吳邵慶 范剛 李彥斌

摘要： 針對纖維編織復(fù)合材料宏觀力學(xué)參數(shù)空間分布的非均勻特性，提出基于正交展開的復(fù)合材料等效參數(shù)分布場識別方法，利用有限測點加速度響應(yīng)信息識別復(fù)合材料梁上連續(xù)分布的等效彈性參數(shù)。基于Legendre正交多項式的參數(shù)分布場模型，推導(dǎo)了加速度頻響函數(shù)對正交多項式系數(shù)的靈敏度，通過迭代求解優(yōu)化問題識別復(fù)合材料梁沿軸向連續(xù)分布彈性參數(shù)場。以兩端固支Euler-Bernoulli梁為研究對象開展數(shù)值仿真研究，驗證識別方法的正確性;進一步開展復(fù)合材料梁模態(tài)試驗，利用實測頻響函數(shù)識別非均勻復(fù)合材料梁的楊氏模量場。結(jié)果顯示，利用識別得到的等效楊氏模量場重構(gòu)的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)與試驗值高度吻合，表明識別得到的等效楊氏模量場能有效表征梁的剛度分布，且該識別方法對測量噪聲具有魯棒性。

關(guān)鍵詞： 復(fù)合材料梁; 參數(shù)分布場識別; 正交多項式; 靈敏度分析; 試驗驗證

中圖分類號： V214.8; O313.7 ?文獻標(biāo)志碼： A ?文章編號： 1004-4523（2019）05-0739-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.001

引 言

纖維編織復(fù)合材料綜合了纖維增強體和基體的優(yōu)勢[1]，具有比強度高、比模量大、耐高溫和材料力學(xué)性能可設(shè)計等優(yōu)點，在航空航天等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2-3]。相比傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的設(shè)計和分析要求更高，準(zhǔn)確的復(fù)合材料參數(shù)獲取方法是結(jié)構(gòu)設(shè)計和分析的基礎(chǔ)。纖維增強復(fù)合材料由于纖維尺寸和纖維排列方式[4]、基體中的孔洞和微裂紋、纖維和基體界面特性的分散性、以及制造工藝的復(fù)雜性等諸多因素的影響，其材料宏觀力學(xué)性能在空間分布上存在非均勻特性。這種非均勻的特性由于諸多不可控因素的影響，并無明顯的分布規(guī)律，呈現(xiàn)一種隨機的特征。復(fù)合材料宏觀力學(xué)性能的非均勻性在一定程度上影響了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，忽略材料非均勻的建模和分析技術(shù)制約了復(fù)合材料在先進航空航天結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。對復(fù)合材料的非均勻力學(xué)參數(shù)進行識別，將提高現(xiàn)有結(jié)構(gòu)設(shè)計和分析的精度，有助于復(fù)合材料的優(yōu)越性能在先進航空航天結(jié)構(gòu)中得到更加充分地發(fā)揮。

現(xiàn)有復(fù)合材料宏觀等效參數(shù)的識別方法大多建立在材料力學(xué)性能均質(zhì)化假設(shè)基礎(chǔ)上，主要有理論分析、有限元計算[5]、試驗測量等。Shokrieh等[6]建立了二維三軸編織復(fù)合材料的有限元單胞模型，基于均勻化理論并通過體積平均方法對復(fù)合材料的力學(xué)參數(shù)和性能進行預(yù)測。高思陽等[7]基于單胞模型，預(yù)測了纖維編織復(fù)合材料的剛度。徐焜等[8]基于細(xì)觀有限元建模方法，建立了三維五向編織復(fù)合材料宏觀等效力學(xué)性能的分析模型。對于簡單的均質(zhì)化材料參數(shù)也可通過試驗直接測量獲取。劉振國等[9]通過單向靜力拉伸試驗研究了三維全五向編織復(fù)合材料耳片接頭的力學(xué)性能。然而，針對非均勻復(fù)合材料的彈性參數(shù)分布場，則無法通過試驗測量直接獲取。傳統(tǒng)的材料彈性參數(shù)獲取方法較少關(guān)注復(fù)合材料宏觀彈性參數(shù)在空間分布上的非均勻性，然而均質(zhì)化假設(shè)一定程度上會影響復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的精度以及力學(xué)分析結(jié)果的可靠性。

