羅俊玉，金朝永，陸詩(shī)敏

（廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510520）

在控制切換系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，由于系統(tǒng)的執(zhí)行器受各種非人為因素的影響，往往會(huì)發(fā)生故障，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的整體性能下降。針對(duì)這種情況，建立一個(gè)誤差系統(tǒng)，設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器的自適應(yīng)律，使其滿足在出現(xiàn)執(zhí)行器失效時(shí)，系統(tǒng)仍然保持穩(wěn)定且達(dá)到一定的性能指標(biāo)，這是一個(gè)值得深入研究的問(wèn)題。而今現(xiàn)有的研究結(jié)果，主要是通過(guò)給自適應(yīng)執(zhí)行器設(shè)計(jì)補(bǔ)償控制器來(lái)解決帶有執(zhí)行器失效的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題[1-5]?；谶@方面的探索，先假設(shè)當(dāng)執(zhí)行器只有一部分不能正常工作，剩下的部分執(zhí)行器能繼續(xù)正常工作去實(shí)現(xiàn)目標(biāo)控制。可大多數(shù)時(shí)候，這種假設(shè)是不能被滿足的。比如，當(dāng)系統(tǒng)為單輸入系統(tǒng)時(shí)，只具備單獨(dú)的執(zhí)行器，所以上述假設(shè)明顯不成立。因而我們必須去尋找新的方法，處理此類相關(guān)的問(wèn)題。除此之外，在一些特定的情況下，讓執(zhí)行器在盡可能短的時(shí)間里停止運(yùn)作是必然的[6]。由于現(xiàn)有的控制方法還不能很好地解決此類執(zhí)行器失效時(shí)所留下的弊端，故研究如何設(shè)計(jì)帶有執(zhí)行器失效在有限時(shí)間內(nèi)短暫失效的自適應(yīng)控制器，無(wú)論在理論上還是實(shí)際應(yīng)用中都能保證系統(tǒng)性能的穩(wěn)定，就具有很重要的實(shí)際意義。

1 問(wèn)題提出

首先考慮如下一類非切換系統(tǒng)

其中，x（t）∈Rn和 u（t）∈Rm分別為系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入，A∈Rn×n和 B∈Rn×m分別為具有未知參數(shù)的矩陣。

參考模型為

其中，Am∈Rn×n為Hurwitz常矩陣，Bm∈Rn×m且（Am，Bm）是可控的，r（t）∈RM為持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，xm（t）為參考模型的狀態(tài)。

一般情況下，通過(guò)自適應(yīng)控制器 u（t）的設(shè)計(jì)，使得 x（t）能夠漸近跟蹤 xm（t），即狀態(tài)跟蹤誤差 e（t）=x（t）-xm（t），滿足。然而，在實(shí)際的系統(tǒng)控制運(yùn)行中，由于受一些非人為因素的影響，導(dǎo)致所有執(zhí)行器失效而控制器傳遞信息失敗，在控制器傳遞信息失敗的相應(yīng)時(shí)間段內(nèi)，系統(tǒng)（1）為開(kāi)環(huán)狀態(tài)，即B=0n×m。在這種情況下，可以用如下切換系統(tǒng)來(lái)代替帶有執(zhí)行器失效的系統(tǒng)（1）

其中，σ（t）：[0，+∞）→M=｛1，2｝，B1=B，B2=0n×m。當(dāng) σ=1 時(shí)，激活正常子系統(tǒng)，即系統(tǒng)（1）執(zhí)行器正常運(yùn)行，當(dāng)σ=2時(shí)，激活失效子系統(tǒng)，即系統(tǒng)（1）中全部執(zhí)行器失效。

定義1對(duì)?T1，T2∈C，滿足T2＞T1≥0，定義Nf（T1，T2）為在時(shí)間段[T1，T2）上全部執(zhí)行器失效的次數(shù)，定義Ff（T1，T2）=Nf（T1，T2）（/T2-T1）為在時(shí)間段[T1，T2）上的全部執(zhí)行器失效的頻率。

