劉 洪 濱

(新疆維吾爾自治區(qū)水利水電科學(xué)研究院，烏魯木齊 830049 )

0 引 言

一定水體里溶解的氧氣含量稱為溶解氧(DO)。無論是對(duì)水塘、湖泊、河流還是海洋里的水生生物而言，溶解氧都是一個(gè)影響其生存的重要因素[1]。保持合理的溶解氧水平，對(duì)于維持水生生物的多樣性，保護(hù)水生態(tài)環(huán)境具有重要的意義[2]。利用低水頭水工建筑物增加水體中溶解氧的過程稱為復(fù)氧。復(fù)氧操作常用于耗氧性污染河流中。相比于曝氣生物池和耗氧生物接觸氧化等高耗能方法，低水頭泄水建筑物自摻氣的特性能夠?qū)崿F(xiàn)低耗能甚至無耗能復(fù)氧過程[3]。階梯式溢洪道是一種常見的用于此類水處理的水工建筑物。相比于其他泄流設(shè)施，階梯式溢洪道具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、抗空蝕破壞能力強(qiáng)、下游消力池造價(jià)低等優(yōu)點(diǎn)[4]。因此階梯式溢洪道的使用十分普遍。

水流經(jīng)過階梯式溢洪道主要表現(xiàn)出3種典型的流態(tài)：水舌流、過渡流和滑行流[5]。研究表明，階梯式溢洪道的流態(tài)與泄流流量、上下游水位差、階梯幾何形狀等有關(guān)。不同的流態(tài)，表現(xiàn)出不同的摻氣能力，從而影響復(fù)氧效果[1]。因此，研究這些影響因素與復(fù)氧率之間的關(guān)系十分有必要。Baylar[4, 6]等人為此曾展開了一系列的試驗(yàn)研究，討論了階梯的尺寸、流量等因素對(duì)復(fù)氧率的影響，并建立了預(yù)測(cè)復(fù)氧率的回歸方程。

支持向量機(jī)(SVM)是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法的機(jī)器學(xué)習(xí)理論。研究表明，它在解決小樣本和高度非線性問題時(shí)表現(xiàn)出極大的優(yōu)勢(shì)[7]。在水力學(xué)領(lǐng)域，目前已被廣泛用于水工建筑物的消能率、沖刷深度、洪水頻率等方面的預(yù)測(cè)[8]。最小二乘支持向量機(jī)(LSSVM)將原方法的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，從而將Lagrange乘子的求解轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)解線性方程組的問題[9]。雖然已有學(xué)者將LSSVM運(yùn)用于復(fù)氧率的預(yù)測(cè)研究[10]，但相關(guān)研究仍然較少，尤其是運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法研究參數(shù)對(duì)復(fù)氧率影響還鮮有報(bào)道。本研究將采用粒子群優(yōu)化方法優(yōu)化LSSVM算法相關(guān)參數(shù)(懲罰函數(shù)γ和核函數(shù)常數(shù)σ2)，從而建立起高精度的階梯式溢洪道復(fù)氧率預(yù)測(cè)模型。在此基礎(chǔ)上，采用平均影響值算法(MIV)研究輸入?yún)?shù)對(duì)復(fù)氧率的影響。

1 PSO-LSSVM算法

假設(shè)有m個(gè)樣本集(xi,yi)，xi是第i個(gè)樣本的輸入變量，yi是第i個(gè)樣本的輸出變量。在特征空間中的LSSVM模型可以表示為：

y(x)=ωTφ(x)+b

(1)

式中：φ為映射函數(shù)，將樣本從低維空間映射到高維空間；ω為權(quán)向量；b為偏置項(xiàng)。引入最小二乘思想，可將支持向量機(jī)的目標(biāo)函數(shù)寫成

(2)

約束條件為：

yi=ωTxi+b+ξi

(3)

式中：ξ為誤差變量；γ為懲罰函數(shù)(γ>0)。

引入拉格朗日函數(shù)可實(shí)現(xiàn)對(duì)式(2)的求解，最終得到LSSVM的非線性函數(shù)關(guān)系式：

(4)

式中：αi為拉格朗日乘子；k(x,xi)為核函數(shù)。本研究選擇高斯徑向基函數(shù)RBF作為核函數(shù)[11]。詳細(xì)關(guān)于LSSVM的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[9]。研究表明，懲罰函數(shù)γ和核函數(shù)常數(shù)σ2對(duì)LSSVM模型的性能有極大的影響[12]。因此，本研究將采用粒子群算法PSO對(duì)這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，以提高模型的預(yù)測(cè)精度。PSO-LSSVM算法流程如圖1所示。