近年來，結(jié)合數(shù)值分析和試驗的間接識別方法逐漸被應(yīng)用于復(fù)合材料宏觀等效參數(shù)的獲取。該方法能同時兼顧有限元方法和試驗測量方法的優(yōu)勢，建立更合理且準(zhǔn)確的復(fù)合材料參數(shù)化模型，提高復(fù)合材料結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模精度。Mehrez等[10]開展了基于結(jié)構(gòu)固有頻率的復(fù)合材料梁模型各單元等效彈性模量的識別，利用不同單元的等效彈性模量表征復(fù)合材料彈性參數(shù)空間分布的非均勻特征;范剛等[11]基于復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，完成了類似的識別工作。然而，單元等效彈性模量識別結(jié)果并無法反映單元內(nèi)不同部位處的剛度分布，如果需要更準(zhǔn)確的表征結(jié)構(gòu)非均勻特征，則需要識別隨空間連續(xù)分布的彈性參數(shù)場。Adhikari等[12]將空間分布的彈性模量場假設(shè)為包含不確定性的隨機場模型，基于Karhunen-Loeve展開和結(jié)構(gòu)固有頻率，采用模型修正技術(shù)識別了復(fù)合材料梁的彈性參數(shù)隨機分布場。Jiang等[13]基于復(fù)合材料板的振動試驗數(shù)據(jù)，采用隨機模型修正方法，識別了編織復(fù)合材料不確定性參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。Sepahvand等[14]基于復(fù)合材料板的模態(tài)試驗數(shù)據(jù)，采用基于廣義混沌多項式的隨機反問題識別方法，獲取了考慮復(fù)合材料參數(shù)不確定性的彈性參數(shù)隨機模型。

本文針對纖維編織復(fù)合材料，考慮了復(fù)合材料參數(shù)隨空間分布的非均勻特性，基于Legendre正交多項式展開的參數(shù)分布場模型和靈敏度分析方法，提出了復(fù)合材料連續(xù)分布參數(shù)場的識別方法。該方法適用于非均勻復(fù)合材料梁，并具有推廣到板等更復(fù)雜結(jié)構(gòu)形式的應(yīng)用前景，能夠為復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的高精度動力學(xué)建模以及后續(xù)動響應(yīng)預(yù)示和動強度評估提供更準(zhǔn)確的參數(shù)化模型。

1 連續(xù)分布參數(shù)場識別原理

纖維編織復(fù)合材料宏觀力學(xué)性能在空間分布上存在非均勻特性，通過正交多項式擬合其空間分布場函數(shù)來表征其空間非均勻特性，并建立結(jié)構(gòu)彈性參數(shù)分布場模型和加速度頻響函數(shù)之間的映射關(guān)系，進而采用基于靈敏度分析的模型修正方法識別復(fù)合材料宏觀等效參數(shù)的空間分布場。本節(jié)僅以復(fù)合材料梁楊氏模量沿軸向隨空間分布的非均勻特性為例，假定其他力學(xué)參數(shù)為均勻分布，闡述識別方法的基本原理。

1.1 Legendre正交多項式

正交多項式具有正交、完備的特點，一定階數(shù)的正交多項式疊加，可以很好地擬合復(fù)合材料楊氏模量空間分布函數(shù)[15]。本文選擇Legendre正交多項式作為正交展開的基函數(shù)。

基于正交展開識別復(fù)合材料梁等效楊氏模量場的步驟為：

1） 根據(jù)式（5），建立楊氏模量場的正交多項式模型，將楊氏模量場的識別問題轉(zhuǎn)換為正交多項式系數(shù)的估計問題;

2） 基于有限元方法，建立如式（7）中所示的正交多項式系數(shù)與結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)之間的映射關(guān)系;

