佟 林，覃方君，馮卡力，黃春福，王 智

（海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，武漢 430033）

光纖陀螺由于具有精度高、壽命長(zhǎng)、動(dòng)態(tài)范圍大、對(duì)重力加速度不敏感等優(yōu)勢(shì)[1]，已經(jīng)廣泛應(yīng)用到導(dǎo)航的很多領(lǐng)域，有著良好的發(fā)展前景和研究?jī)r(jià)值[1-2]。

由于光纖陀螺內(nèi)部構(gòu)造的原因，光纖陀螺對(duì)溫度很敏感，溫度漂移成為主要的誤差源[3]，所以研究光纖陀螺的溫度特性，得到溫度補(bǔ)償模型對(duì)提高導(dǎo)航精度是非常重要的。文獻(xiàn)[4][5]利用多項(xiàng)式法進(jìn)行溫度建模，文獻(xiàn)[6][7]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行溫度建模，以上方法都是采用單一模型進(jìn)行補(bǔ)償，忽略了光纖陀螺溫度誤差的復(fù)雜性?；诖耍墨I(xiàn)[8][9]提出了分段建模的補(bǔ)償方法。本文基于分段建模思想，以大量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分析陀螺的溫度誤差特性后，提出了基于粒子群優(yōu)化算法的光纖陀螺溫度誤差分段補(bǔ)償方法。

本文方法的核心是確定最優(yōu)補(bǔ)償函數(shù)。文獻(xiàn)[9]的分段多模型補(bǔ)償方法（后文稱傳統(tǒng)方法）僅考慮溫度單方面影響，利用最小二乘法求取補(bǔ)償函數(shù)，精度受限。近年來(lái)隨著人工智能的迅速發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)逐漸被應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域[10]。1995年Kennedy 和Eberhart 提出了粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization,PSO算法）。本文在光纖陀螺溫度誤差建模時(shí)同時(shí)考慮溫度以及溫度變化率，利用PSO 算法進(jìn)行模型參數(shù)的極值尋優(yōu)，求得最優(yōu)補(bǔ)償函數(shù)。

1 溫度和溫度變化率影響機(jī)理

光纖陀螺中有許多對(duì)溫度敏感的光學(xué)材料和器件，在不同的溫度下工作時(shí)它們的性能是不同的，這樣就會(huì)影響陀螺的輸出，產(chǎn)生溫度誤差。根據(jù)光學(xué)Nyquist 定律，當(dāng)溫度在絕對(duì)零度以上時(shí)，光纖折射率將產(chǎn)生熱漲落，引起光纖中的相位變化。特別是隨著光纖長(zhǎng)度的增加（光纖長(zhǎng)度超過(guò)2 km 時(shí)）和環(huán)境溫度的升高，這種因溫度產(chǎn)生的相位噪聲甚至超過(guò)散粒噪聲，最終限制光纖陀螺的檢測(cè)閾值。溫度相位噪聲在光纖圈長(zhǎng)度較短的中低精度光纖螺中可以忽略，但在慣性導(dǎo)航級(jí)高精度光纖陀螺中，溫度產(chǎn)生的噪聲也是必須要考慮的問題。

當(dāng)兩束干涉光分別以順時(shí)針（CW）和逆時(shí)針（CCW）方向在長(zhǎng)度為L(zhǎng)、折射率為n的光纖環(huán)傳輸時(shí)，產(chǎn)生的相位延遲分別為：

式中，φcw(t)為順時(shí)針光沿光纖環(huán)傳輸產(chǎn)生的相移；φccw(t)為逆時(shí)針光沿光纖環(huán)傳輸產(chǎn)生的相移；β0為光在真空中的傳輸常數(shù)，其值為2π/λ，λ為光波長(zhǎng)；n為光纖折射率；c為光在光纖環(huán)中傳播的速度；z為任一點(diǎn)到端點(diǎn)的距離；ΔT為光纖環(huán)z點(diǎn)處的溫度分布變化量。式(1)減去式(2)后積分得：

