guān)性質(zhì)。文獻(xiàn)[15]針對(duì)不完備信息系統(tǒng)給出了不可區(qū)分關(guān)系，但未提出約簡(jiǎn)的概念。文獻(xiàn)[16]在信息表中運(yùn)用啟發(fā)式約簡(jiǎn)算法得到了區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)。文獻(xiàn)[17]在決策表中進(jìn)一步研究了不可區(qū)分關(guān)系和區(qū)分關(guān)系兩者的約簡(jiǎn)，給出了相應(yīng)的辨識(shí)矩陣，并得到了相應(yīng)的約簡(jiǎn)算法。許多學(xué)者采用啟發(fā)式算法，因?yàn)閱l(fā)式約簡(jiǎn)算法能得到約簡(jiǎn)，但并不能得到所有約簡(jiǎn);而關(guān)于辨識(shí)矩陣[18-19]得到約簡(jiǎn)的方法雖然需要嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，且計(jì)算復(fù)雜度較高，但能得到全部約簡(jiǎn)。因此，本文使用基于辨識(shí)矩陣的約簡(jiǎn)方法，即通過(guò)構(gòu)建辨識(shí)矩陣將辨識(shí)函數(shù)從合取范式轉(zhuǎn)化為析取范式，從而得到全部約簡(jiǎn)。

最初不可區(qū)分關(guān)系和區(qū)分關(guān)系兩者的屬性約簡(jiǎn)研究是在等價(jià)關(guān)系的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的。

基于決策約簡(jiǎn)，本文提出了相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)（EQuivalence INDiscernibility relation reduction based on absolute reduction， EQIND）算法和相對(duì)區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)（EQuivalence DIScernibility relation reduction based absolute reduction， EQDIS）算法。

因?yàn)楹芏囝?lèi)型決策表的數(shù)據(jù)不完備，還有數(shù)值型數(shù)據(jù)、混合型數(shù)據(jù)等問(wèn)題，通常不能誘導(dǎo)出等價(jià)關(guān)系。因此需要考慮一般關(guān)系上的不可區(qū)分關(guān)系和區(qū)分關(guān)系。本文在文獻(xiàn)[14]概念的基礎(chǔ)上，提出了一般關(guān)系決策系統(tǒng)的相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系及相對(duì)區(qū)分關(guān)系。

將等價(jià)關(guān)系上的4個(gè)概念推廣到一般關(guān)系，同時(shí)在關(guān)系決策系統(tǒng)中，提出了相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系約簡(jiǎn)（BInary INDiscernibility Relation Reduction， BIIND）。利用關(guān)系的補(bǔ)關(guān)系作為關(guān)系的概念及相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系約簡(jiǎn)所對(duì)應(yīng)的辨識(shí)矩陣，提出了相對(duì)區(qū)分關(guān)系約簡(jiǎn)（BInary DIScernibility Relation Reduction， BIDIS）。此外，作為本文提出的約簡(jiǎn)算法的應(yīng)用，給出了不完備決策表中相對(duì)不可區(qū)分及區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)。

算法適用于一致決策表，也適用于不一致決策表。若假設(shè)在步驟3中，絕對(duì)約簡(jiǎn)集中存在{a1，a3，d}，{a1，a3，a4}，刪除syggg00后得{a1，a3}，{a1，a3，a4}，因?yàn)閍1∧a3∧a4a1∧a3，所以在析取范式中刪除合取式{a1，a3，a4}。即在絕對(duì)約簡(jiǎn)集中刪除{a1，a3，a4}后得相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系的所有約簡(jiǎn)。

3 決策表中的相對(duì)區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)

在決策表中，現(xiàn)討論對(duì)象之間另一種重要的關(guān)系。相對(duì)不可區(qū)分的補(bǔ)關(guān)系就是相對(duì)區(qū)分關(guān)系，因而通過(guò)考慮關(guān)系的補(bǔ)關(guān)系的概念，提出本章的約簡(jiǎn)相對(duì)應(yīng)的辨識(shí)矩陣。

決策表（U，C∪D）中相對(duì)區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)就是考慮把補(bǔ)關(guān)系作為新關(guān)系的相對(duì)不可區(qū)分約簡(jiǎn)，即決策表（U，C′∪D′）中相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)，其中，當(dāng)a′∈C′，條件屬性a′在U上的等價(jià)關(guān)系為Ra′，它與Ra互補(bǔ)。當(dāng)d′∈D′，決策屬性d′在U上的等價(jià)關(guān)系為Rd′，它與Rd互補(bǔ)。