3） 采用靈敏度分析方法構(gòu)造如式（12）中所示的優(yōu)化問題，通過迭代求解式（13），求解系數(shù)向量b;

4） 利用式（5）重構(gòu)待識別的復(fù)合材料梁等效楊氏模量場。

對于復(fù)合材料中可能存在非均勻性的其他參數(shù)，如剪切模量、泊松比和密度等，該方法也同樣適用，且能夠統(tǒng)一考慮多參數(shù)工況。在實際工程中，需先根據(jù)相對靈敏度分析選取對結(jié)構(gòu)力學(xué)特性敏感性較大的參數(shù)作為待識別參數(shù)，并假定其他參數(shù)為均勻分布。由于正交多項式為全局正交基，該方法更適用于參數(shù)隨空間連續(xù)緩慢變化的工況。

針對二維結(jié)構(gòu)以及更加復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，本文提出的方法在結(jié)構(gòu)有限元模型與彈性參數(shù)分布場模型參數(shù)之間的映射關(guān)系，以及相對彈性參數(shù)分布場模型參數(shù)的靈敏度推導(dǎo)等兩個方面仍然可以推廣適用;然而，當(dāng)二維或更加復(fù)雜的結(jié)構(gòu)中包含不規(guī)則幾何邊界時，正交多項式模型并無法直接應(yīng)用于包含不規(guī)則邊界的彈性參數(shù)分布場的擬合中，需要建立不規(guī)則幾何邊界與二維正交多項式函數(shù)之間的映射關(guān)系[19]。

2 數(shù)值仿真研究

2.1 識別算法驗證 ?為驗證所提出的分布參數(shù)場識別方法的有效性，以一兩端固支Euler-Bernoulli梁結(jié)構(gòu)為例，開展數(shù)值仿真研究，本算例中僅考慮梁結(jié)構(gòu)楊氏模量沿軸向的空間不均勻分布，假定其他材料參數(shù)為均勻。

建立如圖1所示復(fù)合材料梁的有限元模型，梁的長×寬×高分別為220 mm×15 mm×3 mm，幾何參數(shù)如表 1所示。根據(jù)式（5），建立沿軸向分布的楊氏模量場的正交多項式模型，將正交多項式系數(shù)作為待識別的參數(shù)。

取前9階正交多項式級數(shù)進行擬合，設(shè)定正交多項式系數(shù)參考值和初始值，如表2中所示。正交多項式初始值的選取會影響迭代算法的收斂性。彈性參數(shù)場的正交多項式模型中，正交多項式系數(shù)b0表征楊氏模量場的均值，其初值一般取同一批次復(fù)合材料梁三點彎試驗獲得的楊氏模量的均值。在此次仿真分析中，由于其參考值為4，選取b0的初始值為5。其他階次的正交多項式級數(shù)表征材料參數(shù)空間分布的非均勻性，由于彈性模量隨空間分布不會偏離過大，因此這些系數(shù)一般不宜取過大的值，系數(shù)的初始值范圍一般推薦為[-2，2]，根據(jù)具體材料情況，可適當(dāng)擴大其范圍。將系數(shù)參考值和初始值代入Legendre正交多項式級數(shù)中，分別得到參考有限元模型和初始有限元模型的楊氏模量場，如圖2所示。

在2號節(jié)點處施加頻域單位載荷，分別計算初始有限元模型與參考有限元模型上其他各節(jié)點處的加速度頻響函數(shù)，如圖3中所示。采用基于靈敏度的方法構(gòu)造優(yōu)化問題，進行迭代求解，識別梁結(jié)構(gòu)楊氏模量沿軸向的空間分布。在基于頻響函數(shù)的參數(shù)識別過程中，頻率點ω的選取會影響識別的精度和效率，應(yīng)優(yōu)先選取模型各測點處頻響函數(shù)曲線峰值頻帶附近的頻率點，避免選擇參考模型與初始模型頻響函數(shù)曲線對應(yīng)峰值之間的頻率點[20]。

