侍行行 蘇州市楓橋中心小學(xué)

筆者將通過(guò)對(duì)《和與積的奇偶性》這一課題的剖析和研究。嘗試探尋知識(shí)本質(zhì)，從生活的角度，讓學(xué)生在剖析生活現(xiàn)象中，探尋自然數(shù)的有趣本質(zhì)與規(guī)律。

首先，讓我們一起來(lái)解讀課題：和，即兩個(gè)或多個(gè)（兩個(gè)以上）加數(shù)相加的結(jié)果；積，即兩個(gè)或多個(gè)（兩個(gè)以上）乘數(shù)相乘的結(jié)果；奇偶性，即一個(gè)數(shù)是奇數(shù)或者是偶數(shù)。所以《和與積的奇偶性》這節(jié)課的主要目的是通過(guò)觀察，猜想，舉例，驗(yàn)證等的方法，體會(huì)數(shù)運(yùn)算結(jié)果的奇偶性變化規(guī)律，并對(duì)其進(jìn)行學(xué)習(xí)和探究。下面，是我想與大家一起分享的對(duì)這節(jié)課探尋本質(zhì)的些許教學(xué)思考。

一、觀察生活現(xiàn)象，回歸對(duì)數(shù)的本質(zhì)的思考和探尋

生活中常用到奇數(shù)與偶數(shù)（也即單數(shù)和雙數(shù)），那么奇數(shù)、偶數(shù)的本質(zhì)是什么呢？我相信它一定存在于我們生活中的某種現(xiàn)象——那個(gè)定義背后，最初的“兩兩配對(duì)”。

為什么是兩兩配對(duì)，而不是三三配對(duì)，四四配對(duì)等等，因?yàn)橹挥袑⒁恍┦挛镞M(jìn)行兩兩配時(shí)才會(huì)出現(xiàn)并只出現(xiàn)兩種情況：完全配對(duì)和只余1的不能完全配對(duì)。本節(jié)課，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情。我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生從游戲入手。那既然是游戲，公平性是一項(xiàng)游戲最基本的規(guī)則。“一個(gè)成人和一個(gè)3 歲的孩子玩抓黑豆的游戲，怎樣設(shè)定游戲規(guī)則是公平的？”學(xué)生思考的時(shí)候很投入，在討論交流后，我們確定“用奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)作為比賽規(guī)則是最公平”。

追問(wèn)中引導(dǎo)學(xué)生深入思考：對(duì)于一個(gè)不太會(huì)數(shù)數(shù)的孩子來(lái)來(lái)說(shuō)，如果不數(shù)數(shù)，怎樣也能知道豆子個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？?jī)蓛膳鋵?duì)，因?yàn)橹挥? 種可能，一種是始終會(huì)剩下一顆黑豆無(wú)法配對(duì)，這種情況下黑豆數(shù)是奇數(shù)個(gè)；而能兩兩完全配對(duì)的情況下，黑豆數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)。因此，這樣的游戲規(guī)則排除了個(gè)體因素，只和黑豆個(gè)數(shù)的奇偶性有關(guān)。

通過(guò)游戲的表象，學(xué)生初次觸及奇數(shù)、偶數(shù)的本質(zhì)。即，奇數(shù)的本質(zhì)就是奇數(shù)本身兩兩不能完全配對(duì)，且總是余一；偶數(shù)能的本質(zhì)就是偶數(shù)本身能都兩兩完全配對(duì)，且沒(méi)有剩余。

二、體會(huì)生活中實(shí)際，感受奇偶性對(duì)生活的影響

為什么要討論這一問(wèn)題——奇數(shù)和偶數(shù)的產(chǎn)生于社會(huì)生活和生產(chǎn)密切相關(guān)。用生活現(xiàn)象來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的熱情，基于對(duì)數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系的思考，我選取的角度是：生活中常見(jiàn)的比賽和選舉。

