石慧榮，趙冬艷，李宗剛，張軍平

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

直齒圓柱齒輪傳動(dòng)以其結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)準(zhǔn)確、經(jīng)濟(jì)性好等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于汽車、機(jī)床、船舶、航空等工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域，其傳動(dòng)性能決定了應(yīng)用裝備的使用性能，因此對(duì)齒輪傳動(dòng)的減振控制具有重要實(shí)際意義。然而由于齒輪傳動(dòng)具有比較復(fù)雜非線性行為，所以應(yīng)用中很難確定與之匹配的控制參數(shù)，因此控制參數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響已成為該領(lǐng)域的一個(gè)重要課題。

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性行為已經(jīng)被廣泛研究，主要集中在側(cè)隙、時(shí)變嚙合剛度、載荷波動(dòng)和制造裝配誤差等對(duì)傳動(dòng)的影響上。Moradi等[1]利用多尺度法分析了含間隙的直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)果表明在特定參數(shù)下主共振、超諧波和亞諧波共振均會(huì)出現(xiàn)跳躍和不穩(wěn)定現(xiàn)象。Lu等[2]利用數(shù)值計(jì)算法研究了影響直齒圓柱齒輪傳動(dòng)非線性特性的因素，結(jié)果表明輕載時(shí)更容易導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)混沌，系統(tǒng)參數(shù)的合理匹配能提升其傳動(dòng)的穩(wěn)定性。Singh[3]利用Floquet定理分析了考慮齒面摩擦作用的斜齒輪扭轉(zhuǎn)傳動(dòng)特性，表明摩擦作用力對(duì)斜齒傳動(dòng)影響較小。張微等[4]利用多尺度法分析了直齒圓柱齒輪傳動(dòng)的穩(wěn)定性，結(jié)果表明當(dāng)輪齒嚙合頻率接近和型共振頻率時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生參數(shù)共振，存在著不收斂的無(wú)界解。魏莎等[5]運(yùn)用區(qū)間諧波平衡法分析了考慮區(qū)間系統(tǒng)參數(shù)的齒輪副非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，研究表明側(cè)隙、阻尼和載荷參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性具有較大影響。為了提升齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)性能，一些主動(dòng)減振方法也受到一些學(xué)者的關(guān)注。Chen等[6]提出一種改變嚙合剛度的齒輪傳動(dòng)主動(dòng)減振方法，并驗(yàn)證了其有效性。Li等[7-8]提出了一種利用壓電堆裝置主動(dòng)控制齒輪轉(zhuǎn)子支撐裝置振動(dòng)從而抑制齒輪傳動(dòng)振動(dòng)的方法，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了控制方法的有效性。李以農(nóng)等[9]對(duì)齒輪傳動(dòng)壓電堆作動(dòng)減振提出一種自適應(yīng)算法主動(dòng)控制方案，并對(duì)其進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

綜上所述，現(xiàn)有的研究主要關(guān)注傳動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)對(duì)系統(tǒng)非線性行為的影響或特定控制方法的減振作用，綜合考慮控制參數(shù)和齒輪系統(tǒng)參數(shù)的動(dòng)力學(xué)行為研究還比較少。本文為了有效減小直齒圓柱齒輪系統(tǒng)由于外載荷激勵(lì)波動(dòng)和時(shí)變嚙合剛度引起的振動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)施加時(shí)滯反饋控制，并采用多尺度法分析齒輪系統(tǒng)載荷波動(dòng)和嚙合剛度波動(dòng)對(duì)主共振的影響，研究時(shí)滯反饋控制參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

1 時(shí)滯反饋直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)由于制造誤差、裝配誤差、側(cè)隙、時(shí)變嚙合剛度和齒面接觸變形等因素的影響，嚙合齒對(duì)間的作用力很難確定，因此齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性比較復(fù)雜，但本文主要研究嚙合剛度變化和外加激勵(lì)載荷對(duì)系統(tǒng)傳動(dòng)的影響，因此可以將其簡(jiǎn)化成一個(gè)單自由度系統(tǒng)[10]，假定軸承和軸的支撐剛度遠(yuǎn)大于齒輪的嚙合剛度，此時(shí)可以近似認(rèn)為齒輪與支座剛性連接，所以只考慮扭轉(zhuǎn)自由度，由此可得齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

無(wú)量綱化的側(cè)隙函數(shù)為

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[1]對(duì)齒輪傳動(dòng)的研究方法，可以將側(cè)隙函數(shù)近似為

g(x)=d1x+d2x3=d1(x+d0x3)

(4)