設(shè)（U，C∪D）是決策表，為得到相對(duì)區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)，現(xiàn)定義辨識(shí)矩陣為M"nn=（m"ij）n×n，其中：m"ij是矩陣的元素;n是論域中對(duì)象數(shù)。

4 關(guān)系決策系統(tǒng)中相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)

在信息系統(tǒng)中，當(dāng)將二元關(guān)系推廣為一般關(guān)系時(shí)，本章提出了4種關(guān)于關(guān)系的概念。同時(shí)，在關(guān)系決策系統(tǒng)中，給出了相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系的定義及其約簡(jiǎn)，并證明了其對(duì)應(yīng)的辨識(shí)矩陣。

定義6 設(shè)（U，C）是關(guān)系系統(tǒng)，屬性集C由U上的關(guān)系RC構(gòu)成，對(duì)于任意（x， y）∈U×U，現(xiàn)定義如下4種關(guān)系：

1）若有RC={（x， y）∈U×Ua∈C，（x， y）∈Ra}，稱(chēng)RC是由C確定的不可區(qū)分關(guān)系。

2）若有WRC={（x， y）∈U×Ua∈C，（x， y）∈Ra}，稱(chēng)WRC是由C確定的弱不可區(qū)分關(guān)系。

3）若有R′C={（x， y）∈U×Ua∈C，（x， y）Ra}，稱(chēng)R′C是由C確定的區(qū)分關(guān)系。

4）若有WR′C={（x， y）∈U×Ua∈C，（x， y）Ra}，稱(chēng)WR′C是由C確定的弱區(qū)分關(guān)系。

定義7 設(shè)（U，C∪D）為關(guān)系決策系統(tǒng)，條件屬性集C和決策屬性集D決定U上一般關(guān)系RC，RD，（x， y）∈U×U，RC∩RD={（x， y）a∈C，（x， y）∈Ra∧（x， y）∈RD}，稱(chēng)RC∩RD是由條件屬性集C確定的相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系。

由定義6知，當(dāng)存在a∈C時(shí)，關(guān)系Ra決定的相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系為：

定義8 設(shè)（U，C∪D）為關(guān)系決策系統(tǒng)，當(dāng)BC時(shí)，若B滿(mǎn)足下列兩條件，稱(chēng)B是C相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)：

推論4 設(shè)（U，C∪D）為關(guān)系決策系統(tǒng)，BC，B是C相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系約簡(jiǎn)的充要條件是：B是C中滿(mǎn)足條件gij∩B≠的最小子集。

算法3 BIIND。

輸入 關(guān)系決策系統(tǒng)（U，C∪D）。

輸出 相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系的全部約簡(jiǎn)。

步驟1 對(duì)于任意對(duì)象，根據(jù)條件屬性集、決策屬性集，構(gòu)建辨識(shí)矩陣Gnn=（gij）n×n;

步驟2 構(gòu)造辨識(shí)函數(shù)f=∏（∑gij≠gij），并把辨識(shí)函數(shù)f從合取范式轉(zhuǎn)化為析取范式的形式;

步驟3 通過(guò)析取范式∑li=1（∏ Bi）得到B1，B2，…，Bl，算法結(jié)束。

1）根據(jù)算法3，構(gòu)建6×6的辨識(shí)矩陣：

本章提所涉的關(guān)系是對(duì)文獻(xiàn)[14，17]中的進(jìn)一步研究，文獻(xiàn)[17]中約簡(jiǎn)基于的二元關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，而本章中的相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系不需要滿(mǎn)足自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性中任何性質(zhì)。例如，當(dāng)（x，x）∈IndC（D）時(shí)，推廣后，（x，x）∈RC∩RD或（x，x）RC∩RD。文獻(xiàn)[17]中的約簡(jiǎn)算法僅能處理決策表中誘導(dǎo)出的等價(jià)關(guān)系，無(wú)法處理決策表中誘導(dǎo)出的對(duì)稱(chēng)關(guān)系、容差關(guān)系等二元關(guān)系。而算法3能夠處理決策表誘導(dǎo)出的上述所有二元關(guān)系，因此，基于等價(jià)關(guān)系的相對(duì)不可區(qū)分關(guān)系約簡(jiǎn)是本章的特例。

5 關(guān)系決策系統(tǒng)中相對(duì)區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)

