嚴(yán)智敏，徐順建，簡(jiǎn)輝華

(新余學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，江西 新余 338004)

0 引 言

目前，隨著機(jī)器人技術(shù)的快速發(fā)展，并聯(lián)機(jī)器人因精度高、 承載能力強(qiáng)、 剛度大等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于眾多工業(yè)生產(chǎn)中，并且在勘探、 醫(yī)學(xué)、 武器系統(tǒng)等諸多領(lǐng)域中也發(fā)揮了非常重要的作用[1]. 但由于并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非常復(fù)雜，具有強(qiáng)耦合、 非線性的特點(diǎn)，導(dǎo)致其控制不便，嚴(yán)重影響了并聯(lián)機(jī)器人的控制精度，而與并聯(lián)機(jī)器人控制有最直接關(guān)系的是動(dòng)力學(xué)方程的建立[2].

機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究的是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)與力之間的關(guān)系，范圍很廣，主要包括分析構(gòu)件之間的相互受力關(guān)系、 利用機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析進(jìn)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模、 計(jì)算機(jī)構(gòu)的慣性力及動(dòng)態(tài)仿真等[3]. 只有系統(tǒng)地分析機(jī)構(gòu)在某種運(yùn)動(dòng)下與構(gòu)件之間產(chǎn)生的力的相互關(guān)系，如不同的力對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，才能更好地對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行有效的實(shí)時(shí)控制[4]. 其中建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)函數(shù)模型代替機(jī)構(gòu)模型作為控制對(duì)象，是實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)器人控制的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)模型越精確，對(duì)應(yīng)的控制精度也越高[5]. 動(dòng)力學(xué)模型的優(yōu)劣直接反映出并聯(lián)機(jī)器人控制精度的高低. 對(duì)于同一機(jī)構(gòu)，不同的建模方法對(duì)機(jī)構(gòu)控制的作用效果也會(huì)有很大的差異[6]. 近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模的方法主要包括：拉格朗日法(Lagrange)、 牛頓-歐拉法(Newton-Euler)、 虛功原理法、 高斯法(Gauss)等[7]. 本文應(yīng)用牛頓-歐拉法對(duì)3-RPS型并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得出該并聯(lián)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)力、 約束力矩以及動(dòng)平臺(tái)對(duì)支鏈的作用力，建立動(dòng)力學(xué)方程，在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用Matlab構(gòu)建仿真模型進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證其精度及方法的正確性，為研究3-RPS并聯(lián)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)位移軌跡跟蹤控制作鋪墊.

1 機(jī)構(gòu)描述

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖如圖 1 所示，該機(jī)構(gòu)由上下兩平臺(tái)、 3支鏈連接組成，每條支鏈包涵三個(gè)運(yùn)動(dòng)副：轉(zhuǎn)動(dòng)副、 移動(dòng)副、 球副. 轉(zhuǎn)動(dòng)副與固定平臺(tái)相聯(lián)，球副與動(dòng)平臺(tái)相聯(lián)，中間通過(guò)移動(dòng)副連接，該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副為移動(dòng)副.

圖 1 3-RPS機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3-RPS mechanism

建立坐標(biāo)系，上平臺(tái)建立動(dòng)坐標(biāo)系P-UVW，下平臺(tái)建立固定坐標(biāo)系O-XYZ，P，O分別為上下平臺(tái)的中心. 建立支鏈坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi，z軸方向?yàn)闂U長(zhǎng)的方向，x軸方向?yàn)镺Ai的延長(zhǎng)線方向，y軸方向由右手定則確定. 上下平臺(tái)分別記為B1B2B3，A1A2A3，其中，PBi,OAi,OBi分別記為bi,ai,qi，di表示驅(qū)動(dòng)桿AiBi之間的桿長(zhǎng)，φi為連桿AiBi與下平臺(tái)之間的傾斜角，θi為轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線ui與X軸之間的夾角，L為上平臺(tái)三角形的邊長(zhǎng).

2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 位置分析

根據(jù)圖 2 支鏈結(jié)構(gòu)示意圖，有如下關(guān)系式

ai+disi=P+bi,

(1)

式中：si表示在定坐標(biāo)下zi軸的單位向量.

圖 2 支鏈?zhǔn)疽鈭DFig.2 Schematic diagram of the branch

則有

di=‖P+bi-ai‖,

(2)

si=(P+bi-ai)/di.

