彭磊 楊秀云 張?jiān)ｏw 李光耀

摘 要：非剛性點(diǎn)集配準(zhǔn)算法中，能否找到正確的對應(yīng)關(guān)系對配準(zhǔn)結(jié)果起著至關(guān)重要的作用，而通常兩個(gè)點(diǎn)集中的對應(yīng)點(diǎn)除了距離比較接近之外還具有相似的鄰域結(jié)構(gòu)，因此提出基于全局與局部相似性測度的非剛性點(diǎn)集配準(zhǔn)算法。首先，使用一致性點(diǎn)漂移（CPD）算法作為配準(zhǔn)框架，采用高斯混合模型對點(diǎn)集進(jìn)行建模。然后，對全局局部混合距離進(jìn)行改進(jìn)，形成全局與局部相似性測度準(zhǔn)則。最后，采用期望最大化（EM）算法迭代地求解對應(yīng)關(guān)系和變換公式：在迭代初期局部相似性所占比重較大，從而能夠盡快地找到正確的對應(yīng)關(guān)系;隨著迭代的進(jìn)展全局相似性比重逐漸增大，從而確保得到較小的配準(zhǔn)誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與薄板樣條魯棒點(diǎn)匹配（TPS-RPM）算法、高斯混合模型點(diǎn)集配準(zhǔn)（GMMREG）算法、基于L2E估計(jì)的魯棒點(diǎn)匹配算法（RPM-L2E）、基于全局局部混合距離與薄板樣條的點(diǎn)集配準(zhǔn)算法（GLMDTPS）和CPD算法相比，所提算法的均方根誤差（RMSE）分別下降了39.93%、42.45%、32.51%、22.36%和11.76%，說明該算法具有較好的配準(zhǔn)效果。

關(guān)鍵詞：點(diǎn)集配準(zhǔn);圖像配準(zhǔn);非剛性配準(zhǔn);高斯混合模型;相似性測度

中圖分類號：TP391.41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： In the non-rigid point set registration algorithm， whether the correct correspondence can be found plays an important role. Generally the corresponding points in two point sets have similar neighborhood structures besides the close distance. Therefore， a non-rigid point set registration algorithm based on global and local similarity measurement was proposed. Firstly， the Coherent Point Drift （CPD） algorithm was used as the registration framework， and the Gaussian mixture model was used to model the point sets.Secondly， the global and local mixture distancewas improved to form the global and local similarity measurement criterion.Finally， the correspondence and the transformation formulawere solved by the Expectation Maximization （EM） algorithm. In the initial stage of the iteration， the proportion of local similarity was larger so that the correct correspondence was able to be found rapidly; with the progress of the iteration， the proportion of global similarity was increased to ensure the smaller registration error. Experimental? results show that compared with the Thin Plate Spline Robust Point Matching （TPS-RPM） algorithm，the Gaussian Mixture Models point set REGistration （GMMREG） algorithm，the Robust Point Matching algorithm based on L2E estimation （RPM-L2E）， the Global and Local Mixture Distance and Thin Plate Spline based point set registration algorithm （GLMDTPS） and the CPD algorithm， the proposed algorithm has the Root Mean Squared Error （RMSE） decreased by 39.93%， 42.45%， 32.51%， 22.36% and 11.76% respectively， indicating the proposed algorithm has better registration performance.Key words：? point set registration; image registration; non-rigid registration; Gaussian mixture model; similarity measurement

0 引言

點(diǎn)集配準(zhǔn)是一個(gè)基礎(chǔ)而關(guān)鍵的問題，廣泛應(yīng)用在計(jì)算機(jī)視覺[1]、醫(yī)學(xué)圖像分析[2-4]、遙感圖像處理[5]和模式識別[6]等領(lǐng)域。其目標(biāo)是尋找兩組給定點(diǎn)集之間的對應(yīng)關(guān)系，通過空間變換將一個(gè)點(diǎn)集對齊到另一個(gè)點(diǎn)集。根據(jù)變換方式的不同可分為剛性配準(zhǔn)和非剛性配準(zhǔn)。剛性點(diǎn)集配準(zhǔn)的變換方式包括放縮、平移、旋轉(zhuǎn)，僅涉及少量的參數(shù)。非剛性點(diǎn)集配準(zhǔn)的變換方式往往是未知的、復(fù)雜的、難以建模的，通常包含較多的變換參數(shù)。