其中d0=d2/d1，當(dāng)d1=0.463，d2=0.016 04時(shí)，擬合均方差0.21，確定系數(shù)為0.989 8，此時(shí)式(4)的側(cè)隙函數(shù)能夠較精確地反映分段函數(shù)(3)所表示的輪齒接觸、脫齒和齒背沖擊現(xiàn)象，并且使系統(tǒng)光滑化。將式(4)代入式(1)中，齒輪系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N類Mathieu-Duffing振子，并考慮對(duì)齒輪支撐系統(tǒng)施加時(shí)滯位移速度反饋控制，根據(jù)文獻(xiàn)[13]可以得到時(shí)滯反饋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(5)

2 時(shí)滯反饋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的多尺度法分析

x(t)=x0(T0,T1,…)+εx1(T0,T1,…)+

ε2x2(T0,T1,…)+…

(6)

x(t-τ)=x0τ(T0,T1,…)+εx1τ(T0,T1,…)+

ε2x2τ(T0,T1,…)+…

(7)

(8)

(9)

為了獲得有效的近似解，必須使嚙合阻尼、嚙合剛度波動(dòng)量、非線性項(xiàng)、激勵(lì)載荷與控制增益為同階量，因此重新標(biāo)定系統(tǒng)參量η=2εμ，k=εk，d0=εd0，f=εf，g1=εg1，g2=εg2，并將偏導(dǎo)算子(8)和(9)以及近似解(6)和(7)代入齒輪的系統(tǒng)方程(5)中，令ε0和ε1的系數(shù)相等可得

(10)

g2D0x0τv-2μD0x0-2D0D1x0-

(11)

Aτ(T1)=Aτ(T1-ετ)≈A(T1)-ετA(T1)+…

(12)

同時(shí)令cosωτ=(eiωτ+e-iωτ)/2，將x0和式(12)代入式(11)可得

d2A2[Ae3iω0T0+3f0e2iω0T0]+

(13)

式中，cc表示前面各項(xiàng)的共軛。式(13)可能存在的多種諧波響應(yīng)分別為

(1)微共振：ω≈0；

(2)主共振：ω≈ω0；

(3)次諧波共振：ω≈2ω0。

3 時(shí)滯反饋齒輪系統(tǒng)的主共振穩(wěn)定性分析

本文主要對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主共振特性進(jìn)行分析，引入激勵(lì)頻率失調(diào)參數(shù)σ，使得

ω=ω0+εσ

(14)

為了消去永年項(xiàng)，令上式中含有eiω0T0的系數(shù)為零，可以得到

iω0A(g2e-iω0τv-2μ)

(15)

(16)

(17)

其中

(g2ω0sinω0τv+g1cosω0τd)

N=(2ω0μ-ω0g2cosω0τv+g1sinω0τd)

(18)

(19)

(20)

因此矩陣的特征值方程為

(21)

要使特征值λ具有負(fù)實(shí)部保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，式(21)必須滿足以下條件

N>0

(22)

4 主共振的數(shù)值分析

針對(duì)簡(jiǎn)化的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，初始傳動(dòng)參數(shù)由表1給出，無(wú)量綱化后的靜載荷f0=0.215，載荷波動(dòng)幅度f(wàn)=0.2，嚙合剛度波動(dòng)幅值k=0.2，嚙合阻尼μ=0.1，小參數(shù)ε=0.02，位移和速度反饋增益g1=g2=0.1，時(shí)滯為τd=τv=T/9，其中T=2π/ω0，后續(xù)分析中未作特定說(shuō)明，各參數(shù)均為初始參數(shù)。為了更加全面了解齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，數(shù)值分析主要探討外加激勵(lì)波動(dòng)、嚙合剛度波動(dòng)、遲滯反饋參數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)主共振的影響。

表1 齒輪參數(shù)表Tab.1 Gear parameters

4.1 載荷波動(dòng)對(duì)傳動(dòng)的影響

當(dāng)g1=g2=0時(shí)無(wú)時(shí)滯反饋?zhàn)饔?，此時(shí)載荷波動(dòng)幅度f(wàn)對(duì)主共振的影響如圖1所示，圖1(a)為不同外加載荷波動(dòng)f時(shí)齒輪系統(tǒng)的幅頻變化關(guān)系，圖中灰色部分為不穩(wěn)定振動(dòng)分支，由圖可以看出，當(dāng)外加激勵(lì)波動(dòng)f逐漸增大時(shí)，主共振幅值增大，灰色不穩(wěn)定分支增加，系統(tǒng)的定性變差，在較大的f作用下才會(huì)引起振幅的“跳躍”。圖1(b)表明當(dāng)激勵(lì)頻率ω小于齒輪系統(tǒng)的主共振頻率時(shí)，振幅隨f的增大逐漸增大，在ω大于主共振頻率進(jìn)入不穩(wěn)定頻帶后出現(xiàn)多個(gè)振幅分支，從而引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定，這也稱之為滯后現(xiàn)象。因此在接近主共振的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中應(yīng)注意控制嚙合齒對(duì)的載荷波動(dòng)，保證傳動(dòng)的穩(wěn)定性和可靠性。

