沈慶磊 鄧月

摘 ?要： 根據(jù)謠言傳播機(jī)理，提出了受媒體影響的謠言傳播的SIR（無知者-傳播者-免疫者）模型，并分別用確定性模型和隨機(jī)模型來建模。求出了確定性模型中謠言的平衡點(diǎn)，并對(duì)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性作了詳細(xì)分析。仿真結(jié)果表明，所提出的模型能正確地反映謠言信息傳播的趨勢(shì)，較為準(zhǔn)確地描述謠言的傳播過程。

關(guān)鍵詞： 媒體; 隨機(jī)微分方程; SIR; 謠言傳播; 平衡點(diǎn)

中圖分類號(hào)：TP391 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1006-8228（2019）11-11-04

Abstract： According to rumor spreading mechanism， this paper propose the media-affected SIR （Susceptible Infected Recovered ） model of rumors spread， the deterministic model and stochastic model are used respectively for modeling. The equilibrium point of rumour in deterministic model is obtained and the stability of the equilibrium point is analyzed in detail. The simulation results show that the proposed model can correctly reflect the trend of the rumors spreading and accurately describe the process of rumors spreading.

Key words： media; stochastic differential equation; SIR; rumour spreading; equilibrium

0 引言

謠言是社會(huì)交流的一種重要形式，它們的傳播在各種各樣的人類事務(wù)中扮演著重要的角色。謠言的傳播會(huì)影響一個(gè)國家的公眾輿論[1]，影響社會(huì)經(jīng)濟(jì)[2-3]，也會(huì)造成整個(gè)社會(huì)的恐慌[4-6]。有限的謠言傳播并不可怕，但是廣為傳播的有相當(dāng)規(guī)模的謠言頗有破壞力，極易引起社會(huì)騷亂。2010年12月22日某媒體曝出不實(shí)消息，稱無根豆芽可致癌，“毒豆芽”事件一經(jīng)出現(xiàn)，隨即引起社會(huì)的廣泛關(guān)注和流傳。各大網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)也經(jīng)常會(huì)曝出某某明星離婚事件，消息一經(jīng)發(fā)出，便被人們廣泛議論和傳播。

目前，國內(nèi)有一些學(xué)者對(duì)突發(fā)謠言問題進(jìn)行了研究，蘭月新對(duì)網(wǎng)絡(luò)中突發(fā)的SIR輿情謠言模型及其參數(shù)進(jìn)行了分析[7]。王超等人在SIR模型的基礎(chǔ)上提出了具有潛伏狀態(tài)的信息傳播模型，并刻畫了信息傳播過程隨時(shí)間的演化規(guī)律[8]。在經(jīng)典的謠言傳播模型上增加了冬眠者這一類新的節(jié)點(diǎn)，并討論了傳播的域值和謠言的最終傳播量?jī)烧咧g的關(guān)系[9]?？紤]了引入傳播媒介對(duì)謠言的傳播起到加速的作用，作者用平均場(chǎng)理論對(duì)謠言的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究[10]。

以上模型大多數(shù)是基于謠言的信息傳播進(jìn)行理論建模，而實(shí)際情況下，謠言會(huì)受到外界環(huán)境的影響，比如媒體對(duì)謠言的傳播會(huì)有一定的防控作用。另外模型幾乎都是在確定性模型下建立的，考慮的都是節(jié)點(diǎn)的平均狀態(tài)，沒有結(jié)合實(shí)際情況，一些隨機(jī)因素都沒有考慮進(jìn)來。首先，根據(jù)謠言傳播機(jī)理我們分別用確定性模型和隨機(jī)模型來描述謠言傳播的特征，其次在確定性模型中我們對(duì)謠言模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，最后在數(shù)值模擬中分析了這兩種模型的動(dòng)力學(xué)行為以及模型中的參數(shù)對(duì)謠言傳播的影響。