(3)

在固定坐標(biāo)系中，支鏈固定桿和驅(qū)動(dòng)桿質(zhì)心的位置矢量分別為

r1i=ai+e1si,

(4)

r2i=ai+(di-e2)si,

(5)

式中：e1,e2如圖 2 所示.

取歐拉角Z-Y-X型[8]，α=0，則動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系的方向余弦矩陣為

(6)

則動(dòng)平臺(tái)的角速度為

(7)

由圖 1 可知，固定坐標(biāo)系經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)變換可得到支鏈坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi, 先繞Z軸旋轉(zhuǎn)φi角，再繞新形成的Y1軸旋轉(zhuǎn)ηi角，則支鏈坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系的變換矩陣為[9]

(8)

由于轉(zhuǎn)動(dòng)副的約束作用，支鏈只能在xizi平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸為yi，則有φi為定值，且φ1=0，φ2=60°，φ3=120°. 由坐標(biāo)變換有

(9)

2.2 速度和加速度分析

式(1)右邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得固定坐標(biāo)系下球副中心Bi的速度為

vBi=vp+wp×bi.

(10)

由于vBi=ARiivBi，則有

ivBi=iRAvBi,

(11)

式中：ivBi表示Bi在Ai-xiyizi坐標(biāo)系下的速度.

式(1)左邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

(12)

式中：iwi,isi分別表示在Ai-xiyizi坐標(biāo)系下支鏈的角速度和zi軸的單位向量.

對(duì)式(12)兩邊做向量運(yùn)算并化簡(jiǎn)，可得

(13)

由于支鏈只能繞yi軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則ivBi在yi軸上的分量為零，即ivBiy=0.

式(4)，式(5)分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并依據(jù)上述所求得的值化簡(jiǎn)可得，在Ai-xiyizi坐標(biāo)系下支鏈固定桿和驅(qū)動(dòng)桿質(zhì)心的速度

(14)

(15)

式中：ivBix，ivBiy，ivBiz分別表示ivBi在xi，yi，zi軸上的分量.

再對(duì)式(10)求導(dǎo)可得固定坐標(biāo)系下球副中心Bi的加速度

(16)

且有

(17)

對(duì)式(12)求導(dǎo)同樣也有

(18)

同理對(duì)式(18)兩邊做向量運(yùn)算并化簡(jiǎn)得

(19)

式(14)，式(15)分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并依據(jù)上述所求得的值化簡(jiǎn)可得，Ai-xiyizi坐標(biāo)系下支鏈固定桿和驅(qū)動(dòng)桿質(zhì)心的加速度

(20)

(21)

3 動(dòng)力學(xué)方程的建立

以動(dòng)平臺(tái)為研究對(duì)象，在動(dòng)坐標(biāo)系下，根據(jù)牛頓-歐拉方程可得動(dòng)平臺(tái)的力矩平衡方程[10]

(22)

動(dòng)平臺(tái)的力平衡方程[11]為

(23)

假設(shè)ifBi表示在支鏈坐標(biāo)系下動(dòng)平臺(tái)對(duì)支鏈的作用力，則固定坐標(biāo)系下和動(dòng)坐標(biāo)系下該支鏈作用于動(dòng)平臺(tái)上的力分別為

AfBi=ARiifBi,

(24)

BfBi=BRAAfBi=-BRiifBi.

(25)

聯(lián)立式(6), (8), (22), (24)和(25)，由于動(dòng)平臺(tái)關(guān)于其質(zhì)心的慣性積為零，且Ipu=Ipv，則有

(26)

(27)

biv(a11ifBix+a12ifBiy+a13ifBiz)]+BNPw=

(28)

式中：右下標(biāo)中的u，v，w分別表示該量在動(dòng)坐標(biāo)系下U，V，W軸上的分量；Ip表示動(dòng)平臺(tái)對(duì)于其質(zhì)心的主慣性矩；Bwp=[wpuwpvwpw]表示動(dòng)坐標(biāo)系下動(dòng)平臺(tái)的角速度矢量.

聯(lián)立式(6), (8), (23), (24)和(25)可得

ifBizcosφisinηi)+AFx=0,

(29)

ifBizsinφisinηi)+AFy=0,

(30)

(31)

聯(lián)立式(26)～(31)可求得ifBiy，ifBiz，根據(jù)機(jī)構(gòu)力平衡關(guān)系，則有3-RPS并聯(lián)機(jī)器人所需的驅(qū)動(dòng)力和約束力矩分別為

(32)

Mi=iMAix=diifBiy,

(33)

式中：iMAix表示在Ai-xiyizi坐標(biāo)系下動(dòng)平臺(tái)作用于該支鏈下的約束力矩在xi軸上的分量.

