李洋

一、教學(xué)內(nèi)容分析

方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界等量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，方程概念的本質(zhì)是溝通已知量和未知量之間的關(guān)系，借助已知量，求出未知量。二元一次方程是屬于方程的一個(gè)類型，因此獲得其概念本質(zhì)的過程要經(jīng)歷一個(gè)從特殊到一般的抽象概括的過程，從而建立二元一次方程（組）的模型。北師大版教材中把《認(rèn)識(shí)二元一次方程（組）》安排在八年級(jí)上的第一節(jié)。由于是起始課，所以要讓學(xué)生明白為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)新的方程模型，在概念引入的時(shí)候可以采用實(shí)例引入和對(duì)比教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)方法，有利于讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性。

每一個(gè)科學(xué)概念都有其確定的內(nèi)涵，概念的內(nèi)涵就是指反映在概念中的對(duì)象的本質(zhì)屬性。教材中通過豐富情景，讓學(xué)生不斷地建立二元一次方程和二元一次方程組，學(xué)生類比一元一次方程定義，逐步抽象出二元一次方程的概念。學(xué)生在抽象出這個(gè)概念的過程中，不僅有利于發(fā)展學(xué)生的抽象思維和推理意識(shí)，還建立了具有二元一次方程模型的意識(shí)。教學(xué)中除了要引導(dǎo)學(xué)生得出形式化定義，更要關(guān)注學(xué)生的建模過程。在每個(gè)具體情境中可向?qū)W生提出類似于“題目中的已知量，未知量是什么”“已知量和未知量之間的關(guān)系是什么”“未知量的個(gè)數(shù)有幾個(gè)”等這樣的問題。幫助學(xué)生認(rèn)清楚題目中有兩個(gè)未知量，找到未知量和已知量之間的關(guān)系從而建立新的方程模型，這樣的一個(gè)建模過程既豐富了學(xué)生解決實(shí)際問題的一般性策略，也在不斷的建模和思考中揭示了所學(xué)新的概念的本質(zhì)。

內(nèi)涵和外延是概念的兩個(gè)方面，教學(xué)中不僅要關(guān)注概念的內(nèi)涵還要注重概念的外延，外延是指一個(gè)概念所概括的思維對(duì)象的數(shù)量或范圍。在形式上所有二元一次方程都可化為ax+by=c（a、b≠0）的一般形式與ax+by+c=0（a、b≠0）的標(biāo)準(zhǔn)式，否則不為二元一次方程。我們所學(xué)的幾元幾次方程都是指整式方程，而整式方程都隸屬于有理方程，所以二元一次方程不是分式方程，更不是無理方程。這一點(diǎn)在向?qū)W生講解時(shí)，要適度把握二元一次方程概念外延的明晰，是建立在代數(shù)式的概念不斷完善的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。教學(xué)時(shí)我們可以在九年級(jí)學(xué)完相關(guān)內(nèi)容后，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生再進(jìn)行相應(yīng)的明確，界定外延。

二、教育價(jià)值分析

二元一次方程（組）一直是中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查知識(shí)之一，對(duì)于它的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較、類比等思維能力，教學(xué)中合理設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)將有利于發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)建?！钡暮诵乃仞B(yǎng)，并有利于發(fā)展符號(hào)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。讓學(xué)生經(jīng)歷在不同的情景中，用二元一次方程（組）來刻畫問題的過程，體會(huì)二元一次方程（組）概念的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的推理能力和模型思想。

三、知識(shí)間的聯(lián)系

1.縱向聯(lián)系

小學(xué)階段：已經(jīng)認(rèn)識(shí)了方程的概念，并會(huì)用方程描述簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，會(huì)用等式的基本性質(zhì)解簡(jiǎn)易方程，進(jìn)行求解。

初中階段：繼初步建立方程概念后，又陸續(xù)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程及二元一次方程組、三元一次方程組（選學(xué)）、分式方程、一元二次方程，這些方程的研究方法基本相同，在方程的解法上都采用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

高中階段：繼續(xù)學(xué)習(xí)高次、多元方程的解法，以及研究二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題。

2.橫向聯(lián)系

（1）初中階段與二元一次方程有關(guān)的知識(shí)有：代數(shù)式、一元一次方程、二元一次方程（組）、一次函數(shù)、分式方程、一元二次方程。在學(xué)習(xí)了一元一次方程之后，學(xué)生明晰了“元”和“次”的概念后，又繼而學(xué)習(xí)二元一次方程（組）。