部分正交多項式系數(shù)的迭代收斂過程如圖4（b）所示，經(jīng)過72次迭代后，各正交多項式參數(shù)收斂于參考值，得到如表2中所示的Legendre正交多項式系數(shù)識別值。由表2可知，識別相對誤差均小于1%。將識別出的正交多項式系數(shù)代入Legendre正交多項式級數(shù)中，得到如圖2中所示的等效楊氏模量場。結(jié)果表明：識別得到的等效楊氏模量場與參考分布場高度吻合。

為驗證識別后復(fù)合材料梁模型的正確性，將識別得到的等效楊氏模量場代入有限元分析模型中，得到如圖3中所示的由識別參數(shù)場建立的有限元模型的加速度頻響函數(shù)，與參考模型對應(yīng)的加速度頻響函數(shù)曲線高度吻合，驗證了本文所提方法的正確性。

2.2 正交多項式模型收斂性討論

在參數(shù)分布場識別過程中，正交多項式模型中多項式階數(shù)需要選定。正交多項式階數(shù)的選取會影響識別結(jié)果的收斂性，下面開展不同正交多項式階數(shù)工況下的識別結(jié)果收斂性研究。

假定復(fù)合材料梁的楊氏模量場函數(shù)為一多項式函數(shù)，多項式系數(shù)參考值如表2所示。分別選取前8，9和10階正交多項式級數(shù)進行擬合，并采用1.3節(jié)中的參數(shù)識別方法進行正交多項式系數(shù)識別。三種工況下正交多項式系數(shù)迭代過程如圖4所示，識別得到不同擬合階數(shù)的各正交多項式系數(shù)如表3所示，將識別得到的各正交多項式系數(shù)代入正交多項式級數(shù)中，得到如圖5所示的不同擬合階數(shù)的楊氏模量場識別結(jié)果。

由圖4（a）可知，當(dāng)采用10階多項式進行擬合時，通過156步迭代后，識別的正交多項式系數(shù)收斂于如表2中參考值;由圖4（b）可知，當(dāng)采用9階多項式進行擬合時，只需通過72步迭代，識別的正交多項式系數(shù)收斂于如表2中參考值;由圖4（c）可知，采用8階多項式進行擬合時，多個正交多項式系數(shù)無法收斂至參考值，迭代進行到156步后被強行終止，得到如圖5所示分布楊氏模量場識別結(jié)果。

由表3可知，采用10階正交多項式擬合的前9階系數(shù)識別結(jié)果與采用9階正交多項式擬合的系數(shù)識別結(jié)果基本一致，且采用10階正交多項式擬合時，第10階正交多項式系數(shù)識別結(jié)果是一個相對小量。

由此可知：在此工況下，正交多項式取9階時，識別結(jié)果收斂。選取更高階數(shù)的多項式模型，識別精度提高不明顯，但計算成本升高;選取低階模型時，雖然正交多項式系數(shù)在迭代過程中可以收斂，但是識別誤差相對較大。因此，識別過程中正交多項式模型階次的定階準(zhǔn)則為：采用不同階次材料參數(shù)分布場正交多項式模型識別結(jié)果的收斂性來定階，選取收斂結(jié)果所對應(yīng)正交多項式模型的最低階次作為材料參數(shù)分布場正交多項式模型的最終階次。在2.1節(jié)的算法驗證中，選取收斂的最低階次模型，即前9階Legendre正交多項式系數(shù)，進行楊氏模量場擬合。

如材料參數(shù)場分布規(guī)律已知，正交多項式模型的階次可以通過參數(shù)分布場函數(shù)的最高頻率來確定[19]。然而，針對本文研究的非均勻復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，其材料參數(shù)分布場受材料編織形式、加工工藝等影響呈現(xiàn)隨機的特征，其分布規(guī)律事先并無法預(yù)知，本研究中采用不同階次材料參數(shù)分布場正交多項式模型識別結(jié)果的收斂性來定階。