1 謠言信息傳播機(jī)制和模型

1.1 謠言信息傳播機(jī)制

謠言傳播的前提是人們直接與傳播者接觸[11]，謠言傳播的機(jī)制與傳染病是一致的。為了更清楚地介紹謠言傳播的模型，我們把所有的節(jié)點(diǎn)分成三類，用N=S（t）+ I（t） +R（t）來表示，并認(rèn)為它們是封閉的，不考慮出生和死亡等因素。其中N是總?cè)藬?shù)，S（t）表示未接收到消息的無知者，I（t）表示傳播謠言的人，R（t）表示不再傳播謠言對(duì)謠言已經(jīng)免疫的人。

根據(jù)以上謠言信息傳播過程，SIR模型的規(guī)則如圖1所示。

對(duì)SIR模型的假設(shè)如下：

⑴ 當(dāng)一個(gè)傳播者接觸一個(gè)無知者時(shí)，無知者以一定的概率變成傳播者，μ1是自身的接觸率，μ2是受媒體影響的接觸率（0<μ1<1， 0<μ2<1）。

⑵ 當(dāng)一個(gè)傳播者接觸一個(gè)免疫者時(shí)，傳播者以δ的概率變成免疫者，另一方面由于遺忘機(jī)制或者傳播者對(duì)謠言失去興趣時(shí)他們會(huì)以α的概率停止轉(zhuǎn)發(fā)謠言。

1.2 確定性模型

從以上討論中我們可以看到平衡點(diǎn)[S?，0，R?]總是存在的并且有多個(gè)值。R是一個(gè)關(guān)鍵域值決定這個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。定理1說明無知者是否滅絕不取決于初始無知者的數(shù)量。

1.3 隨機(jī)微分方程

確實(shí)性模型是一種理想的模型，而在現(xiàn)實(shí)的謠言系統(tǒng)中，隨機(jī)因素的干擾是無處不在的，因?yàn)橹{言的傳播與個(gè)人心理，習(xí)慣，感知控制，信息素養(yǎng)和動(dòng)機(jī)都有關(guān)，這種干擾在數(shù)學(xué)上用“白噪聲”來描述，一般來說，確定性模型是隨機(jī)模型的一種特例。因此，在實(shí)際問題中忽略掉系統(tǒng)的隨機(jī)性，用確實(shí)性模型來研究謠言的系統(tǒng)行為是不準(zhǔn)確的。通過這個(gè)方法我們根據(jù)公式（3）產(chǎn)生如下的隨機(jī)微分方程：

2 數(shù)值模擬

2.1 確定性微分方程的動(dòng)態(tài)分析

到目前為止，我們研究了謠言傳播機(jī)制和受媒體影響后的謠言傳播模型，并對(duì)它的確定性模型動(dòng)態(tài)性進(jìn)行了分析。為了便于對(duì)我們的數(shù)學(xué)結(jié)果的解釋，我們繼續(xù)通過數(shù)值模擬來研究它。首先，讓我們分別研究這三種節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間的演變趨勢(shì)。假設(shè)初始狀態(tài)是N=1000， S=990， I=10， R=0， μ1=0.02，μ2=0.0018， α=0.005， b=10， δ=0.007。

2.1.1 三類節(jié)點(diǎn)的變化趨勢(shì)