式中，c0為光在真空中的速度。

將式(3)分為兩部分積分(0,L/ 2)、(L/2,L) ，得：

當(dāng)溫度變化率改變時(shí)，內(nèi)部光纖環(huán)的溫度場(chǎng)會(huì)隨著變化，從而使光纖環(huán)內(nèi)部膨脹和折射率不均勻，從而對(duì)通過(guò)光纖環(huán)反向傳播的兩束干涉光產(chǎn)生的影響不同，產(chǎn)生非互易相移。式(4)繼續(xù)整理得：

由式(5)也可以得出結(jié)論，引起相位誤差的因素中，溫度變化率的影響至關(guān)重要。

2 基于PSO 算法的建模補(bǔ)償

通過(guò)前一節(jié)的分析發(fā)現(xiàn)，陀螺漂移不僅與溫度非線性相關(guān)，而且與溫度變化率也非線性相關(guān)，進(jìn)而本文在傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)之上[9]，加入了溫度變化率影響因子，模型通式為：

其中，a0、a1、a2、a、3a4表示與溫度有關(guān)的參數(shù)，b0、b1、b2、b3表示與溫度變化率有關(guān)的參數(shù)，x1表示溫度，x2表示溫度變化率，y表示溫度誤差。

為了求出式(6)中模型未知的補(bǔ)償系數(shù)a0、a1、a2、a3、a4、b0、b1、b2、b3，本文采用PSO 算法進(jìn)行極值尋優(yōu)來(lái)求解。與其它群體智能優(yōu)化算法一樣，PSO 算法得到的最優(yōu)解是在尋優(yōu)空間中通過(guò)群體中不同粒子之間的相互競(jìng)爭(zhēng)合作來(lái)搜索得到的[11]。

本文溫度補(bǔ)償方法的核心為使用PSO 算法確定最優(yōu)補(bǔ)償函數(shù)，步驟如下：

Step 1：初始化。首先將一群均勻分布在指定的尋優(yōu)空間中的粒子初始化，即在某個(gè)范圍內(nèi)隨機(jī)給定每個(gè)粒子的初始速度和位置。尋優(yōu)空間即為要補(bǔ)償?shù)臏囟葏^(qū)間，每個(gè)粒子都表示尋優(yōu)的一個(gè)潛在最優(yōu)解，即每個(gè)粒子位置代表一組補(bǔ)償系數(shù)，適應(yīng)度、位置和速度是PSO 算法表示粒子特征的三項(xiàng)指標(biāo)。

Step 2：確定適應(yīng)度函數(shù)F。實(shí)驗(yàn)采集得到的數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)處理后得到真實(shí)的溫度漂移，作為訓(xùn)練樣本將式(6)得到的預(yù)測(cè)溫度漂移作為訓(xùn)練樣本剩余誤差表達(dá)式為ε(i) =Y(i) -y(i)，其中i為當(dāng)前陀螺采樣數(shù)。將每一次采樣的剩余誤差的平方和作為本模型適應(yīng)度函數(shù)：

Step 3：根據(jù)粒子初始位置計(jì)算每一個(gè)粒子的適應(yīng)度值，并將它作為該粒子的個(gè)體極值，所有個(gè)體極值中最優(yōu)的設(shè)置為群體極值。

Step 4：根據(jù)個(gè)體極值和群體極值，更新粒子的速度和位置。更新公式為：

其中，ω為慣性權(quán)重，c1和c2為非負(fù)的常數(shù)稱為學(xué)習(xí)因子，r1和r2為分布于0 到1 之間的隨機(jī)數(shù)。

Step 5：更新個(gè)體極值和群體極值。根據(jù)更新后的粒子位置計(jì)算每一個(gè)粒子的適應(yīng)度值，并與原來(lái)的個(gè)體極值Pidk進(jìn)行比較，若優(yōu)于則更新此值，新的所有個(gè)體極值中最優(yōu)的設(shè)置為新的群體極值。

Step 6：進(jìn)行迭代運(yùn)算。不斷重復(fù)Step 4 和Step 5，設(shè)置迭代次數(shù)k，滿足條件后停止搜索，此時(shí)粒子位置為模型的系數(shù)a0、a1、a2、a3、a4、b0、b、1b、2b3。將其帶入式(6)中即得到溫度補(bǔ)償模型。