（2）一次函數(shù)與二元一次方程密切相關(guān)，只不過是各自側(cè)重點(diǎn)不同。

“形”的角度：從一次函數(shù)圖象上理解二元一次方程和二元一次方程組的解，一條直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)二元一次方程的解;兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)二元一次方程組的解，因此可以借助做出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象，找到交點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定相應(yīng)的二元一次方程組的解。

“數(shù)”的角度：一次函數(shù)表達(dá)式的確定基于兩個(gè)條件，通過待定系數(shù)法，具體求解時(shí)又要用到二元一次方程組。

（3）在中考命題中，在作為代數(shù)建模能力考查問題時(shí)，通常把二元一次方程組和一元一次不等相聯(lián)系一起考查。解決實(shí)際問題最優(yōu)化時(shí)，二元一次方程又和一元一次不等式有著密切聯(lián)系。

（4）解二元一次方程組的本質(zhì)是“消元”，把“二元”變?yōu)椤耙辉?解分式方程是通過去分母化為一元一次整式方程求解;解一元二次方程的方法是降次，分解成兩個(gè)一元一次方程求解，這幾個(gè)方程在解法上可以類比學(xué)習(xí)，有著內(nèi)在聯(lián)系。

四、課標(biāo)要求解讀

課標(biāo)要求是能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。

其中的核心名詞是“數(shù)量關(guān)系”，行為動(dòng)詞是“列出”。“數(shù)量關(guān)系”也就是等量關(guān)系，可以依據(jù)題意，從事情的變化結(jié)果中找等量關(guān)系，或根據(jù)常用的計(jì)算公式找等量關(guān)系，或根據(jù)“不變量”找等量關(guān)系。“列出”可以分解為“寫出”。在教學(xué)中選擇貼近學(xué)生生活的實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷在具體問題中探索數(shù)量關(guān)系，體會(huì)模型的思想。按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，以及上述教材和學(xué)情的分析，制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）通過實(shí)例讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)二元一次方程的必要性和優(yōu)越性，并能列出二元一次方程及二元一次方程組，并能說出方程組中兩個(gè)未知量所表示的意義相同。

（2）能寫出二元一次方程的解，并知道它的解有無數(shù)個(gè)以及二元一次方程組中每個(gè)方程的公共解才是二元一次方程組的解。

（3）培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)，能從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

教學(xué)重點(diǎn)：（1）能說出二元一次方程（組）的概念，以及二元一次方程的解及二元一次方程組的解的概念。

（2）會(huì)列出二元一次方程解決實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)：（1）能說出二元一次方程的解及二元一次方程組的解的概念，和其相應(yīng)的解的個(gè)數(shù)，表示形式的理解。

（2）會(huì)判斷一組數(shù)值是否為二元一次方程及二元一次方組的解。

五、經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)困難分析

1.經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)

（1）通過七年級(jí)一元一次方程概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以類比一元一次方程的“元”和“次”去發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)二元一次方程的概念。

（2）學(xué)生已經(jīng)具有在實(shí)際情境中尋找等量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，并會(huì)設(shè)一個(gè)未知數(shù)去列方程，初步感受模型思想，積累了用方程解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)。

（3）學(xué)生已經(jīng)會(huì)利用等式基本性質(zhì)求出一元一次方程的解，并知道一元一次方程未知數(shù)的解只有一個(gè)。

（4）學(xué)生之前已學(xué)習(xí)了大量的數(shù)學(xué)概念，對(duì)數(shù)學(xué)概念的建立并不陌生，尤其是在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)，已經(jīng)經(jīng)歷了從具體的情境中抽象出一元一次方程概念的過程，初步具有建模思想。

2.困惑和困難

（1）由于90%以上的學(xué)生在解決應(yīng)用問題時(shí)，已經(jīng)習(xí)慣了設(shè)一個(gè)未知數(shù)去列方程，而這節(jié)課需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，找兩個(gè)等量關(guān)系列方程，這在方程模型認(rèn)知上是一個(gè)沖突，在列方程的方法上需要有一個(gè)過渡。

（2）本節(jié)課所學(xué)習(xí)的二元一次方程的解有無數(shù)個(gè)，學(xué)生對(duì)解的個(gè)數(shù)的理解也要有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)。