圖1 PSO-LSSVM算法流程圖Fig.1 Flow chart of PSO-LSSVM algorithm

2 模型與數(shù)據(jù)

在實(shí)際工程中，常采用復(fù)氧率E來描述復(fù)氧效果[2]。

(5)

式中：Cu為飽和溶解氧濃度；Cd和Cs分別代表水工建筑物上、下游的溶解氧濃度。E的取值區(qū)間為[0,1]，E越大代表復(fù)氧效果越好。本研究將采用Baylar[4, 6]等人完成的一列階梯式溢洪道相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為樣本集。所有的試驗(yàn)均在寬0.3 m，深0.5 m的矩形槽中展開。試驗(yàn)裝置的布置結(jié)構(gòu)可參考文獻(xiàn)[4,6]。Baylar[4,6]等人針對(duì)5個(gè)主要影響復(fù)氧率的參數(shù)：?jiǎn)螌捔髁?q)、階梯高度(h)、水槽坡度(α)、水槽長(zhǎng)度(L)和總階梯數(shù)(N)進(jìn)行了總共126組模型試驗(yàn)。試驗(yàn)參數(shù)的基本情況見表1。試驗(yàn)流態(tài)包括了水舌水流、過度水流和滑行水流3種典型的階梯式溢洪道流態(tài)。本研究將參考文獻(xiàn)[13]，將這5個(gè)參數(shù)作為PSO-LSSVM模型的輸入變量，將復(fù)氧率E作為模型的輸出變量。在進(jìn)行建模之前，將126組數(shù)據(jù)隨機(jī)分為訓(xùn)練集和測(cè)試集，其中訓(xùn)練集包含100組數(shù)據(jù)，測(cè)試集包含26組數(shù)據(jù)。同時(shí)，將測(cè)試集和訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)按式(6)進(jìn)行歸一化處理以提高模型的穩(wěn)定性。詳細(xì)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)集可見參考文獻(xiàn)[13]。

(6)

表1 參數(shù)取值范圍Tab.1 Range of parameters

式中：xmin和xmax分別為輸入向量的最小值和最大值。

3 結(jié)果分析

3.1 PSO-LSSVM模型預(yù)測(cè)能力分析

本研究中，PSO優(yōu)化算法的最大進(jìn)化次數(shù)設(shè)置為300次，初始種群規(guī)模設(shè)置為30。懲罰函數(shù)γ的尋優(yōu)區(qū)間為[10-1,103]，核函數(shù)常數(shù)σ2的尋優(yōu)區(qū)間為[10-2,102]。最終得到的優(yōu)化后的懲罰函數(shù)γ和核函數(shù)常數(shù)σ2分別為996.228 2和0.341 5。為了對(duì)PSO-LSSVM模型的預(yù)測(cè)能力進(jìn)行綜合對(duì)比，本研究同時(shí)采用了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在相同的數(shù)據(jù)集上進(jìn)行建模。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為5-5-1，即輸入層有5個(gè)節(jié)點(diǎn)，隱含層5個(gè)節(jié)點(diǎn)，輸出層1個(gè)節(jié)點(diǎn)。圖2給出了PSO-LSSVM和BP兩個(gè)模型在訓(xùn)練集和測(cè)試集上的預(yù)測(cè)結(jié)果分布情況。圖2中，橫坐標(biāo)Emeasured表示復(fù)氧率的試驗(yàn)值，縱坐標(biāo)Epredicted表示復(fù)氧率的模型預(yù)測(cè)值。從圖2可以看出，無論是在訓(xùn)練集或是測(cè)試集上，PSO-LSSVM預(yù)測(cè)結(jié)果大多數(shù)都分布在Emeasured = Epredicted直線附近上，而BP模型的預(yù)測(cè)結(jié)果分布較為散亂，可見PSO-LSSVM模型比BP模型有更高的預(yù)測(cè)精度。