(a)

(b)圖1 載荷波動(dòng)對(duì)振幅影響Fig.1 The effect of load fluctuation on the amplitude

4.2 嚙合剛度波動(dòng)對(duì)傳動(dòng)的影響

同樣在g1=g2=0時(shí)，嚙合剛度波動(dòng)k對(duì)主共振影響如圖2所示，由圖2(a)可以看出，隨著嚙合剛度波動(dòng)k的增加，主共振的最大穩(wěn)態(tài)幅值逐漸減小，不穩(wěn)定分支也不斷縮聚，因此一定嚙合剛度波動(dòng)會(huì)縮減主共振穩(wěn)態(tài)幅值，提高主共振的穩(wěn)定性，但k對(duì)主共振穩(wěn)態(tài)幅值的影響比較小。圖2(b)表明當(dāng)激勵(lì)頻率ω進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域后，k在一定范圍內(nèi)變化會(huì)導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)主共振的失穩(wěn)，而且ω越大，觸發(fā)主共振不穩(wěn)定的最小k越小，而且較小的k亦可誘發(fā)系統(tǒng)的大幅振動(dòng)，導(dǎo)致主共振穩(wěn)態(tài)幅值的多值性，引起主共振的不穩(wěn)定。實(shí)際傳動(dòng)中k越小，傳動(dòng)的穩(wěn)定性較好，但在接近主共振頻率時(shí)，雖然嚙合剛度波動(dòng)幅度較小仍然可能引起系統(tǒng)的大幅振動(dòng)。

(a)

(b)圖2 嚙合剛度波動(dòng)對(duì)振幅影響Fig.2 The effect of mesh stiffness on the amplitude

4.3 控制參數(shù)對(duì)傳動(dòng)的影響

由于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的外加載荷波動(dòng)和嚙合剛度波動(dòng)會(huì)引起系統(tǒng)傳動(dòng)的不穩(wěn)定，因此為了減小系統(tǒng)振動(dòng)，提升運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定性，對(duì)其施加時(shí)滯反饋控制，特定控制參數(shù)變化時(shí)齒輪系統(tǒng)的主共振特性由圖3和圖4給出。

圖3為不同參數(shù)對(duì)主共振幅頻曲線的影響。在圖3(a)中，當(dāng)位移控制增益g1逐漸增大時(shí)，主共振幅頻曲線向左偏移，主共振峰值頻率減??；當(dāng)g1=-0.1時(shí)使主共振穩(wěn)態(tài)幅值大幅增加，灰色不穩(wěn)定分支大幅擴(kuò)展，因此特定的g1可能導(dǎo)致主共振穩(wěn)定性變差；而且合理的選取g1可以有效縮減主共振穩(wěn)態(tài)幅值，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如g1=0.2時(shí)，穩(wěn)態(tài)幅值僅為0.94。圖3(b)表明隨著速度控制增益g2由負(fù)→正逐漸增大，主共振穩(wěn)態(tài)幅值逐漸增大，而且當(dāng)g2較大，如g2=0.2時(shí)，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因此負(fù)速度反饋增益g2能夠使主共振穩(wěn)態(tài)幅值有效減小，增加系統(tǒng)穩(wěn)定性。由圖3(c)可以看出，控制系統(tǒng)位移時(shí)滯τd在0～T/2內(nèi)變化時(shí)，主共振穩(wěn)態(tài)幅值不斷波動(dòng)，特定的τd會(huì)導(dǎo)致主共振的不穩(wěn)定，只有在τd接近T/4時(shí)齒輪系統(tǒng)的主共振穩(wěn)態(tài)振幅值最小，此時(shí)系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性；而且也注意到隨著τd的增加，主共振骨架曲線右移，使主共振頻率增大。圖3(d)表明在當(dāng)前系統(tǒng)中隨著速度時(shí)滯τv增加穩(wěn)態(tài)幅值不斷減小，不穩(wěn)定灰色分支逐漸縮聚，在τv=T/2時(shí)對(duì)主共振具有較好減振性。

(a)

(b)

(c)

(d)圖3 不同控制參數(shù)對(duì)應(yīng)的主共振幅頻響應(yīng)Fig.3 The frequency response in different control parameters

(a)

(b)

(c)

(d)圖4 控制參數(shù)對(duì)振幅的影響Fig.4 The effect of control parameters on the amplitude

