張龍杰,胡 慧,張龍云

(1.海軍航空大學,山東 煙臺 264000; 2.山東大學 巖土與結構工程研究中心, 濟南 250061)

反艦導彈末端突防過程中，受到防御系統(tǒng)攔截后，出現(xiàn)的典型毀傷模式有3種[1]：解體、啞彈以及偏航。在彈體受損偏航的情況下，由于毀傷部位和毀傷程度的不同，導彈的飛行彈道會隨機多變。在不同飛行速度以及彈目距離下，導彈的飛行軌跡不同，對目標的脫靶量也不同，因此在分析導彈末端可能的殺傷區(qū)域以及艦載近程武器系統(tǒng)(CIWS)反導靶場實驗的安全性評估過程中，都必須深入分析反艦導彈損傷情況下飛行彈道以及對應的目標脫靶量。

圍繞導彈損傷后的運動問題，國內外學者從不同角度進行了研究。文獻[2]從反艦導彈實彈射擊訓練時，對航區(qū)內被保護設施威脅概率的求解需求出發(fā)，通過概率分析法建立了反艦導彈故障飛行落入概率計算模型，并進行了仿真計算。文獻[3]從導彈武器設備子系統(tǒng)和分部件的可靠性和重要性出發(fā)，從初始發(fā)射異常、發(fā)動機故障、姿態(tài)控制系統(tǒng)故障等角度，通過仿真分析建立了導彈的典型故障彈道，研究成果對導彈靶場試驗的安全控制工作具有積極的推動作用。文獻[4]從舵機的角度分析了X型舵故障對導彈控制性能及命中點散布的影響，仿真結果指出，在一些極端初始條件下，舵機故障會使彈道畸變，導致導彈墜落。

本文從系統(tǒng)控制的角度出發(fā)，利用一階和二階控制環(huán)節(jié)對導引頭和彈體自動駕駛儀的動力學特性進行模擬，在三維廣義比例導引(TPN)攻擊模型的基礎上，對于導彈突防過程中出現(xiàn)的各種損傷模式，將其產(chǎn)生的影響映射到末制導控制回路中，通過對TNP攻擊模型的仿真分析，對導彈在不同損傷模式下的飛行彈道進行研究。

1 坐標系

地面坐標系為固定坐標系，原點O位于末制導攻擊時刻導彈質心在地面的投影點位置，x0軸指向東向，y0軸指向北向，z0軸指向天向。

平移坐標系的坐標原點M位于導彈的質心點位置，隨導彈運動而平動，其余各軸與地面坐標系Ox0y0z0對應的各坐標軸保持平行，如圖1所示。

圖1中，T為目標，vt為目標速度矢量，vm為導彈速度矢量，vr為相對速度矢量，R為彈目視線矢量。

相對運動坐標系的坐標原點M位于導彈的質心點位置，yr軸始終指向目標T，即與視線矢量R保持一致，zr在視線轉移平面MTN內，垂直于yr軸，沿相對速度vr方向為正，xr通過右手定則確定，如圖1所示。

圖1 導彈三維運動示意圖

準彈體坐標系的原點位于導彈的質心點M，xb軸沿導彈縱軸指向彈體頭部，zb軸位于鉛垂面內指向上方，yb軸通過右手定則確定，如圖2所示。

舵機坐標系與導彈固連，原點位于導彈縱軸與舵機控制面的交點Mc上，xc軸與準彈體坐標系的xb軸重合，彈體無滾轉情況下，沿xb軸觀察，yc軸由原點Mc指向右上角區(qū)域的舵面，zc軸由原點Mc指向右下角區(qū)域的舵面，并與xc和yc軸構成右手坐標系，如圖2。

圖2 舵機和準彈體坐標系

2 考慮彈體動力學環(huán)節(jié)的末制導方程

2.1 導引方程

將國際上通用的TPN導引律[5-7]擴展到三維空間中，采用矢量法在相對運動坐標系Mxryrzr下建立導彈的末制導方程，如圖3。

圖3 相對運動坐標系

(1)