為了進(jìn)一步分析模型的精度，這里引入3個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)指標(biāo)：平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)、均方差(RMSE)和平方相關(guān)系數(shù)(R2)對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)誤差分析[14]。表2給出了3個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果。從表2可以看出，無論是在訓(xùn)練集還是測(cè)試集上，PSO-LSSVM模型預(yù)測(cè)結(jié)果的MAPE值和RMSE值都十分趨近于零，且比BP模型相應(yīng)的預(yù)測(cè)結(jié)果更小；此外，PSO-LSSVM模型預(yù)測(cè)值的R2值更加趨近于1，并且R2值在訓(xùn)練集和測(cè)試集上相差不大，說明相對(duì)于BP模型而言PSO-LSSVM模型的預(yù)測(cè)精度更高，魯棒性更好。雖然通過調(diào)整BP模型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，可以一定程度上提高模型的預(yù)測(cè)能力。但是要獲取一個(gè)高精度的BP模型結(jié)構(gòu)，需要通過試錯(cuò)法進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)。因此從效率上來說，PSO-LSSVM算法能夠比BP算法更快地得到理想的預(yù)測(cè)模型。Baylar[13]等人曾使用自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(ANFIS)在相同的數(shù)據(jù)集上進(jìn)行了建模預(yù)測(cè)。結(jié)果顯示，ANFIS在訓(xùn)練集和測(cè)試集上的R2值分別為，9.999 0×10-1和9.850 0×10-1。同PSO-LSSVM模型相比，PSO-LSVM在測(cè)試集上表現(xiàn)更好，預(yù)測(cè)結(jié)果更準(zhǔn)確。

圖2 PSO-LSSVM和BP模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of PSO-LSSVM and BP model prediction results

集合MAPEPSO-LSSVMBPRMSEPSO-LSSVMBPR2PSO-LSSVMBP訓(xùn)練集3.2030×10-56.7700×10-23.9290×10-51.6900×10-29.9984×10-17.0900×10-1測(cè)試集1.1000×10-36.7100×10-24.8996×10-41.5800×10-29.9986×10-19.3870×10-1

3.2 基于MIV的復(fù)氧率影響參數(shù)敏感性分析

平均影響值算法(MIV)是目前最常用的篩選或分析自變量參數(shù)敏感性的一種算法。其基本思想是在原始樣本X0的基礎(chǔ)上對(duì)每個(gè)自變量分別增大和減小10%得到新樣本X1和X2。將X1和X2帶入到已訓(xùn)練好的模型中，得到新的預(yù)測(cè)結(jié)果Y1和Y2，最后根據(jù)公式MIV=|Y1-Y2|/m,即可得到對(duì)應(yīng)的輸入變量的MIV值，其中m是樣本數(shù)[15]。顯然，MIV越大，表明該輸入變量對(duì)輸出變量的影響越大；相反，MIV越小，表明該輸入變量對(duì)輸出變量的影響越小。本研究基于已訓(xùn)練好的PSO-LSSVM模型，對(duì)影響階梯式溢洪道復(fù)氧率的5個(gè)參數(shù)的MIV值進(jìn)行計(jì)算。表3給出了5個(gè)參數(shù)：?jiǎn)螌捔髁?q)、階梯高度(h)、水槽坡度(α)、水槽長(zhǎng)度(L)和總階梯數(shù)(N)的MIV值。從表3可以得到，對(duì)階梯式溢洪道復(fù)氧率影響程度從大到小依次為：水槽坡度(α)、單寬流量(q)、水槽長(zhǎng)度(L)、總階梯數(shù)(N)、階梯高度(h)。

表3 各參數(shù)MIV值Tab.3 MIV values of each parameter

4 結(jié) 語

本研究采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)LSSVM的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，得到新的回歸模型PSO-LSSVM。根據(jù)公開發(fā)表文獻(xiàn)中關(guān)于階梯式溢洪道復(fù)氧率的一系列試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立起基于PSO-LSSVM模型的階梯式溢洪道復(fù)氧率預(yù)測(cè)模型。統(tǒng)計(jì)學(xué)誤差分析表明，PSO-LSSVM模型在訓(xùn)練集和測(cè)試集上的表現(xiàn)都十分出色，相比于常用的BP和ANFIS神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，PSO-LSSVM模型的預(yù)測(cè)結(jié)果精度更高，魯棒性更好。本研究還根據(jù)平均影響值MIV，評(píng)價(jià)了5個(gè)輸入?yún)?shù)對(duì)階梯式溢洪道復(fù)氧率影響程度。影響程度從大到小依次為：水槽坡度(α)、單寬流量(q)、水槽長(zhǎng)度(L)、總階梯數(shù)(N)、階梯高度(h)。上述結(jié)論可為實(shí)際工程中階梯式溢洪道體型設(shè)計(jì)時(shí)參數(shù)的選取和取值區(qū)間提供參考。