定義2對(duì)?T1，T2∈C，滿足T2＞T1≥0，定義T+（T1，T2）為在時(shí)間段[T1，T2）上全部執(zhí)行器失效的時(shí)間，定義T+（T1，T2）（/T2-T1）為在時(shí)間段[T1，T2）上全部執(zhí)行器失效時(shí)間比。

假設(shè)1[7]存在常矩陣及非奇異常矩陣，使得下式（4）成立

假設(shè)2[7]存在常矩陣 S∈Rm×m，使得是正定矩陣，即

假設(shè)3[7]系統(tǒng)（1）中全部執(zhí)行器失效的最大時(shí)間間隔為Ts。

最后，給出本文的研究問(wèn)題：考慮系統(tǒng)的全部執(zhí)行器在同一時(shí)間里同時(shí)失效，并且在相對(duì)短的時(shí)間里又一起恢復(fù)正常運(yùn)作，則此時(shí)針對(duì)給定的控制器，設(shè)計(jì)相應(yīng)的自適應(yīng)律，使得系統(tǒng)（1）的狀態(tài)x（t）能夠跟蹤參考模型（2）的狀態(tài)xm（t）。

2 執(zhí)行器失效情況下的自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)

當(dāng)σ=1時(shí)，正常子系統(tǒng)即切換系統(tǒng)（3）的正常子系統(tǒng)被激活，開(kāi)始工作，此時(shí)，給定如下控制器[8]

由式（1）、（2）、（6）一起構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)為

3 自適應(yīng)律的設(shè)計(jì)方案

由式（2）、（6）、（7），得執(zhí)行器被激活（σ=1時(shí)）的誤差為

對(duì)式（8），設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

其中，S滿足假設(shè)2，P1是滿足不等式的正定矩陣。

考慮執(zhí)行器全部失效的情況（σ=2時(shí)），由式（1）可得失效誤差系統(tǒng)為

此時(shí)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

定理1當(dāng)自適應(yīng)律（9）適用于切換系統(tǒng)（3）的正常子系統(tǒng)（σ=1時(shí)）和模型參考系統(tǒng)（2），在給定的執(zhí)行器（6）的反饋控制下，其狀態(tài)跟蹤誤差e（t）的軌跡是指數(shù)下降的，即

其中，β1≥1，λ1＞0，且有。

證明選取如下的Lyapunov函數(shù)[9]

對(duì)式V1（t）沿著時(shí)間t取導(dǎo)數(shù)，得

依據(jù)矩陣的跡的性質(zhì)

可得

令上式后兩項(xiàng)為零，得

而

又由假設(shè)2，得

故，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

其中，S滿足假設(shè)2，P1是滿足不等式的正定矩陣。

故可得

由于（rt）是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，且（Am，Bm）是可控的，根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知和φm（t）?[xT（t），r（t）]是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，并通過(guò)式（13）不難看出，正常誤差系統(tǒng)（8）的狀態(tài)跟蹤誤差e（t）的軌跡是指數(shù)下降的，即

其中，β1≥1，λ1＞0，證畢。

考慮執(zhí)行器全部失效的情況（σ=2時(shí)），控制器參數(shù)Kx（t）和Kr（t）不影響狀態(tài)跟蹤誤差e（t），在這種情況下，通過(guò)自適應(yīng)律（11）使得Kx（t）和Kr（t）的值保持不變；當(dāng)執(zhí)行器恢復(fù)正常工作時(shí)，使自適應(yīng)律（9）對(duì)控制器參數(shù)Kx（t）和Kr（t）進(jìn)行更新。