式(1)中，K為TPN比例系數(shù)。ac施加在垂直于R的方向，與vn方向相同，結合圖3，根據(jù)矢量叉積運算的方向定義,有:

(2)

將式(1)代入式(2)中，得到:

ac=Kvc×ωq

(3)

下面求解vc和ωq。根據(jù)矢量點積運算的投影性質，相對速度矢量vr在R上投影速度的大小為:

(4)

由于vc與R方向相反，因此有：

vc/|vc|=-R/|R|

結合式(4)得到法向相對速度矢量vc的求解表達式為：

將上式代入式(3)中，得到：

(5)

對于質量為mt的目標T，其相對導彈M轉動的角動量矢量L為：

L=Jtxωq=mt|R|2ωq

(6)

式(6)中，Jtx=mt|R|2為目標T繞xr軸的轉動慣量?？梢钥闯?，角動量矢量L的方向與視線轉動角速度矢量ωq的方向相同。

根據(jù)質點角動量的定義，當質點與軸線的距離為R并且繞軸線作圓周運動時，它的角動量L是R與質點的線性動量P的矢量積，即：

L=R×P=R×(mtvr)=mtR×vr

(7)

結合式(6)和式(7)，得到視線轉移角速度矢量

ωq=(R×vr)/|R|2

(8)

將式(8)代入式(5)中，得到導引加速度矢量方程為：

(9)

式(9)即為三維空間中的TPN方程。

2.2 控制環(huán)節(jié)

(10)

式(10)中，Tk為導引頭時間延遲常數(shù)。一階控制環(huán)節(jié)對應的控制結構示意圖如圖4。

圖4 一階導引頭環(huán)節(jié)

由圖4得到求解一階控制環(huán)節(jié)的微分方程為：

(11)

對于彈體自動駕駛儀，簡化情況下，一般采用一階控制環(huán)節(jié)[9-11]進行分析，由于彈體自動駕駛儀往往呈現(xiàn)出高階動態(tài)特性[12]，為了準確模擬導引指令加速度ac與彈體實際輸出加速度am的關系，本文以二階控制環(huán)節(jié)對彈體自動駕駛儀的高階動態(tài)特性進行模擬，對應的標準傳遞函數(shù)為：

(12)

式(12)中，ζ為彈體阻尼比；ω為彈體無阻尼振蕩頻率。二階控制環(huán)節(jié)對應的控制結構示意圖如圖5。

圖5 二階自動駕駛儀環(huán)節(jié)

由圖5得到求解二階控制環(huán)節(jié)的微分方程為：

(13)

假設地面坐標系Ox0y0z0下導彈和目標的速度和位置矢量分別為vm,vt以及Rm,Rt，則有vr=vt-vm，R=Rt-Rm，再結合式(5)和式(8)～(13)，得到考慮導引頭和彈體自動駕駛儀動態(tài)特性的TPN末制導方程為：

(14)

3 故障模式及處理

3.1 故障分類

導彈被CIWS彈丸擊中后，會出現(xiàn)多種故障，表1給出了導彈末端突防過程中的幾類典型故障及對應的部件。

表1 導彈制導與控制系統(tǒng)故障模式

在對各類故障模式進行分析時，假設導彈不具有故障自修復能力，或者對于具有容錯控制[13]的導彈，所有故障都超出了其容錯控制的范圍。

由式(14)計算得到的am=[a0xa0ya0z]，是地面坐標系Ox0y0z0下的矢量，在準彈體坐標系Mxbybzb下的表示為：

abm=[aea?aψ]=amMb0=

(15)

式(15)中，Mb0為地面坐標系Ox0y0z0到準彈體坐標系Mxbybzb的轉換矩陣；ae為導彈沿彈體縱軸方向的加速度，主要由發(fā)動機推力提供；a?,aψ主要由舵面偏轉產(chǎn)生。