迭代最近點(diǎn)算法[7]是著名的點(diǎn)集配準(zhǔn)方法之一，主要用于自由曲線和曲面的配準(zhǔn)，它假設(shè)兩個(gè)點(diǎn)集間距離最近的點(diǎn)為對應(yīng)點(diǎn)，通過迭代地最小化均方距離來達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的收斂。Chui等[8]提出了一個(gè)非剛性點(diǎn)匹配的通用框架，使用薄板樣條作為空間變換模型，并通過軟分配和確定性退火技術(shù)聯(lián)合求解優(yōu)化問題。一致性點(diǎn)漂移（Coherent Point Drift， CPD）算法[9]將配準(zhǔn)兩個(gè)點(diǎn)集考慮為概率密度估計(jì)問題，使用運(yùn)動一致性理論進(jìn)行約束，通過迭代方法將高斯混合模型（Gaussian Mixture Model， GMM）[9-10]的質(zhì)心擬合到數(shù)據(jù)點(diǎn)。Jian等[11]使用兩個(gè)GMM來表示點(diǎn)集，并通過兩個(gè)GMM之間的差異最小化來解決點(diǎn)集配準(zhǔn)問題。文獻(xiàn)[12-13]采用高斯域的方法實(shí)現(xiàn)了異常點(diǎn)移除和點(diǎn)集配準(zhǔn)。這些方法主要使用點(diǎn)之間的全局距離來確定對應(yīng)關(guān)系，基本沒有考慮點(diǎn)的鄰域結(jié)構(gòu)信息。

Belongie等[6]引入了形狀上下文（Shape Context，SC）的概念，用來測量兩個(gè)形狀之間的相似度。Ma等[14-15]首先使用SC描述符建立粗糙的對應(yīng)關(guān)系，然后用L2E估計(jì)器來估算變換。Yang等[16]采用魯棒的全局和局部混合距離（Global and Local Mixture Distance，GLMD）測度準(zhǔn)則進(jìn)行非剛性點(diǎn)集配準(zhǔn)。雖然這些算法使用點(diǎn)集的結(jié)構(gòu)信息作為相似性測量，但是它們在查找對應(yīng)關(guān)系和估計(jì)變換模型時(shí)是分別處理的。

為了充分利用點(diǎn)之間的距離和點(diǎn)的鄰域結(jié)構(gòu)信息，快速找到正確的對應(yīng)關(guān)系，本文以CPD算法[9]為框架，采用GMM表示點(diǎn)集，對GLMD[16]進(jìn)行改進(jìn)，并融入到GMM中，形成了全局與局部相似性測度準(zhǔn)則。GMM的高斯分量反映了全局相似性測度準(zhǔn)則，而每個(gè)高斯分量使用不同的比例系數(shù)，則反映了點(diǎn)的局部相似性測度準(zhǔn)則。通過權(quán)重系數(shù)調(diào)節(jié)二者的比重。采用期望最大化（Expectation Maximization， EM）算法迭代地求解對應(yīng)關(guān)系和變換公式。在迭代初期，局部相似性所占比重較大，從而盡快找到正確的對應(yīng)關(guān)系;迭代過程中逐漸提高全局相似性比重，最終得到更小的配準(zhǔn)誤差。該算法在保證快速找到點(diǎn)的正確對應(yīng)關(guān)系的同時(shí)，能夠得到較好的配準(zhǔn)效果。

1 一致性點(diǎn)漂移算法

設(shè)D維（通常D=2或3）空間的兩個(gè)點(diǎn)集X和Y，浮動點(diǎn)集為X={xm|m=1，2，…，M}，參考點(diǎn)集為Y={yn|n=1，2，…，N}。非剛性點(diǎn)集配準(zhǔn)算法的目標(biāo)是根據(jù)相似性測度準(zhǔn)則找到X和Y之間點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，并估算一個(gè)非剛性變換公式T，使X通過變換后對齊到Y(jié)。