在一般關(guān)系上，本章提出了相對(duì)區(qū)分關(guān)系的定義。為得到其約簡(jiǎn)，證明了相應(yīng)的辨識(shí)矩陣。

定義11 設(shè)（U，C∪D）為關(guān)系決策系統(tǒng)，當(dāng)BC時(shí)，若B滿(mǎn)足下列兩條件，稱(chēng)B是C相對(duì)區(qū)分關(guān)系的約簡(jiǎn)：

1）根據(jù)算法4，構(gòu)建6×6的辨識(shí)矩陣：

對(duì)于不可區(qū)分關(guān)系和區(qū)分關(guān)系，則僅需證兩者約簡(jiǎn)中相應(yīng)的任意一個(gè)辨識(shí)矩陣，同時(shí)引入補(bǔ)關(guān)系的概念，得另一約簡(jiǎn)相應(yīng)的辨識(shí)矩陣。本章中定義的相對(duì)區(qū)分關(guān)系是對(duì)概念的進(jìn)一步推廣。同時(shí)，相較于文獻(xiàn)[17]算法僅能處理等價(jià)類(lèi)，本章所提出的算法可以處理包括等價(jià)關(guān)系在內(nèi)的二元關(guān)系。例如，在不完備決策表（見(jiàn)表2）中通常不能誘導(dǎo)出等價(jià)關(guān)系，因而文獻(xiàn)[17]算法不適用，通過(guò)使用本文所提的算法3、算法4可以解決該問(wèn)題。

6 實(shí)例分析

從UCI數(shù)據(jù)集中選取了3個(gè)數(shù)據(jù)集（Zoo、Hepatitis和Statlog（Heart））（見(jiàn)表3）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證本文算法的有效性和可行性。程序運(yùn)行環(huán)境：Intel Core i5-2440 CPU 3.10GHz，Windows10 64位，算法為Python代碼實(shí)現(xiàn)。

因Hepatitis數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)存在缺失現(xiàn)象，因而通常不能誘導(dǎo)出等價(jià)關(guān)系。算法1、算法2是基于等價(jià)關(guān)系對(duì)決策表進(jìn)行得約簡(jiǎn)，因而該表不適用。而對(duì)于算法3、算法4，已將等價(jià)關(guān)系推廣至一般關(guān)系（即不需要滿(mǎn)足自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性的任意性質(zhì)），因此可對(duì)數(shù)據(jù)集中所給出的決策表進(jìn)行相對(duì)不可區(qū)分約簡(jiǎn)和相對(duì)可區(qū)分約簡(jiǎn)。

約簡(jiǎn)結(jié)果如表4所示，從中可看出，算法1和算法3在完備數(shù)據(jù)集（Zoo、Statlog（Heart））上約簡(jiǎn)結(jié)果相同，算法2和算法4在完備數(shù)據(jù)集上約簡(jiǎn)結(jié)果相同。屬性個(gè)數(shù)為約簡(jiǎn)結(jié)果的基，約簡(jiǎn)集個(gè)數(shù)是在相同的基下約簡(jiǎn)個(gè)數(shù)。例如，在Zoo數(shù)據(jù)集上，運(yùn)用算法2得到375個(gè)約簡(jiǎn)結(jié)果，其中：當(dāng)約簡(jiǎn)的基為2時(shí)有6個(gè)約簡(jiǎn);當(dāng)約簡(jiǎn)的基為3時(shí)有369個(gè)約簡(jiǎn)。

數(shù)據(jù)集算法屬性個(gè)數(shù)約簡(jiǎn)集個(gè)數(shù)約簡(jiǎn)舉從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出：在決策表中，二元關(guān)系是等價(jià)關(guān)系時(shí)，本文所提出的算法1和算法2是可行的。在關(guān)系決策系統(tǒng)中，即二元關(guān)系是一般關(guān)系時(shí)，本文所提出的算法3和算法4是可行的。綜上所述，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出4個(gè)算法的可行性。

7 結(jié)語(yǔ)

本文在關(guān)系系統(tǒng)上，首先提出了弱不可區(qū)分關(guān)系、不可區(qū)分關(guān)系、弱區(qū)分關(guān)系及區(qū)分關(guān)系等4個(gè)概念。其次，在關(guān)系決策系統(tǒng)中，提出了相對(duì)不可區(qū)分一般關(guān)系、相對(duì)區(qū)分一般關(guān)系兩者的概念，及兩者約簡(jiǎn)的定義，并證明了約簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)的辨識(shí)矩陣。最后，通過(guò)舉例說(shuō)明本文所提出的約簡(jiǎn)是對(duì)文獻(xiàn)[14，17]所給出的約簡(jiǎn)的推廣。

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