下面分別對故障模式下3個方向的加速度大小進行分析。

3.2 故障處理

3.2.1控制舵故障

導彈采用“×”型正交舵，圖6為從彈體尾部觀察“×”型正交舵的布局示意圖。

圖6 “×”型正交舵示意圖

圖6中，導彈滾轉角γ為零時，從右上角順時針開始，各舵面依次編號1～4，對應的舵偏角為δ1～δ4，并規(guī)定使導彈右偏、低頭和右滾轉的舵偏角為正。

下面推導“×”型正交舵偏轉過程中，在準彈體坐標系Mxbybzb下對應的等效舵偏角。如圖6所示，對于“×”型正交舵，各舵面偏轉過程中，在準彈體坐標系的yb軸和zb軸方向的合力大小分別為：

Fby=-F1cosλ+F2sinλ+F3cosλ-F4sinλ

Fbz=-F1sinλ-F2cosλ+F3sinλ+F4cosλ

(16)

式(16)中，λ=γ+π/4為各個舵面與準彈體坐標系的zb軸所成的角，λ∈[0°,360°]，順時針轉動為正；Fi(i=1,2,3,4)為舵面偏轉引起的空氣動力分量，是對應的舵偏角δi的函數(shù)，又記作Fi(δi)。對于確定的舵結構，假設各舵面面積相等，有：

Fi(δi)=Kδδi

(17)

式(17)中，Kδ為單位舵偏角產(chǎn)生的空氣動力在Mcyczc平面上的投影大小。從而式(16)轉化為：

Fby=Kδ(-δ1cosλ+δ2sinλ+δ3cosλ-δ4sinλ)

Fbz=Kδ(-δ1sinλ-δ2cosλ+δ3sinλ+δ4cosλ)

(18)

對應的滾轉力矩為：

(19)

式(18)、式(19)中，L為橫滾力臂。假設“×”型正交舵的等效俯仰、偏航以及滾轉舵偏角分別為δ?、δψ和δγ，即有Fby=Kδδ?，F(xiàn)bz=Kδδψ以及Mγ=KδLδγ/2，結合式(18)、式(19)得：

δ?=-(δ1-δ3)cosλ+(δ2-δ4)sinλ

δψ=-(δ1-δ3)sinλ-(δ2-δ4)cosλ

δγ=δ1+δ2+δ3+δ4

(20)

式(20)即為“×”型正交舵到等效舵偏角的轉換模型。

下面分析等效舵偏角到“×”型正交舵各舵面的分解方法，為此定義δd=δ1+δ3，結合式(20)得到

δ1=(-δ?cosλ-δψsinλ+δd)/2

δ2=[δ?sinλ-δψcosλ+(δγ-δd)]/2

δ3=(δ?cosλ+δψsinλ+δd)/2

δ4=[-δ?sinλ+δψcosλ+(δγ-δd)]/2

(21)

式(21)的解不唯一，這是由于對于“×”型正交舵同樣的舵效會存在多種操舵方式，式(22)給出的是一種工程解決方案：

(22)

式(22)中，δf=|δ1-δ3|-|δ2-δ4|。舵面偏轉后，最終將改變導彈在不同方向的機動能力。假設舵偏角大小與對應的加速度近似成線性關系，在舵機坐標系Mcxcyczc下，由舵偏角δi(i=1,2,3,4)引起的導彈加速度aci以及繞彈體滾動的角速度大小ωi分別為：

aci=kaδi,ωi=kωδi

(23)

式(23)中，ka,kω為常系數(shù)。在舵機坐標系Mcxcyczc下，對于單個控制舵，由于舵偏角最大時對應的加速度值以及滾轉角速度值分別達到最大值amax和ωmax，因此式(19)轉化為：

aci=kaδi,ωt=ktkaδi

(24)

