張穎穎

[摘 要]近年來各地的小學數(shù)學畢業(yè)試題呈現(xiàn)規(guī)避機械考核、凸顯核心素養(yǎng)、考查模型思想、引導研究學習等特色。壓軸題作為思維的制高點，倡導“核心素養(yǎng)、小題遞進、知識潛能、應用價值”的命題理念，要求教師教學時要重視學生幾何直觀的培養(yǎng)、數(shù)學建模的滲透、過程性分析的運用、學習習慣的養(yǎng)成。

[關鍵詞]小學數(shù)學;畢業(yè)考;核心素養(yǎng);壓軸題;模型思想;幾何直觀

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0045-02

近年來各地的小學數(shù)學畢業(yè)試題呈現(xiàn)規(guī)避機械考核、凸顯核心素養(yǎng)、考查模型思想、引導研究學習等特色，對小學數(shù)學教學起到了良好的導向作用。同時作為一場總結與檢驗小學六年學習成果的畢業(yè)考試，試題必須兼顧基礎性和發(fā)展性，具備應有的信度、效度、梯度、難度以及區(qū)分度。壓軸題作為思維的制高點，一般說來具有內隱性、創(chuàng)新性、綜合性等特點。對于壓軸題，很多學生或淺嘗輒止，或畏難止步。廣大一線教師對于壓軸題的教法也各有千秋。筆者認為，學習數(shù)學的過程就是研究模型、建立模型，進而使用模型解決問題的過程。因此，在教學壓軸題時，應先從一道壓軸題出發(fā)，歸類一類問題的解決策略，再選用恰當?shù)乃季S起點分析，形成一定的解題模型。基于此，筆者對近幾年小學數(shù)學畢業(yè)考壓軸題進行了分析與思考，采摘一例如下。

一、試題再現(xiàn)

【例題】一艘漁船在救援中心東偏北30°方向的180千米處觸礁遇險，預計2小時后沉沒。救援中心有2艘搜救船，時速均為80千米/時。此時甲搜救船正在救援中心北偏東30°方向的120千米處巡邏，乙搜救船在救援中心待命。

（1）在下圖中按比例畫出遇險漁船和甲搜救船的具體位置。

（2）你認為應該派哪艘船救援？它能否及時趕到遇險地點？（請在必要的測量后，用計算來說明）

二、試題分析

該試題考查的是運用坐標描述圖形的位置和運動、比例尺、行程問題等知識點。

第（1）題主要考核的是“圖形與幾何”領域的運用坐標描述圖形的位置和運動。解決時，首先要應用比例尺知識，由實際距離算出圖上距離。遇險漁船與救援中心的圖上距離為180×100000×[14000000]=4.5（厘米），甲搜救船與救援中心的圖上距離為120×100000×[14000000]=3（厘米）。再根據圖上距離4.5厘米與東偏北30°畫出遇險漁船的具體位置，根據圖上距離3厘米與北偏東30°畫出甲搜救船的具體位置。

第（2）題的完成主要有兩個思考過程，其一是判定派哪艘船去救援。從“乙搜救船在救援中心待命”可以確定，180÷80>2小時，所以乙搜救船排除在外。其二則要判斷甲搜救船能否及時趕到。測量出遇險漁船與甲搜救船之間的圖上距離為2.5厘米，現(xiàn)有以下四種方法：

方法一：比較時間。先應用比例尺完成圖上距離與實際距離的換算：2.5×4000000÷100000=100（千米），再用“路程÷速度=時間”，求出100÷80=1.25（小時），1.25小時<2小時，甲搜救船能及時趕到。

方法二：比較實際距離。2.5×4000000÷100000=100（千米），80×2=160（千米），100千米<160千米，甲搜救船能及時趕到。

方法三：比較圖上距離。甲搜救船2小時所行的實際距離所對應的圖上距離為80×2×100000×[14000000]=4（厘米），2.5厘米<4厘米，甲搜救船能及時趕到。

方法四：求比值。（2.5×4000000÷100000）∶（80×2）=100∶160=[58]，[58]<1，甲搜救船能及時趕到。

三、試題特色

1.凸顯導向核心素養(yǎng)教學的命題理念

數(shù)學課程應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還要注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。

例題通過派哪艘船救援這一實際問題，探索圖形的位置運動與行程問題的動態(tài)聯(lián)系，是一道蘊含豐富數(shù)學思想方法的動態(tài)性試題。比例尺的應用貫穿始終，畫圖時需達成實際距離與圖上距離的對接，解決問題時需完成圖上距離與實際距離的轉換，體現(xiàn)了“比例尺解決問題”這一數(shù)學模型的應用。同時，問題的解決過程鍛煉了學生的幾何直觀、空間觀念與推理能力，培養(yǎng)了學生的核心素養(yǎng)。