CPD算法將兩個(gè)點(diǎn)集的配準(zhǔn)看成是概率密度估計(jì)問題。使用GMM對問題進(jìn)行建模[9]，把X中的點(diǎn)看成GMM的質(zhì)心，Y中的點(diǎn)看成是由GMM產(chǎn)生的數(shù)據(jù)點(diǎn)。方法的核心是保持點(diǎn)集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，迫使GMM的質(zhì)心作為一個(gè)整體一致地向參考點(diǎn)集移動。在優(yōu)化過程中，浮動點(diǎn)集通過變換T與參考點(diǎn)集逐漸對齊，并可以根據(jù)后驗(yàn)概率獲得點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系。GMM的概率密度函數(shù)為：

式（1）中的均勻分布p（yn|M+1）=1/N，用來處理點(diǎn)集中存在的噪聲和異常點(diǎn)，所占比重為ω（0≤ω≤1）。其他所有高斯組成部分所占比重為1-ω，其中每個(gè)高斯分量使用相同的比例系數(shù)ηmn=1/M。

為了使變換比較平滑，采用Tikhonov正則化框架[9]。定義再生核希爾伯特空間的正則項(xiàng)λφ（T）/2，其中φ（T）為一個(gè)平滑函數(shù)，λ為正則項(xiàng)的權(quán)重系數(shù)。使用θ表示參數(shù)集合，通過極大似然估計(jì)來求得參數(shù)。將負(fù)對數(shù)似然函數(shù)作為CPD算法的能量函數(shù)，如式（3）所示：

2 全局和局部混合距離

2.1 全局距離

浮動點(diǎn)集上一點(diǎn)xm與參考點(diǎn)集上一點(diǎn)yn之間的全局距離[16]定義為其歐氏距離的平方，如式（4）所示：

Gmn可以描述兩個(gè)點(diǎn)集之間的全局性結(jié)構(gòu)差異。通常兩個(gè)點(diǎn)集基本對齊后，距離較近的點(diǎn)很可能就是對應(yīng)點(diǎn)。

2.2 局部距離

某個(gè)點(diǎn)q的鄰域定義為其所在點(diǎn)集中距離q最近的K個(gè)點(diǎn)。用φ（q）k來表示第k個(gè)最近點(diǎn)。局部距離[16]用于度量兩個(gè)點(diǎn)xm與yn的鄰域結(jié)構(gòu)相似性，定義為：

其中ψ是位移函數(shù)，表示點(diǎn)xm及其鄰域點(diǎn)整體向點(diǎn)yn移動直至xm與yn點(diǎn)重合，其定義為：

3 本文算法

3.1 局部相似性的改進(jìn)

GLMD算法中局部距離是通過計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)的鄰域中具有相同編號k的點(diǎn)對之間距離的和得到的。本文將式（5）中φ（yn）的下標(biāo)由k改為f（k），即尋找兩個(gè)鄰域中兩兩點(diǎn)對之間距離之和最小的值作為局部相似性。式（5）改寫為：

f為兩個(gè)鄰域中點(diǎn)的某種一一映射關(guān)系，使得兩個(gè)鄰域（分別包含K個(gè)點(diǎn)）之間K個(gè)點(diǎn)對的距離之和達(dá)到最小，即能夠使Lmn得到最小值。相當(dāng)于二分圖的最大匹配問題，可以通過匈牙利算法來求解f。

如圖1所示，兩個(gè)點(diǎn)p和q，各自的鄰域內(nèi)分別有編號為1、2、3、4的點(diǎn)，虛線表示兩個(gè)鄰域之間點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系。通過計(jì)算對應(yīng)點(diǎn)間距離之和得到局部距離。GLMD按照編號確定對應(yīng)點(diǎn)，有可能產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果，從而得到錯(cuò)誤的局部距離，如圖1（a）所示。本文算法能夠找到一個(gè)最佳匹配來確定對應(yīng)點(diǎn)，因此能夠求得正確的局部距離，同時(shí)所求局部距離也是最小的，如圖1（b）所示。