圖4是各時(shí)滯控制參數(shù)對(duì)主共振穩(wěn)態(tài)幅值的影響曲線。其中圖4(a)表明位移控制增益g1在一定范圍內(nèi)取值可能導(dǎo)致主共振穩(wěn)態(tài)幅值大幅增加，當(dāng)ω超過(guò)臨界頻率后，ω越大g1導(dǎo)致主共振不穩(wěn)定的可能性越大；隨著ω的增加觸發(fā)主共振不穩(wěn)定的最小g1減小，而且對(duì)于當(dāng)前系統(tǒng)g1的絕對(duì)值在零附近時(shí)更易誘發(fā)主共振的不穩(wěn)定。圖4(b)說(shuō)明速度控制增益g2在一定范圍內(nèi)取值也會(huì)使主共振穩(wěn)態(tài)幅值增大，隨著ω的增加，g2導(dǎo)致主共振失穩(wěn)的可能性增加，同時(shí)也注意到本系統(tǒng)中g(shù)2為正更易導(dǎo)致直齒輪主共振的失穩(wěn)。在圖4(c)中可以看出，當(dāng)ω小于臨界頻率時(shí)，主共振穩(wěn)態(tài)幅值隨位移時(shí)滯τd增加而減小，不會(huì)引起主共振的不穩(wěn)定；當(dāng)ω超過(guò)臨界頻率后，τd在一定范圍內(nèi)會(huì)導(dǎo)致主共振的穩(wěn)定性變差，ω越大τd導(dǎo)致主共振不穩(wěn)定的可能性越高，而且隨著ω的增加觸發(fā)主共振不穩(wěn)定的最小時(shí)滯減小。圖4(d)表明在ω小于臨界頻率時(shí)，τv不會(huì)影響主共振的穩(wěn)定性，此時(shí)只有τv較大的才會(huì)使主共振穩(wěn)態(tài)幅值有效縮減；當(dāng)ω大于臨界頻率后，類似于位移時(shí)滯對(duì)穩(wěn)態(tài)幅值的影響，ω越高τv誘發(fā)齒輪系統(tǒng)的不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的可能性越大，但穩(wěn)態(tài)幅值隨τv的變化趨勢(shì)與位移時(shí)滯不同。

當(dāng)激勵(lì)頻率ω=0.422 6時(shí)，利用Runge-Kutta法對(duì)式(6)進(jìn)行數(shù)值求解，可以得到圖5(a)～(c)分別是g1=g2=0，τd=τv= 0、g1=0.2，g2=-0.2，τd=T/4，τv=T/2和g1=-0.2，g2=0.2，τd=τv=T/20時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)和相圖。由圖5(a)可以看出，由于此時(shí)主共振不穩(wěn)定，齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)誤差穩(wěn)態(tài)在一定范圍內(nèi)波動(dòng)；當(dāng)采用合理的時(shí)滯反饋控制后如圖5(b)所示，動(dòng)態(tài)誤差快速收斂到封閉曲線上；但是在圖5(c)中，控制參數(shù)選取偏離理想值時(shí)，時(shí)滯反饋控制反而導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)誤差嚴(yán)重偏離穩(wěn)定解，使動(dòng)態(tài)誤差大幅增加，穩(wěn)定性變差。因此齒輪系統(tǒng)的時(shí)滯反饋減振控制，必須選取匹配的控制參數(shù)，確?？刂品椒ǖ挠行?。

(a1)

(b1)

(c1)

(a2)

(b2)

(c2)圖5 控制前后的時(shí)域響應(yīng)和相平面Fig.5 The time response and phase plane before and after control

5 結(jié) 論

本文建立了含時(shí)滯反饋控制的直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型，應(yīng)用多尺度法和數(shù)值計(jì)算方法對(duì)系統(tǒng)主共振的參激振動(dòng)和時(shí)域特性進(jìn)行了分析，主要可以得出：

(1)載荷波動(dòng)和嚙合剛度波動(dòng)變化均會(huì)引起主共振的不穩(wěn)定，與載荷波動(dòng)不同，嚙合剛度波動(dòng)增加，主共振穩(wěn)態(tài)振幅減小，但較小的嚙合剛度波動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。

(2)位移、速度控制增益和時(shí)滯變化會(huì)引起系統(tǒng)主共振穩(wěn)態(tài)幅值和峰值頻率變化，增加位移增益，減小速度增益，而且取τd=T/4，τv=T/2時(shí)，能夠使齒輪系統(tǒng)快速收斂到穩(wěn)定解；

(3)一定的位移、速度增益和時(shí)滯會(huì)導(dǎo)致控制的不穩(wěn)定，而且激勵(lì)頻率越高，控制參數(shù)觸發(fā)系統(tǒng)不穩(wěn)定的可能性越高，控制參數(shù)的不匹配可能加劇系統(tǒng)振動(dòng)。