三類節(jié)點(diǎn)的變化趨勢(shì)如圖2所示，它們體現(xiàn)的是節(jié)點(diǎn)的平均特性，無知者和傳播者是自由變化的，它們分別用“*”和“°”表示，最終幾乎所有的節(jié)點(diǎn)都變成了用“+”表示的免疫者。然而，它們的演變規(guī)律存在明顯的差異，它們的現(xiàn)象如下。⑴無知者在前3天迅速減小并穩(wěn)定在100人，這意味著幾乎每個(gè)節(jié)點(diǎn)都獲得了信息。⑵傳播者在第2.7天以前迅速達(dá)到峰值750人，說明一開始只受到了少數(shù)人的關(guān)注，隨后有眾多人在參與謠言的討論、轉(zhuǎn)發(fā)與交流，可以看出其傳播過程呈現(xiàn)出爆炸的特點(diǎn)，之后傳播者急速下降，到第4天時(shí)穩(wěn)定在最小值0，表示這時(shí)人們對(duì)這個(gè)謠言關(guān)注度下降逐漸過渡到不再關(guān)注。⑶免疫者在2.7天后從0人迅速增加到900人，第4天后穩(wěn)定在900，表示這時(shí)大家對(duì)這個(gè)謠言的真性產(chǎn)生懷疑或已對(duì)這個(gè)謠言失去興趣，對(duì)它的討論逐漸趨于平靜。

2.1.2 參數(shù)對(duì)謠言模型的影響

首先，參數(shù)μ1對(duì)謠言傳播中的傳播節(jié)點(diǎn)的影響如圖3所示，很容易看出，傳播節(jié)點(diǎn)的演變規(guī)律存在著明顯的差異。⑴當(dāng)接觸率μ1越大，傳播的時(shí)間越早，傳播者峰值的數(shù)量也越大，信息傳播的持續(xù)時(shí)間也越短。⑵μ1的小幅增加將導(dǎo)致傳播節(jié)點(diǎn)的增加，這意味著μ1對(duì)于信息傳播是至關(guān)重要的。因此，為了抑制謠言信息的廣泛傳播，我們應(yīng)該以各種方式有效地降低謠言信息的傳播率。

其次，參數(shù)μ2對(duì)謠言傳播中的傳播節(jié)點(diǎn)的影響如圖4所示。當(dāng)受媒體影響的接觸率μ2 =0時(shí)，用“°”表示的傳播者迅速開始傳播謠言，很快，傳播者的人數(shù)達(dá)到了峰值1000，之后又迅速減少到0。當(dāng)μ2的值相應(yīng)地取0.01和0.018時(shí)，傳播速度和傳播的總?cè)藬?shù)都相應(yīng)地減少。

因此，媒體對(duì)抑制謠言的傳播起著至關(guān)重要的作用，媒體可以有效地降低無知者的接觸率、對(duì)傳播者進(jìn)行教育、提高媒體對(duì)疑議者的關(guān)注度等，能夠有效抑制謠言傳播。

2.2 隨機(jī)微分方程的動(dòng)態(tài)分析

除了增加一個(gè)方差δ=0.5外， 其它參數(shù)與上面確定性微分方程取相同的初值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果反映了個(gè)體模型的隨機(jī)性， 并顯示了受不確定性因素影響的結(jié)果，隨機(jī)微分方程揭示了謠言傳播的真實(shí)過程，這種方程更有實(shí)際意義。當(dāng)方差δ取特別小的值時(shí)，圖形就變成了上面的確實(shí)性模型的演變趨勢(shì)圖，如圖5所示。

3 結(jié)論

本文研究了一類受媒體報(bào)道影響的確定性謠言傳播模型和隨機(jī)謠言傳播模型，并對(duì)確定性的謠言傳播模型進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析，得到了它的平衡點(diǎn)并討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。最后在數(shù)值模擬中表明這兩種模型能較好的反映謠言傳播的真實(shí)情況， 并研究了參數(shù)對(duì)確定性謠言模型的影響。

文中考慮的節(jié)點(diǎn)的傳播能力是相同的，這在現(xiàn)實(shí)中是有局限性的，有些影響力比較大的節(jié)點(diǎn)它的傳播能力相應(yīng)也會(huì)大些，在以后的研究中爭(zhēng)取把這一點(diǎn)考慮進(jìn)來。將隨機(jī)微分方程應(yīng)用在謠言傳播模型處于初期階段，國內(nèi)外相關(guān)的參考文獻(xiàn)也不多見，因此這種方法還未得到接受和認(rèn)可，所以更談不上廣泛應(yīng)用。

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