Step 7：設(shè)置PSO 算法的基本參數(shù)，這些參數(shù)的優(yōu)劣將直接影響到最終的尋優(yōu)結(jié)果：

1）種群規(guī)模：種群規(guī)模為Step 1 中粒子的總數(shù)，此參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定，經(jīng)過(guò)大量的試驗(yàn)，結(jié)合本模型實(shí)際情況種群規(guī)模設(shè)置為400。

2）迭代次數(shù)：迭代次數(shù)的選擇根據(jù)模型和精度要求的改變而改變，太少會(huì)使結(jié)果精度達(dá)不到要求，太多不僅會(huì)大大延長(zhǎng)算法的時(shí)間，而且還會(huì)出現(xiàn)迭代過(guò)飽和現(xiàn)象使精度反而降低，通過(guò)大量的試驗(yàn)反復(fù)驗(yàn)證最終確定此模型的迭代次數(shù)為300 最佳。

3）粒子的速度和位置范圍，位置范圍為Step 1 中的尋優(yōu)空間即溫度區(qū)間，設(shè)定為問題空間的10%～20%[12]。

4）慣性權(quán)重ω，表示粒子當(dāng)前速度多大程度上繼承原來(lái)的速度，ω較大便于全局搜索，較小便于局部搜索，為了平衡兩種搜索能力，根據(jù)光纖陀螺溫度補(bǔ)償?shù)奶厥庑?，本文采用線性遞減慣性權(quán)重。

其中，ωstart為初始慣性權(quán)重，k為當(dāng)前迭代數(shù)，ωend為最大迭代數(shù)時(shí)的慣性權(quán)重，kmax為最大迭代數(shù)。

5）學(xué)習(xí)因子c1和c2：分別調(diào)節(jié)向個(gè)體和全局最優(yōu)方向飛行的最大步長(zhǎng)，若c1為零，粒子將陷入局部最優(yōu)，沒有處理復(fù)雜模型的能力，若c2為零，將得不到全局最優(yōu)解。標(biāo)準(zhǔn)的PSO 算法中c1=c2= 2。

本文針對(duì)光纖陀螺溫度補(bǔ)償?shù)奶厥庑詫?duì)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，采用一種帶收縮因子的PSO 算法的參數(shù)設(shè)定方法，引入了收縮因子K，使速度更新公式變?yōu)椋?/p>

解出c1=c2=1.494 45。本模型采用此數(shù)值作為PSO 算法的學(xué)習(xí)因子進(jìn)行尋優(yōu)運(yùn)算。

綜上，總結(jié)得出本文PSO 算法極值尋優(yōu)流程圖如圖1所示。

上述步驟即為溫度誤差建模全過(guò)程，極值尋優(yōu)得到的最優(yōu)粒子群即為式(6)中全部的未知系數(shù)，將其帶入式(6)得到最優(yōu)補(bǔ)償函數(shù)y，此函數(shù)即為該溫度區(qū)間 的溫度誤差補(bǔ)償模型。

圖1 算法流程圖 Fig.1 Algorithm flowchart

3 試驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

將光纖慣導(dǎo)系統(tǒng)置于溫箱內(nèi)，慣導(dǎo)系統(tǒng)的3 軸按東北天方向放置，溫箱和慣導(dǎo)均保持靜止，使光纖陀螺僅受到地球自轉(zhuǎn)的激勵(lì)，保持溫箱溫度為-15℃，待陀螺輸出穩(wěn)定后逐漸升溫10 h，溫度升至50℃，測(cè)量-15℃～50℃溫度區(qū)間變化時(shí)的陀螺數(shù)據(jù)，陀螺采樣頻率為200 Hz。然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到各個(gè)溫度下的陀螺漂移，結(jié)果如圖2所示。

圖2 陀螺漂移 Fig.2 FOG drift

通過(guò)對(duì)圖2中實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)誤差特性進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，在以下5 個(gè)溫度區(qū)間，溫度誤差曲線總體上保持單調(diào)趨勢(shì)，所以本文將溫度分成這5 個(gè)區(qū)間進(jìn)行補(bǔ)償。5 個(gè)溫度區(qū)間分別是：-15℃～0℃；0℃～15℃；15℃～30℃；30℃～37℃；37℃～50℃。