4 誤差系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性分析

根據(jù)式（8）、（9），得到式（10）、（11）帶執(zhí)行器失效的誤差切換系統(tǒng)為

設(shè)計(jì)切換自適應(yīng)律為

其中，F(xiàn)11=In×n，F(xiàn)12=0n×m，F(xiàn)21=Im×m，F(xiàn)22=0m×m。當(dāng) σ=1 時(shí)，激活了第 1 個(gè)子系統(tǒng)，系統(tǒng)（1）的執(zhí)行器全部正常工作，當(dāng)σ=2時(shí)，激活了第2個(gè)子系統(tǒng)，系統(tǒng)（1）的執(zhí)行器均暫時(shí)失效。

定義3考慮系統(tǒng)（15），對(duì)給定常數(shù)r*＞0，若存在切換信號(hào)σ（t）和常數(shù)T*=T*（e（t0），r*）≥0，使得對(duì)t≥t0+T*，有 e（t：t0，e（t0））∈S（r*）?｛e│‖e‖≤r*｝成立，此時(shí)，稱系統(tǒng)（15）（相應(yīng)于 r*）是全局實(shí)用穩(wěn)定的。

引理1[7]考慮失效誤差系統(tǒng)（10），對(duì)?r0＞0，令 S（r0）=｛e│‖e‖≤r0｝，如果 e（t0）∈Rn/S（r0），那么?λ2＞0 和 β2≥1，使得如下不等式成立

定理2考慮誤差切換系統(tǒng)（15），假設(shè)參考輸入（rt）是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，并且（Am，Bm）是可控的。對(duì)于任意偶數(shù) k 及 t＜tk，如果切換信號(hào) σ（t）滿足：

（a）對(duì) λ*∈（0，λ1），有下面不等式

（b）對(duì) λ∈（0，λ*），有下面不等式

那么，對(duì)任意r0＞0，存在r*，使得誤差系統(tǒng)（15）是全局實(shí)用穩(wěn)定的。

證明對(duì)任意的r0＞0，令，其中，Λ 滿足 Λ≥‖（A-Am）xm（t）-Bmr（t）‖。對(duì)于任意的狀態(tài)跟蹤誤差初始值e（t0）∈Rn，證明若切換信號(hào)σ（t）滿足條件（a）：（c）時(shí)，存在T*=T*（e（t0），r*）≥0，使得當(dāng)t≥t0+T*時(shí)，有

（1）先證明狀態(tài)跟蹤誤差e（t）軌跡的吸引性。

考慮 e（tk）∈Rn/S（r0）的情形。對(duì)任意偶數(shù) k，當(dāng) t＞tk時(shí)，存在 j∈｛k，k+2，k+4，…｝，使得 t∈[tj，tj+1）或者 t∈[tj+1，tj+2）成立。

當(dāng) t∈[tj，tj+1）時(shí)，由式（14）和式（17）得

當(dāng) t∈[tj+1，tj+2）時(shí)，基于同樣的方法，由式（14）和式（17）得

根據(jù)定義2，當(dāng)t∈[tj，tj+1）時(shí)，有成立，當(dāng)t∈[tj+1，tj+2）時(shí)，有成立。所以，當(dāng) t∈[tj，tj+2）時(shí)，由式（21）和式（22）得

由式（18）得

根據(jù)式（19）和定義1，有下面不等式成立

由式（23）～（25），可得

由式（26）可知，當(dāng) e（tk）∈Rn/S（r0）時(shí)，若切換信號(hào) σ（t）滿足定理 2 的條件（a）～（b），那么一定存在 Tk=Tk（e（tk），r0）≥0，使得‖e（tk+Tk）‖=r0成立。顯然，｛Tk｝是一個(gè)有界序列，所以有T0=T0（e（t0），r0）≥Tk成立。得證對(duì)任意偶數(shù)k，如果當(dāng)t=tk時(shí)，狀態(tài)跟蹤誤差e（t）的軌跡停留在球域S（r0）外，則在當(dāng)t＞tk時(shí)，該軌跡最終必定會(huì)回到此球域的邊界。