比賽中，參賽的人數(shù)有什么特點(diǎn)？參賽的人數(shù)可多可少，不是奇數(shù)就是偶數(shù)，可是不管一個(gè)隊(duì)的參賽人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，賽場(chǎng)上兩個(gè)隊(duì)參賽的總?cè)藬?shù)總有一個(gè)相同的特點(diǎn)。就是一定是兩隊(duì)總?cè)藬?shù)一定是偶數(shù)。即：奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)。那么對(duì)于兩個(gè)加數(shù)不同的情況是不是也可以驗(yàn)證呢？（可以通過(guò)舉例，和推理來(lái)說(shuō)明，這兩點(diǎn)都是成立的。）由生活的現(xiàn)象，探知這一規(guī)律，學(xué)生對(duì)奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)的規(guī)律，學(xué)生可以建立更加清晰的“兩兩配對(duì)”的表象。同時(shí)，筆者認(rèn)為想要討論“對(duì)于兩個(gè)加數(shù)不同的情況上述結(jié)論是否還是成立？”可以從拆一個(gè)偶數(shù)開(kāi)始，如果把一個(gè)偶數(shù)拆出1 個(gè)偶數(shù)，那另一部分必然是偶數(shù)，把一個(gè)偶數(shù)拆出1 個(gè)奇數(shù)，那另一部分必然是奇數(shù)，這也反向驗(yàn)證了奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)的規(guī)律。

在舉例的環(huán)節(jié)中，可以詢問(wèn)學(xué)生舉例可以舉得完嗎？是呀，舉也舉不完，那誰(shuí)能用說(shuō)一說(shuō)為什么奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生從奇數(shù)和偶數(shù)的本質(zhì)上來(lái)說(shuō)一說(shuō)：因?yàn)槠鏀?shù)本身兩兩配對(duì)總是余1，兩個(gè)奇數(shù)都余下1，合到一起又可以配對(duì)，因此奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)本身可以兩兩完全配對(duì)，所以兩個(gè)偶數(shù)本身還是可以兩兩完全配對(duì)的，所以偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)。

第一次追問(wèn)：兩隊(duì)上場(chǎng)參賽的隊(duì)員的總數(shù)可以是奇數(shù)嗎？學(xué)生一定知道是不可以的，因?yàn)殛?duì)員總數(shù)不能兩兩完全配對(duì)，那么總有一隊(duì)比另一隊(duì)至少多一人，所以不公平。

第二次追問(wèn)：如果多一人的隊(duì)伍的人數(shù)是奇數(shù)個(gè)，那么少一人的隊(duì)人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？如果多一個(gè)隊(duì)的人數(shù)是偶數(shù)個(gè)，那么少一人的隊(duì)人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 在不斷的追問(wèn)中，促使學(xué)生思考：奇數(shù)兩兩配對(duì)總余1，而偶數(shù)總能兩兩完全配對(duì)。對(duì)此，學(xué)生可以通過(guò)已經(jīng)建立的表象，挖掘出“奇數(shù)＋偶數(shù)=奇數(shù) 或 偶數(shù)＋奇數(shù)=奇數(shù)”的本質(zhì)。

如果在比賽中出現(xiàn)這種情況可不好，那是不是說(shuō)總數(shù)是奇數(shù)就不好呢？不是的，在我們對(duì)某種新決策進(jìn)行投票，對(duì)選舉新的班委等等表達(dá)自己同意或者不同意時(shí)，通常投票總數(shù)是奇數(shù)的情況會(huì)更好，因?yàn)椴还茉趺赐镀保偸遣粫?huì)出現(xiàn)平票的現(xiàn)象。學(xué)生可以通過(guò)百圓片來(lái)表達(dá)自己的想法，另一方一定是偶數(shù)，或者一方是偶數(shù)票，另一方一定是奇數(shù)票；最不濟(jì)的情況就是一方比另一方多1 票，或者少一票。為了保持總票數(shù)的奇數(shù)票，所以不管大小關(guān)系如何，如果一方票數(shù)是奇數(shù)，那么另一方一定是偶數(shù)。所以奇數(shù)加偶數(shù)和一定是奇數(shù)。

三、探尋奇偶性的復(fù)雜性，深化學(xué)生思維

在對(duì)生活現(xiàn)象的思考與交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)的和的奇偶性，那么多個(gè)數(shù)的和的奇偶性又具有什么特點(diǎn)？循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)給學(xué)生帶來(lái)的除了扎實(shí)的基本功，還有有條理的思維。但是學(xué)生自主的探究和驗(yàn)證依然離不開(kāi)老師有效的指導(dǎo)和點(diǎn)撥。因此我從以下這個(gè)點(diǎn)入手：