2. 體現(xiàn)小題聯(lián)系層級遞進的設問策略

命題者的設問充滿了智慧，體現(xiàn)了壓軸題層級遞進的設問策略。第（1）問要求“在圖中按比例畫出遇險漁船和甲搜救船的具體位置”，起點低，易于學生進入解題狀態(tài)。學生只需要根據方向與距離兩個元素確定具體位置即可。第（2）問基于第（1）問的畫圖基礎，實質是借助“速度、時間、路程”這一數(shù)學模型，通過比較來解決問題。方法多樣、本質相通，考查學生靈活解決問題的能力，體現(xiàn)了小題設問的螺旋上升。

3.重視知識運用潛能挖掘的評價方式

小學畢業(yè)考試作為一場總結與檢驗學生六年學習成果的考核，應考查學生運用知識解決問題的能力，考查學生繼續(xù)學習的潛在能力。例題看似熟悉常見，但知識間的融合巧妙，兩個問題的設計視角獨特。解決該問題時，不僅需要綜合運用平時的解題經驗，而且需要充分運用數(shù)學理解能力。

4.突出數(shù)學實際應用價值的背景元素

數(shù)學源于生活，用于生活，特別是小學數(shù)學，更是充分體現(xiàn)了數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。這道壓軸題的命題素材來源于生活實際問題，解決的也是與生活實際有關的問題。由此可見，融合多種生活元素，突出數(shù)學的實用價值應該是壓軸題的出題背景之一。

四、教學啟示

1.重視幾何直觀的培養(yǎng)

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。

幾何基本圖形蘊含了豐富的數(shù)學性質，它是數(shù)學研究的重要載體，是學生形成空間觀念的基礎。小學生的思維以具體形象思維為主，所以幾何直觀能力是積累小學經驗性幾何知識的保證，是思考數(shù)學問題、發(fā)展數(shù)形結合思想的基礎，是學生必備的一種基本數(shù)學素養(yǎng)。通俗地講，幾何直觀就是看圖想題、讀題畫圖、借圖解題的策略與手段。小學高年級的數(shù)學教學中往往會有需要借助畫圖等方式來解決的數(shù)學問題，當然這個畫圖的需求可能是題中要求的，也可能是隱喻，需要學生內化為自覺畫圖行為的。這都要求我們廣大一線教師在平時的教學中讓學生經歷過程、熟悉步驟、積累充分的學習經驗，重視圖形的變換，體驗圖形的運動，在頭腦中留下數(shù)形結合的表象。學生只有熟悉幾何直觀的應用，掌握問題研究的基本方法，才能游刃有余地面對復雜問題，并能自覺運用幾何直觀的方法解決新的數(shù)學問題。

2.重視數(shù)學建模的滲透

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在前言中指出，義務教育階段數(shù)學課程在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題的過程。模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。

在數(shù)學模型建立時，需要對該模型進行歸納與消化;在運用模型解題時，需要在記憶中提取有效模型進行應用。歷年畢業(yè)考壓軸題都蘊含著豐富的教學資源，教師可以利用一些經典的問題，加強數(shù)學模型思想的滲透，將知識、題型、解法歸類與模型化。比如例題中的比例模型、行程模型、幾何模型等，教師要使學生能辨認它屬于哪一類模型，或是由哪些基本模型復合而成，然后加以提煉，使解題有章可循，提升解題效率。這些經歷有助于學生初步形成模型思想。在日常教學中，要設計有效的數(shù)學活動讓學生經歷完整的建模過程，通過提煉模型→識別模型→理解模型→運用模型，促進學生在反思和感悟中形成模型思想，并內化為自身的一種核心素養(yǎng)。

3.重視過程性分析的運用

思維具有過程性決定了思維的動態(tài)性，即問題的思維過程包含知識搜索及結論推理的過程。在知識搜索的過程中，結合結論推理得出相關結論，利用這些結論探索解題方法的分析方式即為過程性分析。

重視過程性分析，即在學習的過程中重視經驗性知識的累積，并在解決問題的過程中經歷提取經驗性知識。學生在解決壓軸題時，往往會出現(xiàn)在限定的時間內無法立刻破題的現(xiàn)象，這就需要搜集有用條件，進行分析與推理。這個過程就需要知識完備。比如，例題中出現(xiàn)比例尺，那就需要比例尺的知識完備。比例尺從類別上看有兩種，分別是數(shù)值比例尺與線段比例尺。這時，須結合題中信息，確定是哪種比例尺。比例尺從應用上看也有兩種，分別是求實際距離與求圖上距離。綜上分析，例題是根據已知的比例尺與實際距離求圖上距離，又涉及了“位置與方向”的綜合應用以及繪制簡易路線圖、方位圖等思維下枝。

4.重視學習習慣的養(yǎng)成

在數(shù)學學習過程中形成的意志品質和學習習慣對學生今后的學習與處事都將產生深刻的影響。解題教學中，教師通過分析問題、預測結果、探尋方法、解答格式等程序，培養(yǎng)學生處理問題的預見能力、思維能力和意志力?！皣乐斔季S，規(guī)范表達”是學生日積月累才能養(yǎng)成的習慣，很難在短暫的復習階段做出明顯的改進，這就要求教師要在平時的教學中一點一滴地培養(yǎng)學生良好的思考和解題習慣，引導他們做到分析有條理、推理有依據、解題有過程，從而形成良好的思維品質。

（責編 吳美玲）