3.2 全局局部相似性測度

CPD算法利用了點(diǎn)之間的全局距離，即認(rèn)為全局距離較近的點(diǎn)很可能為對應(yīng)點(diǎn)。因此，式（2）可以寫為：

CPD算法中每個(gè)高斯分量使用相同的比例系數(shù)ηmn=1/M，沒有考慮點(diǎn)的鄰域結(jié)構(gòu)。然而兩個(gè)點(diǎn)的鄰域結(jié)構(gòu)越相似，即局部相似性越高，它們成為對應(yīng)點(diǎn)的可能性也越大。為了充分利用點(diǎn)的局部相似性，對GMM中的每個(gè)高斯分量使用不同的比例系數(shù)：

其中：S=∑Mi=1 exp（-βLin）， β為權(quán)重系數(shù)。兩個(gè)點(diǎn)的局部相似性越大時(shí)，對應(yīng)的ηmn越大，即該高斯分量在GMM中所占的比重越大，其成為對應(yīng)點(diǎn)的概率就越大。

式（8）和（9）共同體現(xiàn)了全局與局部相似性結(jié)合的測度準(zhǔn)則。權(quán)重系數(shù)β控制全局相似性和局部相似性之間的比例關(guān)系。當(dāng)β非常大時(shí)，相當(dāng)于最小化局部相似性Lmn;當(dāng)β很小時(shí)，趨向于最小化全局相似性Gmn。全局與局部相似性測度提供了一種靈活的方式，通過最小化兩個(gè)點(diǎn)集之間的全局相似性和局部相似性上的差異來估算對應(yīng)關(guān)系。

3.3 全局與局部測度引導(dǎo)的配準(zhǔn)過程

在非剛性點(diǎn)集配準(zhǔn)中，能否找到正確的對應(yīng)關(guān)系對配準(zhǔn)效果有很大的影響。當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)集形態(tài)近似時(shí)，距離較近的點(diǎn)，往往是對應(yīng)點(diǎn);而當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)集形態(tài)差別較大時(shí)，具有相似鄰域結(jié)構(gòu)的點(diǎn)，很有可能是對應(yīng)點(diǎn)。因此采用全局與局部相似性結(jié)合的測度準(zhǔn)則引導(dǎo)配準(zhǔn)過程。在優(yōu)化算法迭代的初期局部相似性起較大的作用，從而盡快找到正確的對應(yīng)關(guān)系;在迭代后期，兩個(gè)點(diǎn)集基本對齊，此時(shí)全局相似性測度起的作用變大，從而確保算法收斂到較小的配準(zhǔn)誤差。

配準(zhǔn)過程首先以浮動點(diǎn)集X和參考點(diǎn)集Y為輸入;其次使用GMM進(jìn)行建模，把X看成GMM的質(zhì)心，Y看成由GMM產(chǎn)生的數(shù)據(jù)點(diǎn);再次構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)并進(jìn)行參數(shù)設(shè)置;然后使用EM優(yōu)化策略對目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，交替地執(zhí)行期望步（Expectation step，E-step）和最大化步（Maximization step， M-step）兩步，直至算法收斂;最后輸出浮動點(diǎn)集的變換公式和兩個(gè)點(diǎn)集之間的對應(yīng)關(guān)系。本文算法流程如圖2所示。

3.3.2 參數(shù)設(shè)置

優(yōu)化算法最大迭代次數(shù)設(shè)為100。鄰域中點(diǎn)的個(gè)數(shù)設(shè)為K=4。初始時(shí)權(quán)重系數(shù)β取一個(gè)較大的值，一般設(shè)β=K2，每一次迭代均乘以一個(gè)系數(shù)r=0.95，類似于退火率，即β←rβ。這樣能夠保證優(yōu)化迭代的前期局部相似性起主導(dǎo)作用，后期全局相似性起主導(dǎo)作用，從而在盡快找到正確對應(yīng)關(guān)系的同時(shí)得到較小的配準(zhǔn)誤差。