2.3 邊界條件對識別結(jié)果影響討論

為研究本文所提方法在不同邊界條件下的適用性，在與上述仿真算例僅邊界條件不同的情況下，開展基于懸臂Euler-Bernoulli梁的數(shù)值仿真研究。建立如圖6所示懸臂梁有限元模型。

在2號點處施加頻域內(nèi)單位載荷，計算得到其他各節(jié)點處的加速度頻響函數(shù)。識別得到如圖2中所示的等效楊氏模量場，并將識別得到的等效楊氏模量場代入懸臂梁有限元計算模型中，計算加速度頻響函數(shù)，并與參考值比較。圖7中給出了由識別參數(shù)場建立的有限元模型上各節(jié)點處的加速度頻響函數(shù)與參考值對比結(jié)果，驗證了識別方法對邊界條件的魯棒性。

由圖2可知，在固支-自由邊界條件下的復(fù)合材料梁的等效楊氏模量場識別結(jié)果與參考值在自由端附近存在一定的誤差，主要原因為自由端附近的楊氏模量對結(jié)構(gòu)的整體剛度“貢獻較小”，頻響函數(shù)對自由端附近的楊氏模量的靈敏度值相對于固支端較小，導(dǎo)致自由端附近楊氏模量場識別結(jié)果存在一定的誤差。整體而言，兩端固支邊界條件下的復(fù)合材料梁的等效楊氏模量場識別結(jié)果與參考值吻合程度更高。

3 試驗研究

對本文所提出的復(fù)合材料等效參數(shù)分布場識別方法開展試驗研究。首先，以呈現(xiàn)明顯非均勻特征的C/C復(fù)合材料梁為研究對象，開展模態(tài)試驗，得到梁各測點處的加速度頻響函數(shù);進一步，基于靈敏度分析構(gòu)造優(yōu)化問題，通過迭代求解識別C/C復(fù)合材料梁沿軸向的等效空間分布楊氏模量場。

3.1 試驗系統(tǒng)

C/C復(fù)合材料試件為二維正交編織層合結(jié)構(gòu)，共由6層平鋪而成。試件幾何尺寸為300 mm×15 mm×3 mm，夾具間梁的有效長度為220 mm，因此，梁的有限元模型尺寸與仿真分析模型一致。由于梁長度方向的尺寸遠(yuǎn)大于厚度和寬度方向，因此僅需考慮復(fù)合材料梁楊氏模量沿軸向隨空間分布的非均勻性，假定其他材料參數(shù)為均勻分布。

采用錘擊法開展模態(tài)試驗，試驗系統(tǒng)如圖8所示，通過夾具將試件兩段固支，采用單點激勵多點拾振的方式開展試驗。由于試件質(zhì)量較小，采用非接觸式的激光位移計測量試件各測點處的動位移響應(yīng)，克服傳統(tǒng)接觸式測量方法由于增加傳感器質(zhì)量而影響測量精度的缺點。通過力錘在測點11施加脈沖激勵，同時采用激光位移計測量測點2至10（如圖1所示）的響應(yīng)。根據(jù)各測點處的激勵信號和響應(yīng)信號，計算得到各測點處的位移頻響函數(shù)。由于加速度頻響值相對彈性模量的靈敏度比位移頻響值更大，因此將位移頻響值乘以ω2得到加速度頻響值，開展基于加速度頻響函數(shù)的彈性參數(shù)分布場識別。

圖9中給出了部分測點處的實測加速度頻響函數(shù)，測量頻段為0-1250 Hz。由圖9可知，結(jié)構(gòu)的前兩階固有頻率分別為340，975 Hz，低頻段加速度頻響曲線較為光滑，在高頻段加速度頻響值波動稍大，主要是實測位移中包含噪聲，導(dǎo)致位移頻響函數(shù)中包含噪聲，ω2會隨著頻率的增加迅速增加，引起加速度頻響函數(shù)在高頻段噪聲的影響效果被放大。為減小噪聲對識別結(jié)果的影響，采用小波分析方法對試驗獲得的加速度頻響函數(shù)進行去噪處理[21]，圖10給出了5號測點去噪前后的加速度頻響函數(shù)對比結(jié)果。