（2）再證明狀態(tài)跟蹤誤差e（t）軌跡的有界性。

當(dāng) e（tk）∈S（r0）時(shí)，由式（14）得

由于式（20）保證了‖e（tk+1）‖≤‖e（tk）‖，因此 e（tk+1）∈S（r0）成立。當(dāng) t∈[tk+1，tk+2）時(shí)，第 2 個(gè)子系統(tǒng)被激活后，則誤差切換系統(tǒng)（15）的狀態(tài)跟蹤誤差e（t）的軌跡滿足

考慮到A，xm（t）和r（t）是有界的，且‖eA‖≤e‖A‖，因此得出下面的不等式

同時(shí)，由于 Ts=max｛tk+2-tk+1｝，有

因?yàn)槭剑?0）保證了‖e（tk+1）‖≤r0，得到

根據(jù) r*＞r0，當(dāng) e（tk）∈S（r0）時(shí)，有 e（tk+2）∈S（r*）成立。故 e（t）的有界性得證。

（3）當(dāng) e（t0）∈Rn/S（r*）時(shí)，根據(jù)上述（1）和（2）的證明過(guò)程，如果切換信號(hào) σ（t）滿足定理?xiàng)l件，必然?T*＞0，且T*=T*（e（t0），r*）＜T0，使得當(dāng)t≥t0+T*時(shí)，有e（t：t0，e（tk））∈S（r*）成立。顯然，當(dāng)e（t0）∈S（r*）時(shí)，上述結(jié)果仍然成立，此時(shí)T*=0，保證了其全局實(shí)用穩(wěn)定。

證畢。

5 仿真實(shí)例

設(shè)控制對(duì)象狀態(tài)方程為

該模型的狀態(tài)為x=（x1（t），x2（t））T，控制器的輸入為u=（u1（t），u2（t））T，其中

設(shè)參考模型狀態(tài)方程為

其中

參考模型輸入信號(hào)為 r（t）=sin（0.1πt）+sin（0.2πt）+sin（πt）。根據(jù)式 （9），選擇 P1=P2=自適應(yīng)率增益矩陣為通過(guò)計(jì)算，令r0=0.5，r*=10。圖1給出了滿足定理?xiàng)l件的切換信號(hào)σ（t）。

圖1 切換信號(hào)

設(shè)定狀態(tài)跟蹤誤差的初始值分別為 e（t0）=（1，1）T及 e（t0）=（12，12）T，即‖e（t0）‖=1.414＜r*和‖e（t0）‖=16.97＞r*。圖2和圖3分別描述了上述兩種初始值的誤差切換系統(tǒng)（15）的狀態(tài)跟蹤誤差軌跡。從圖2 和圖3 可以得出，無(wú)論是否滿足 e（t0）∈Rn/S（r*），在切換信號(hào) σ（t）的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)（7）的狀態(tài)能夠跟蹤參考模型（2）的狀態(tài)，并且狀態(tài)跟蹤誤差‖e（t）‖的軌跡最終會(huì)停留在以r*為半徑的球域內(nèi)，即 e（t：t0，e（t0））∈S（r*）。

圖2 狀態(tài)跟蹤誤差（e（t0）=（1，1）T）

圖3 狀態(tài)跟蹤誤差（e（t0）=（12，12）T）

6 結(jié)語(yǔ)

本文在給定的自適應(yīng)控制器的條件下，設(shè)計(jì)其自適應(yīng)律，解決了一類帶有執(zhí)行器失效的切換系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)狀態(tài)跟蹤控制的問(wèn)題。該方法更進(jìn)一步處理了全部執(zhí)行器在一個(gè)相對(duì)較短時(shí)間內(nèi)失效的嚴(yán)重情況。通過(guò)用一類具有兩個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)帶有執(zhí)行器失效非切換系統(tǒng)的目標(biāo)控制，并且設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)律，讓系統(tǒng)可在選定的自適應(yīng)控制器的作用下實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的跟蹤控制[11]。