以支鏈為研究對(duì)象，在支鏈坐標(biāo)系下，根據(jù)牛頓-歐拉方程有[12]

(34)

式中：inAi，ihAi分別表示在支鏈坐標(biāo)系下作用于Ai點(diǎn)的合外力矩和該支鏈關(guān)于Ai點(diǎn)的合角動(dòng)量.

inAi=diisi×(-ifBi)+[m1e1+m2(di-

e2)](isi×iRAAg)+iMAi,

(35)

ihAi=m1e1(isi×iv1i)+m2(di-e2)(is1×iv2i)+

iI1iiwi+iI2iiwi,

(36)

式中：iI1i，iI2i分別表示支鏈固定桿和驅(qū)動(dòng)桿關(guān)于各質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

式(36)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

(iI2iiwi).

(37)

聯(lián)立式(34), (35)和(37)得

(38)

式中：I1iy，I2iy分別表示支鏈固定桿和驅(qū)動(dòng)桿關(guān)于各自質(zhì)心的主慣性矩在yi軸上的分量.

從而求得動(dòng)平臺(tái)對(duì)支鏈的作用力ifBi=[ifBixifBiyifbiz]T.

4 模糊控制仿真分析

為了滿足該機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)高精度、 快速響應(yīng)、 結(jié)構(gòu)緊湊的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，綜合各方面的因素[13]，考慮機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的是直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)于3-RPS型并聯(lián)機(jī)器人，選擇液壓伺服驅(qū)動(dòng)作為驅(qū)動(dòng)器，采用液壓伺服系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)[14]

(39)

給定驅(qū)動(dòng)器的參數(shù)：KV=0.06，ωh=320，δh=0.2，Vt=1.4×10-4，KCE=6.14×10-12，βe=7×108，A1=4.9×10-4，F(xiàn)t=1 000，將其代入傳遞函數(shù)中得

選用模糊控制方法[15]，應(yīng)用Matlab軟件建立控制模型進(jìn)行仿真分析.

應(yīng)用Matlab的FIS編輯器建立模糊控制器，構(gòu)建模糊控制模型進(jìn)行仿真，如圖 3 所示.

經(jīng)過(guò)多次仿真實(shí)驗(yàn)，調(diào)節(jié)量化因子ke,kec和比例因子ku，使其控制精度達(dá)到最佳狀態(tài)時(shí)，ke=0.3×10-3，kec=0.2×10-7，ku=5×107. 仿真時(shí)間為10 s，仿真結(jié)果如圖 4 所示.

仿真結(jié)果表明：采用模糊控制在軌跡跟蹤控制中有一定的控制精度； 在系統(tǒng)一開(kāi)始時(shí)就出現(xiàn)迅速響應(yīng)，運(yùn)行到0.2 s時(shí)就有一定的跟蹤精度，并且跟蹤的最大誤差為1.1 mm，跟蹤精度較高； 同時(shí)驗(yàn)證了采用牛頓-歐拉方法對(duì)3-RPS并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析正確性.

圖 3 模糊控制仿真模型Fig.3 Simulation model of fuzzy control

圖 4 模糊控制軌跡跟蹤誤差Fig.4 Trajectory tracking error of fuzzy control

5 結(jié) 論

本文以3-RPS并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)平臺(tái)以及各支鏈為研究對(duì)象，應(yīng)用牛頓-歐拉方法，分析了該并聯(lián)機(jī)器人支鏈桿件對(duì)動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)力、 約束力矩以及動(dòng)平臺(tái)對(duì)支鏈的作用力，構(gòu)建了動(dòng)力學(xué)方程. 基于Matlab仿真軟件，采用液壓伺服驅(qū)動(dòng)方式及模糊控制算法，構(gòu)建了模糊控制仿真模型來(lái)進(jìn)行仿真分析，表明采用模糊控制在軌跡跟蹤控制中有一定的控制精度，驗(yàn)證了采用牛頓-歐拉方法對(duì)3-RPS并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析的正確性及控制方法的有效性，為進(jìn)一步采用模糊PID控制、 滑膜控制等其它控制方法對(duì)3-RPS并聯(lián)機(jī)器人軌跡跟蹤控制研究，以及提高并聯(lián)機(jī)器人控制精度提供一定的理論基礎(chǔ).