3.2 基于實測頻響的參數(shù)分布場識別

根據(jù)1.3節(jié)中的識別步驟，開展基于實測加速度頻響函數(shù)的復(fù)合材料梁等效楊氏模量場識別，識別獲得的正交多項式系數(shù)如表4所示。將識別得到的正交多項式系數(shù)代入式（5），得到如圖11所示的復(fù)合材料梁等效楊氏模量場識別結(jié)果。由于固支邊界條件對試件固支端附近梁的抗彎剛度有影響，導(dǎo)致試件固支端附近梁的楊氏模量存在一定的誤差，圖11中僅給出試件0.02-0.20 m段的楊氏模量識別結(jié)果。

將識別得到的復(fù)合材料等效楊氏模量場代入有限元模型中，計算得到各測點處的加速度頻響函數(shù)，并與試驗值比較。圖12中給出了部分測點處的對比結(jié)果。可以發(fā)現(xiàn)：由識別得到的等效楊氏模量場建立的有限元模型的加速度頻響函數(shù)與實測加速度頻響函數(shù)曲線在低頻段吻合度較好， 高頻段誤差相對稍大，主要是因為高頻段實測加速度頻響值受噪聲信號的影響相對較大?？傮w而言，識別得到的加速度頻響函數(shù)結(jié)果較理想，進一步驗證了識別獲得的復(fù)合材料梁等效楊氏模量場的正確性。

為驗證本文所提參數(shù)分布場識別方法在不同試驗邊界條件下的適用性，采用3.1節(jié)中的試驗方法，進一步開展復(fù)合材料懸臂梁的楊氏模量分布場識別，懸臂梁模態(tài)試驗系統(tǒng)如圖13所示。由1.3節(jié)中的識別法，識別得到如圖11所示的等效楊氏模量場?？紤]到邊界條件對識別結(jié)果的影響，在此僅取試件0.02-0.20m段的楊氏模量識別結(jié)果。將識別得到的結(jié)果代入有限元計算模型中，得到識別后模型各測點處的加速度頻響函數(shù)，并與試驗值比較。

圖14中給出了部分測點處的加速度頻響函數(shù)對比結(jié)果，可以看出，由識別參數(shù)場計算得到的加速度頻響函數(shù)與試驗值基本吻合。

由圖11可知，固支-自由邊界條件下的復(fù)合材料梁等效楊氏模量場識別結(jié)果與兩端固支邊界條件下的識別結(jié)果基本一致，驗證了本文所提非均勻復(fù)合材料等效參數(shù)識別方法在不同邊界條件下均適用。

4 結(jié) 論

本文考慮了纖維編織復(fù)合材料參數(shù)的空間非均勻分布，結(jié)合試驗測量和有限元分析，開展了復(fù)合材料參數(shù)分布場間接識別方法研究。通過正交多項式擬合表征復(fù)合材料參數(shù)的空間分布，解決了利用有限測點響應(yīng)信息識別具有無限未知量的非均勻連續(xù)分布參數(shù)模型的問題?；跀?shù)值仿真研究驗證了該方法的正確性，討論了正交多項式模型階數(shù)對識別結(jié)果收斂性的影響，并給出了模型的定階準(zhǔn)則;同時驗證了該方法在不同邊界條件下的適用性。通過試驗研究，識別得到了C/C復(fù)合材料梁沿軸向隨空間分布的等效楊氏模量場。

文中僅研究了復(fù)合材料楊氏模量沿單向空間分布的非均勻性，開展了復(fù)合材料非均勻參數(shù)分布場識別方法研究，對于剪切模量、泊松比、質(zhì)量密度等多種宏觀材料參數(shù)同時存在非均勻特性的情況，該方法同樣能夠統(tǒng)一考慮。在實際工程應(yīng)用中，需先根據(jù)結(jié)構(gòu)分析和相對靈敏度分析選取對結(jié)構(gòu)力學(xué)特性敏感性較大的參數(shù)作為待識別參數(shù)。該方法更適用于參數(shù)隨空間連續(xù)緩慢變化的工況，正交基的選取對識別結(jié)果有一定影響，需要開展進一步的深入研究。

參考文獻：

[1] 周青華， 王家序， 楊 勇， 等. 增強體對復(fù)合材料接觸性能的影響[J]. 復(fù)合材料學(xué)報， 2017， 34（2）： 389-399.