3.3.3 E-step階段

在E-step階段，首先計(jì)算Y與T（X）之間的局部相似性，更新每個(gè)高斯分量的比例系數(shù)ηmn;然后根據(jù)貝葉斯定理，使用當(dāng)前參數(shù)計(jì)算后驗(yàn)概率分布Pmn。

3.3.4 M-step階段

在M-step階段，計(jì)算并更新參數(shù)。對式（10）求導(dǎo)，并使其等于0，可以求得相應(yīng)參數(shù)。

非剛性變換公式T定義為點(diǎn)的初始位置加上一個(gè)位移函數(shù)v，即T（X）=X+v（X）[9]。使用高斯矩陣核定義再生核希爾伯特空間，可以得到v的函數(shù)形式：

其中：wm是系數(shù)矩陣W=[w1 w2 … wM]T中的元素;Γ（x，xm）是核矩陣。正則項(xiàng)φ（T）在這里的具體形式為WΓWT[14]。則變換公式可表示為T=X+ΓW。同時(shí)求得參數(shù)ω和σ2的值。

3.3.5 算法輸出

EM算法交替地執(zhí)行E-step和M-step，直至最大迭代次數(shù)或配準(zhǔn)誤差小于給定閾值。最終浮動點(diǎn)集的變換公式由T給出，點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系由后驗(yàn)概率矩陣P給出。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

為了評估算法的性能，設(shè)計(jì)了二維與三維合成點(diǎn)集配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)和真實(shí)醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)，并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較和定量分析。所有實(shí)驗(yàn)的軟件環(huán)境為Matlab R2013a，硬件環(huán)境為16GB內(nèi)存、i7-4770K Inter處理器的PC。

4.1 合成點(diǎn)集配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)

采用二維的Chui-Rangarajan合成數(shù)據(jù)[8]和三維的人臉點(diǎn)集[9]數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。且實(shí)驗(yàn)結(jié)果與薄板樣條魯棒點(diǎn)匹配（Thin Plate Spline Robust Point Matching， TPS-RPM）算法[8]、高斯混合模型點(diǎn)集配準(zhǔn)（Gaussian Mixture Models point set REGistration， GMMREG）算法[11]、基于L2E估計(jì)的魯棒點(diǎn)匹配算法（Robust Point Matching algorithm based on L2E estimation， RPM-L2E）[14-15]、基于全局局部混合距離與薄板樣條的點(diǎn)集配準(zhǔn)算法（Global and Local Mixture Distance and Thin Plate Spline based point set registration algorithm， GLMDTPS）[16]和CPD算法[9]進(jìn)行比較。性能評價(jià)采用與文獻(xiàn)[8，10，12-15]相同的方法。由于合成數(shù)據(jù)中每組測試樣例的真正對應(yīng)點(diǎn)已經(jīng)預(yù)先標(biāo)識出，即真正的對應(yīng)關(guān)系是已知的，因此使用配準(zhǔn)后兩個(gè)點(diǎn)集的真正對應(yīng)點(diǎn)之間的平均歐氏距離，即均方根誤差（Root Mean Squared Error， RMSE）進(jìn)行定量分析。誤差計(jì)算公式為：

4.1.1 二維點(diǎn)集配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)

選取Chui-Rangarajan合成數(shù)據(jù)小魚形狀的變形、遮擋、異常點(diǎn)3組數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。每組包括由低到高5種不同的退化等級，每一等級包含100個(gè)測試樣例。圖3為6種算法的配準(zhǔn)結(jié)果展示。

圖4是配準(zhǔn)性能的定量分析與比較，用誤差棒表示每種退化等級樣例的平均誤差和標(biāo)準(zhǔn)差。

圖4中橫坐標(biāo)表示5種不同的退化等級。

每種算法所對應(yīng)的誤差棒的中心表示平均誤差，誤差棒的長度表示標(biāo)準(zhǔn)差。從圖4可以看出，當(dāng)變形、遮擋、異常點(diǎn)等退化程度較小時(shí)，各種算法均有不錯(cuò)的性能，但隨著退化程度的增大，本文算法的優(yōu)勢越來越明顯。表1為6種算法3組實(shí)驗(yàn)的平均誤差統(tǒng)計(jì)，可看出本文算法在各種情況下都有一定的優(yōu)勢。