（3）二元一次方組的解是同時(shí)滿足兩個(gè)方程的公共解，是一組兩個(gè)未知數(shù)的值，并用聯(lián)立號(hào)連接，這在解的理解、表示形式上對(duì)學(xué)生來說也是一個(gè)新的認(rèn)識(shí)。

（4）學(xué)生對(duì)這種新的方程模型思想方法的理解，要更多地關(guān)注學(xué)生的建模過程，能否順利地找到已知量和未知量之間的關(guān)系，從而列出二元一次方程（組）。

六、設(shè)計(jì)教學(xué)策略

策略1：引入學(xué)習(xí)二元一次方程模型的必要性及優(yōu)越性

具體設(shè)計(jì)：（1）出示雞兔同籠的經(jīng)典問題：“有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？”

學(xué)生分別用假設(shè)法和一元一次方程解答，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上做如下梳理：用方程比算術(shù)更容易表示數(shù)量關(guān)系！

繼續(xù)出示問題：（2）小明買了1kg蘋果和2kg梨，共花了26元;小麗買了2kg蘋果和1kg梨，共花了28元，蘋果和梨的單價(jià)各為多少元？

受第一個(gè)問題解決方法的啟發(fā)，學(xué)生會(huì)設(shè)蘋果單價(jià)為x元，則梨的單價(jià)為元。教師引導(dǎo)這里梨的單價(jià)表示較為復(fù)雜，如果設(shè)蘋果單價(jià)為x元，則梨的單價(jià)為y元。讓學(xué)生進(jìn)一步感受有些情況下只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，表示另一個(gè)未知量時(shí)比較繁瑣，不好表示，學(xué)生得出設(shè)兩個(gè)未知數(shù)更容易表示題目中的數(shù)量關(guān)系，得出二元一次方程模型比一元一次方程模型更優(yōu)越，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性。

策略2：講解二元一次方程和二元一次方程組的概念

具體設(shè)計(jì)：出示四個(gè)問題串：

（1）某班共有55名同學(xué)。

設(shè)該班有男生x人，女生y人，根據(jù)題意，數(shù)量關(guān)系可表示為：______________________。

（2）某班要派全部男生和部分女生組成30人的隊(duì)伍參加拔河比賽。

設(shè)該班有男生x人，女生z人，根據(jù)題意，數(shù)量關(guān)系可表示為：______________________。

（3）某班女生人數(shù)比男生人數(shù)的2倍少5人。

設(shè)該班有男生x人，女生y人，根據(jù)題意，數(shù)量關(guān)系可表示為：______________________。

（4）某班要派全部男生和部分女生組隊(duì)參加拔河比賽，其中的男生是女生的2倍。

設(shè)該班有男生x人，女生z人，根據(jù)題意，數(shù)量關(guān)系可表示為：______________________。

通過設(shè)置四個(gè)問題串，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何列二元一次方程，類比一元一次方程的概念，得出二元一次方程的概念。

在問題背景不變的情況下把四個(gè)問題兩兩組合，問題（1）（3）組合，問題（2）（4）組合，教師把剛才列出的四個(gè)二元一次方程分別兩兩組合聯(lián)立，并分析其形式上的特點(diǎn)，得出二元一次方程組的概念。

策略3：得出二元一次方程的解和二元一次方程組的解

具體設(shè)計(jì)：讓學(xué)生嘗試寫出剛才其中兩個(gè)二元一次方程x+y=55和2x-y=5的幾組解，并借助Excel表格展示出這兩個(gè)二元一次方程的解，學(xué)生直觀地理解二元一次方程的解的概念，同時(shí)感受到二元一次方程的解有無數(shù)個(gè)。設(shè)置“比一比看誰的眼力快”的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生找到公共解后，再講解二元一次方程組的解，并使學(xué)生明確二元一次方程組的解只有一組。

策略4：在教學(xué)中要更多地關(guān)注建模過程，讓學(xué)生感受二元一次方程概念的本質(zhì)

具體設(shè)計(jì)：從蘋果梨的問題一直到四個(gè)問題的過程中，就要不斷地向?qū)W生提出問題以下問題：（1）題目中的已知量，未知量是什么？（2）各個(gè)量之間的關(guān)系是什么？（3）題目中的等量關(guān)系有幾個(gè)等這樣的問題。對(duì)于較復(fù)雜的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，幫助學(xué)生尋找等量關(guān)系，不斷地建立方程模型。

編輯 溫雪蓮