劉旭遙

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 136000）

0 引 言

離散系統(tǒng)在綜合與分析問題上的研究，目前國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)取得了較好的研究成果[1-8]。但是，與具有參數(shù)不確定離散系統(tǒng)的魯棒性能相關(guān)聯(lián)的結(jié)果仍然存在很多不足，需要進(jìn)一步補(bǔ)充和完善。文獻(xiàn)[9-11]應(yīng)用離散時(shí)間系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，但是由于非線性系統(tǒng)本身具有一定的復(fù)雜性，往往對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制造成困難。本文采用Lyapunov函數(shù)方法，結(jié)合線性矩陣不等式技術(shù)，得出不確定離散系統(tǒng)等價(jià)的線性矩陣不等式的一個(gè)充分條件。

1 問題描述

針對(duì)具有參數(shù)不確定性的離散系統(tǒng)：

其中，x(k)∈Rn是狀態(tài)向量，u(k)∈Rm是控制輸入，w(k)∈Rp是外部干擾輸入，z0(k)∈Rq、z1(k)∈Rr是調(diào)整后的輸出，A、B1、B2、C0、C1、D0和D1是實(shí)常數(shù)矩陣，ΔB1是不確定實(shí)矩陣，具有以下形式：

γ＞0為狀態(tài)反饋控制律，有：

得到閉環(huán)系統(tǒng)：

引理1：給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y、D和E，其中Y是對(duì)稱的，則Y+DFE+ETFTDT＜0。對(duì)于所有滿足FTF≤I的矩陣F，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε＞0時(shí)，則Y+εDDT+ ＜ε-1ETE0。

定理1：給定一個(gè)常數(shù)γ＞0和式（8），A—c漸近穩(wěn)定，且||T(z)||∞＜γ，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)α＞0，則：

有一個(gè)正定矩陣P，所以γ2α-1I-B2TPB2＞0，則：

2 主要成果

定理2：存在常數(shù)α＞0和對(duì)稱正定矩陣P，使得式（9）和γ2α-1I-B2TPB2＞0成立。當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)α、β＞0和對(duì)稱正定矩陣X時(shí)，有：

證明：根據(jù)矩陣的schur補(bǔ)充性質(zhì)，矩陣不等式（9）和γ2α-1I-B2TPB2＞0成立，則：

記：

通過引理1，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)β＞0時(shí)，有：

進(jìn)一步應(yīng)用schur補(bǔ)充屬性，并代入矩陣Y的表達(dá)式，有：

將上述六階矩陣左乘和右乘矩陣diag{P-1,αI,I,I,I,I}，并記X=P-1，C0c=C0+D0VX-1，C1c=C1+D1VX-1，Ac=A+B1VX-1來獲得式（11）。

3 結(jié) 論

針對(duì)具有參數(shù)不確定離散系統(tǒng)，利用Lyapunov函數(shù)方法，結(jié)合線性矩陣不等式技術(shù)，在引理1的基礎(chǔ)上，得出了不確定離散系統(tǒng)等價(jià)的線性矩陣不等式的一個(gè)充分條件。