4.1.2 三維點(diǎn)集配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)

三維點(diǎn)集配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)選取文獻(xiàn)[9]中的人臉點(diǎn)集。變形、遮擋和異常點(diǎn)3組數(shù)據(jù)，每組選取50個(gè)測試樣例。本文算法的配準(zhǔn)效果如圖5所示。

在二維和三維點(diǎn)集上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法與TPS-RPM、GMMREG、RPM-L2E、GLMDTPS和CPD算法相比，平均RMSE分別下降了39.93%、42.45%、32.51%、22.36%和11.76%。

4.2 真實(shí)圖像配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)

為了比較在CPD配準(zhǔn)框架中引入全局與局部相似性測度前、后的配準(zhǔn)效果，選用20組醫(yī)學(xué)MRI圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。首先提取圖像的輪廓，生成點(diǎn)集，對點(diǎn)集進(jìn)行配準(zhǔn);然后根據(jù)變換公式生成配準(zhǔn)后的圖像。圖6為一組人腦MRI圖像的測試樣例，展示了CPD算法與本文算法的配準(zhǔn)結(jié)果。圖6第一行為初始的浮動圖像與參考圖像，以及兩種算法配準(zhǔn)后浮動圖像與參考圖像的灰度差圖像;第二行為對應(yīng)的點(diǎn)集。

配準(zhǔn)效果的定量分析采用輪廓點(diǎn)集配準(zhǔn)誤差和圖像灰度誤差兩種方法。

首先采用類似文獻(xiàn)[17]人工標(biāo)注點(diǎn)的方法，在兩個(gè)輪廓點(diǎn)集上查找具有明顯特征的點(diǎn)對，人工標(biāo)注50個(gè)標(biāo)準(zhǔn)對應(yīng)點(diǎn)。計(jì)算兩個(gè)輪廓對應(yīng)標(biāo)注點(diǎn)之間的RMSE。兩種算法的平均誤差如表3中人工標(biāo)注點(diǎn)的平均誤差所示。召回率定義為配準(zhǔn)后誤差小于給定閾值的對應(yīng)點(diǎn)與全部標(biāo)注的對應(yīng)點(diǎn)在數(shù)量上的比值。圖7展示了20組測試樣例在各種閾值下CPD與本文算法召回率的變化曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法優(yōu)于CPD算法。

其中：Y（u，v）與X（u，v）是兩個(gè)圖像在坐標(biāo)點(diǎn)（u，v）上的灰度值;U×V是圖像的分辨率。表3中像素灰度的均方根誤差展示了20組測試樣例使用兩種算法配準(zhǔn)后的圖像灰度誤差，同樣可以看出本文算法優(yōu)于CPD算法。

5 結(jié)語

在非剛性點(diǎn)集配準(zhǔn)算法中，為了充分利用點(diǎn)的鄰域結(jié)構(gòu)信息來查找對應(yīng)關(guān)系，將改進(jìn)的全局和局部混合距離融入到CPD算法的高斯混合模型配準(zhǔn)框架中，提出了基于全局與局部相似性的測度準(zhǔn)則。使用權(quán)重系數(shù)調(diào)節(jié)全局相似性測度和局部相似性測度二者的比例。采用EM算法迭代地求解對應(yīng)關(guān)系和變換公式，迭代過程中局部相似性所占比重由大變小，全局距離所占比重由小變大，從而在保證快速找到正確對應(yīng)關(guān)系的前提下，提高配準(zhǔn)的精確度。通過合成數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比對和分析，可以看出本文算法具有較好的配準(zhǔn)性能。然而將點(diǎn)集鄰域結(jié)構(gòu)的計(jì)算引入到相似性測度中，加大了算法的計(jì)算量、增加了算法的運(yùn)行時(shí)間，可能無法滿足實(shí)時(shí)性要求較高的應(yīng)用場合。因此未來的工作在進(jìn)一步研究如何更好地利用點(diǎn)集結(jié)構(gòu)信息的同時(shí)，還需要考慮如何提高算法的執(zhí)行速度。

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