接下來(lái)可以讓學(xué)生翻開(kāi)數(shù)學(xué)書(shū)，打開(kāi)至任意兩頁(yè)，你有什么發(fā)現(xiàn)？那么至少幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和一定是偶數(shù)呢？這里我利用百數(shù)表，讓學(xué)生自己舉例驗(yàn)證。最終發(fā)現(xiàn)至少3 個(gè)不行，因?yàn)槿绻桥紨?shù)開(kāi)頭，偶數(shù)結(jié)尾，中間只有一個(gè)奇數(shù)，那結(jié)果一定是奇數(shù)；開(kāi)頭是奇數(shù)時(shí)，結(jié)尾是奇數(shù)，有2 個(gè)奇數(shù)1 個(gè)偶數(shù)，和是偶數(shù)。所以，至少4 個(gè)連續(xù)自然數(shù)，開(kāi)頭是奇數(shù)，結(jié)尾一定是偶數(shù)；開(kāi)頭是偶數(shù)，結(jié)尾一定是奇數(shù)。奇數(shù)一直都是有2 個(gè)。

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想和舉例發(fā)現(xiàn)不管有多少個(gè)偶數(shù)相加，它們的和依舊是偶數(shù)，但是奇數(shù)的個(gè)數(shù)的變化會(huì)導(dǎo)致和的奇偶性的變化。那奇數(shù)個(gè)數(shù)是怎樣影響和的奇偶性的呢？學(xué)生在百數(shù)表中自行選擇奇數(shù)，記錄選擇奇數(shù)的個(gè)數(shù)，計(jì)算的結(jié)果，形成表格。通過(guò)對(duì)記錄和計(jì)算結(jié)果的觀察，比較，分類(lèi)初步判斷奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，和為偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，和為奇數(shù)。舉例后，可以追問(wèn)學(xué)生為什么會(huì)這樣？（兩個(gè)奇數(shù)配對(duì)成一個(gè)偶數(shù)，如果最后有一個(gè)奇數(shù)落單，其他都變成偶數(shù)，那么偶數(shù)加奇數(shù)就是奇數(shù)，如果最后沒(méi)有奇數(shù)落單，都兩兩配對(duì)成偶數(shù)，那么和就是偶數(shù)）

最后可以出現(xiàn)變式題組練習(xí)。這一練習(xí)是為了讓學(xué)生打開(kāi)學(xué)生的思維，由計(jì)算驗(yàn)證到尋找規(guī)律的思維的過(guò)程中，學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和比較，歸納總結(jié)。讓學(xué)生的思維不拘泥于線性思維，而是能發(fā)散為網(wǎng)狀思維，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)系，推理能力。當(dāng)學(xué)生最終要面對(duì)不是連續(xù)的自然數(shù)時(shí)，學(xué)生需要思考問(wèn)題的本質(zhì)——真正決定和的奇偶性的，其實(shí)是加法算式中奇數(shù)的個(gè)數(shù)。這樣的學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提升學(xué)生的思維品質(zhì)有不可忽視的益處。

通過(guò)對(duì)生活現(xiàn)象的觀察和思考，在猜想，舉例，推理，驗(yàn)證等一系列的活動(dòng)中，我們已經(jīng)尋得兩數(shù)相加和的奇偶性，與多個(gè)數(shù)相加和的奇偶性的規(guī)律。那么積的奇偶性呢？你打算怎么研究？ 問(wèn)題的拋出，不是為了給學(xué)習(xí)畫(huà)上句號(hào)，而是為了讓學(xué)生的思維可以飛的更久一些。使學(xué)生更進(jìn)一步地去思考：“減法和除法中差和商的奇偶性又是怎樣的？”

對(duì)本節(jié)課的思考鞭策著筆者對(duì)數(shù)學(xué)課堂的不斷思考，促使筆者在今后的教學(xué)中更加注重培養(yǎng)學(xué)生的思維方法，數(shù)學(xué)的眼光以及用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察、 欣賞、思考生活中的數(shù)學(xué)“味道”。