Zhou Qinghua， Wang Jiaxu， Yang Yong， et al. Influence of reinforcements on the contact performance of composites[J]. Acta Materiae Compositae Sinica， 2017， 34（2）： 389-399.

[2] 汪星明， 邢譽峰. 三維編織復(fù)合材料研究進展[J]. 航空學(xué)報， 2010， 31（5）： 914-927.

Wang Xingming， Xing Yufeng. Developments in research on 3D braided composites[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2010， 31（5）： 914-927.

[3] 馬立敏， 張嘉振， 岳廣全， 等. 復(fù)合材料在新一代大型民用飛機中的應(yīng)用[J]. 復(fù)合材料學(xué)報， 2015， 32（2）： 317-322.

Ma Limin， Zhang Jiazhen， Yue Guangquan， et al. Application of composites in new generation of large civil aircraft[J]. Acta Materiae Compositae Sinica， 2015， 32（2）： 317-322.

[4] 譚祥軍， 楊慶生. 纖維束分布對復(fù)合材料有效性能的影響[J]. 復(fù)合材料學(xué)報， 2009， 26（3）：188-194.

Tan Xiangjun， Yang Qingsheng. Influence of microstructure on effective properties of fiber bundle reinforced composites[J]. Acta Materiae Compositae Sinica， 2009， 26（3）： 188-194.

[5] 張 超， 許希武， 許曉靜. 三維多向編織復(fù)合材料宏細(xì)觀力學(xué)性能有限元分析研究進展[J]. 復(fù)合材料學(xué)報， 2015， 32（5）： 1241-1251.

Zhang Chao， Xu Xiwu， Xu Xiaojing. Research progress in finite element analysis on macro-meso mechanical properties of 3D multi-directional braided composites[J]. Acta Materiae Compositae Sinica， 2015， 32（5）： 1241-1251.

[6] Shokrieh M M， Mazloomi M S. An analytical method for calculating stiffness of two-dimensional tri-axial braided composites[J]. Composite Structures， 2010， 92（12）： 2901-2905.

[7] 高思陽， 張 晶， 付 強， 等. 纖維復(fù)合材料剛度設(shè)計的力學(xué)原理及其應(yīng)用[J]. 航空學(xué)報， 2009， 30（7）： 1227-1235.

Gao Siyang， Zhang Jing， Fu Qiang， et al. Mechanical principles for stiffness design of fibrous composites and their application[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2009， 30（7）： 1227-1235.

[8] 徐 焜， 許希武. 三維五向編織復(fù)合材料宏細(xì)觀力學(xué)性能分析[J]. 宇航學(xué)報， 2008， 29（3）：1053-1058.

Xu Kun， Xu Xiwu. Mechanical analysis of 3D five-directional braided composites based on unit cell[J]. Journal of Astronautics， 2008， 29（3）：1053-1058.

[9] 劉振國， 林 強， 亞紀(jì)軒， 等. 三維全五向編織耳片接頭力學(xué)性能試驗研究[J]. 航空學(xué)報， 2016， 37（7）： 2225-2233.

Liu Zhenguo， Lin Qiang， Ya Jixuan， et al. experimental research on mechanical properties of 3D full 5-direactional braided composites lugs[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2016， 37（7）： 2225-2233.

[10] Mehrez L， Moens D， Vandepitte D. Stochastic identification of composite material properties from limited experimental databases， part I： Experimental database construction[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2012， 27： 471-483.