最后，使用本文方法進(jìn)行溫度建模，結(jié)果如表1所示。 將表1所得的系數(shù)分別帶入相應(yīng)的溫度區(qū)間進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償結(jié)果如圖3所示。

表1 本文方法補(bǔ)償系數(shù) Tab.1 Compensation coefficients of the proposed method

從圖3可以看出，本文所建模型能夠較好地?cái)M合溫度誤差曲線。求取補(bǔ)償后剩余誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差得：在整個(gè)溫度區(qū)間-15～50℃內(nèi)，補(bǔ)償前漂移的均值為-6 .90 ×10-2(°/h)，標(biāo)準(zhǔn)差為 1.5317 ×1 0-2(°/h)；本文方法補(bǔ)償后剩余誤差的均值為 -2.9621×10-5(°/h)，標(biāo)準(zhǔn)差為6.6524 ×1 0-3(°/h)。表2為傳統(tǒng)算法的補(bǔ)償結(jié)果，可以得出：補(bǔ)償后剩余誤差的均值為 1 .1209 ×1 0-4(°/h)，標(biāo)準(zhǔn)差為 6.9597 ×1 0-3(°/h)。

圖3 補(bǔ)償效果 Fig.3 The effect of compensation

表2 傳統(tǒng)方法的補(bǔ)償系數(shù) Tab.2 Compensation coefficients of traditional algorithm

通過(guò)以上分析可以得出：相比補(bǔ)償前，本文算法補(bǔ)償后陀螺零偏穩(wěn)定性降低了56.57%，零偏均值減少了99.96%，補(bǔ)償效果非常顯著；相比傳統(tǒng)方法，本文方法補(bǔ)償后陀螺零偏穩(wěn)定性降低了4.42%，基本保持不變，零偏均值減少了78.55%，近一個(gè)數(shù)量級(jí)，說(shuō)明本文方法可以大幅度降低漂移均值效果優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法補(bǔ)償效果，使用同一個(gè)慣導(dǎo)系統(tǒng)按照原方案重新采集-15℃～50℃的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，為了驗(yàn)證本文補(bǔ)償系數(shù)適用于其它的溫度變化率，驗(yàn)證試驗(yàn)采用與原試驗(yàn)不同的溫度變化方式，使溫度變化率不同。繼續(xù)使用本文模型進(jìn)行補(bǔ)償以驗(yàn)證模型效果，如圖4所示。

將此結(jié)果與傳統(tǒng)方法和未補(bǔ)償時(shí)進(jìn)行比較，各個(gè)溫度區(qū)間陀螺漂移的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表3所示?？梢钥闯?，在-15℃～50℃溫度區(qū)間內(nèi)，相比補(bǔ)償前，無(wú)論零偏均值還是零偏穩(wěn)定性均明顯降低。相比傳統(tǒng)算法，零偏穩(wěn)定性基本保持不變，而零偏均值有了明顯降低，降低了1 個(gè)數(shù)量級(jí)，與前文結(jié)論一致，說(shuō)明本文方法確實(shí)可以提高補(bǔ)償效果，并在降低零偏均值方面明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

圖4 補(bǔ)償效果驗(yàn)證 Fig.4 Verification of compensation effect

表3 誤差比較 Tab.3 Error comparison

4 結(jié) 論

本文在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析處理基礎(chǔ)上，提出了基于粒子群優(yōu)化算法的光纖陀螺溫度誤差分段補(bǔ)償方法，在建模時(shí)加入溫度和溫度變化率影響因子，并引入PSO 算法極值尋優(yōu)。試驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法在補(bǔ)償溫度誤差方面效果顯著，并在降低零偏均值方面明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法。重新采集數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，得到了相同的結(jié)論。

在尋優(yōu)得到補(bǔ)償系數(shù)后，帶入可得到溫度誤差補(bǔ)償方程，只要光纖慣導(dǎo)提供實(shí)時(shí)的溫度數(shù)據(jù)，就可以計(jì)算出實(shí)時(shí)的溫度變化率，通過(guò)方程即可得到實(shí)時(shí)的溫度誤差補(bǔ)償值，所以本文方法可以對(duì)溫度溫差進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償，具有較好的應(yīng)用廣泛性和工程實(shí)用價(jià)值。