[11] 范 剛， 吳邵慶， 李彥斌， 等. 基于頻響函數(shù)的復(fù)合材料空間分布模量場識別[J]. 航空學(xué)報， 2017， 38（8）：1-9.

Fan Gang， Wu Shaoqing， Li Yanbin， et al. Identification of spatially distributed modulus field on the composite material based on frequency response function[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2017，38（8）： 1-9.

[12] Adhikari S， Friswell M I. Distributed parameter model updating using the Karhunen-Loeve expansion[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2010， 24（2）： 326-339.

[13] Jiang D， Li Y B， Fei Q G， et al. Prediction of uncertain elastic parameters of a braided composite[J]. Composite Structures， 2015， 126： 123-131.

[14] Sepahvand K， Marburg S. Identification of composite uncertain material parameters from experimental modal data[J]. Probabilistic Engineering Mechanics， 2014， 37： 148-153.

[15] 張 方， 秦遠(yuǎn)田， 鄧吉宏. 復(fù)雜分布動載荷識別技術(shù)研究[J]. 振動工程學(xué)報， 2006， 19（1）： 81-85.

Zhang Fang， Qin Yuantian， Deng Jihong. Research of identification technology of dynamic load distributed on the structure[J]. Journal of Vibration Engineering， 2006， 19（1）： 81-85.

[16] Mottershead J E， Link M， Friswell M I. The sensitivity method in finite element model updating： A tutorial[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2011， 25（7）： 2275-2296.

[17] Jiang D， Zhang P， Fei Q G， et al. Comparative study of model updating methods using frequency response function data[J]. Journal of Vibroengineering， 2014， 16（5）： 2305-2318.

[18] 費慶國， 張令彌， 郭勤濤. GARTEUR有限元模型修正與確認(rèn)研究[J]. 航空學(xué)報， 2004， 25（4）： 372-375.

Fei Qingguo， Zhang Lingmi， Guo Qintao. Case study of FE model updating and validation via an aircraft model structure[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2004， 25（4）： 372-375.

[19] 張 方， 秦遠(yuǎn)田.工程結(jié)構(gòu)動載荷識別方法[M].北京：國防工業(yè)出版社，2011.

Zhang Fang， Qin Yuantian. Dynamic Load Identification Method in Engineering Structure[M]. Beijing： National Defense Industry Press， 2011.

[20] Fei Q G， Jiang D， Zhang D H， et al. Finite element model updating using base excitation response function[J]. Journal of Vibroengineering， 2013， 15（1）：9-22.

[21] Dong W， Ding H. Full frequency de-noising method based on wavelet decomposition and noise-type detection[J]. Neurocomputing， 2016， 214： 902-909.

Abstract： An equivalent distributed parameter identification method of composite materials based on orthogonal expansion is proposed， which aims to consider the heterogeneity of the spatially distributed macroscopic mechanical parameters of fiber braided composites. The equivalent continuously distributed parameter of a composite beam is identified by using the acceleration response measured at limited points. Based on the distributed parametric model represented by Legendre orthogonal polynomials， the sensitivity of the acceleration frequency response function over the coefficients of orthogonal polynomial is derived in this paper， then the continuously distributed parameter field of the composite beam along the longitudinal direction is identified by solving the optimization problem iteratively. Numerical simulations on an Euler-Bernoulli beam with both end fixed are conducted to verify the validity of the identification method. Modal test on a composite beam is further carried out and the Young′s modulus field of the heterogeneous composite beam is identified from the measured frequency response functions. Results show that the constructed frequency response function by using the identified equivalent Young′s modulus field agrees well with that from experiment. The identified equivalent Young′s modulus field can effectively characterize the stiffness distribution of the composite beam， and the identification method is robust to the measurement noise.

Key words： composite beam; identification of parameter distribution field; orthogonal polynomial; sensitivity analysis; experimental verification

作者簡介： 吳邵慶（1982-），男，副教授。電話：（025）52090521;E-mail：cesqwu@seu.edu.cn