式(24)中，系數(shù)kt=ωmax/amax。定義ωd=kt(ac1+ac3)，再參考式(21)，得到舵機坐標系Mcxcyczc下各舵面產(chǎn)生的加速度的大小為：

ac1=(-a?cosλ-aψsinλ+ωd/kt)/2

ac2=[a?sinλ-aψcosλ+(ωm-ωd)/kt]/2

ac3=(a?cosλ+aψsinλ+ωd/kt)/2

ac4=[-a?sinλ+aψcosλ+(ωm-ωd)/kt]/2

(25)

式(25)中，ωm=kt(a1+a2+a3+a4)為等效滾轉角速度。對于ωd，根據(jù)式(22)，有：

(26)

式(26)中，af=|ac1-ac3|-|ac2-ac4|。將式(25)向準彈體坐標系Mxbybzb下分解，得到“×”型正交舵各舵面在準彈體坐標系下產(chǎn)生的加速度矢量為：

(27)

舵面卡死后會引起導彈滾轉，對于出現(xiàn)的滾轉角ωe，只需令ωm=ωm-ωe，再根據(jù)式(26)對各舵面需要承擔的加速度分量進行分配即可。

3.2.2其他系統(tǒng)故障

在準彈體坐標系Mxbybzb下，發(fā)動機推力對xb方向的機動能力產(chǎn)生影響。正常情況下，發(fā)動機以最大推力工作時，在xb方向會產(chǎn)生最大正加速度a+emax，發(fā)動機停止工作時，由于空氣阻力會在xb方向產(chǎn)生最大負加速度a-emax，因此導彈在xb方向的機動能力為a+emax[k-e,1]，其中k-e=(a-emax/a+emax)<0。

3.3 損傷導彈質心運動方程

(28)

(29)

式(14)和式(29)構成了完整的導彈有損飛行彈道方程。

4 仿真與分析

4.1 無損飛行彈道

在地面坐標系Ox0y0z0下，取Rm=(0,0,1.0)km，Rt=(16,19.2,0)km，vm=(287,800,-15)m/s(即2.5Ma)，vm=(16,4,0)m/s(即3.2節(jié))，彈目初始距離25 km，導彈在俯仰和偏航方向的最大過載為5g，沿彈體縱軸最大過載10g，最大滾轉速度15 (°)/s，目標以恒定速度作圓周規(guī)避機動，最大機動角速度ωtmax=1.7(°)/s，導引頭時間延遲常數(shù)Tk=0.45，彈體阻尼比ζ=0.75，無阻尼振蕩頻率ω=1.0，仿真步長h=0.01 s，由式(14)和式(29)得到導彈無損攻擊彈道。如圖7。

圖7 無損攻擊彈道

導彈無損情況下，最小彈目距離0.043 57 m，脫靶量幾乎為零。

4.2 有損飛行彈道

表1中給出了6類典型故障模式實際對應9種故障源(舵面故障時存在4種故障源)，根據(jù)二項式定理，共存在29-1=511種故障組合，這里只對單故障源下的飛行彈道進行分析，其他故障模式可首先將對應的故障源疊加然后再進行綜合分析。

典型艦載CIWS的最大攔截距離[14]一般在1.5～5 km的范圍內，為此假設各種故障發(fā)生時，彈目距離均為2.5 km，對于舵面故障，分別取卡死角δci為零和±δmax時的情況進行分析，其余條件同4.1節(jié)，由式(14)及式(25)～(29)得到1～4號舵面在不同卡死角δfi時導彈的脫靶量大小L1～L4，結果如表2所示。

表2 舵面卡死時的脫靶量

圖8(a)～圖8(d)分別給出了1～4號舵面故障后，對相應攻擊彈道的仿真結果，為了便于顯示，只繪出了彈目距離小于5 km時的攻擊彈道。

圖8 1～4號舵面故障后的攻擊彈道

分析表2和圖8，當舵面卡死在正最大舵偏角時，1或2號舵面使導彈低頭的效應明顯，使導彈提前落水，從而引起較大的脫靶量，3或4號舵面使導彈抬頭的效應明顯，此時脫靶量會較小。當舵面卡死在負最大舵偏角時，情況正好相反。

此外，由于假設正常飛行中導彈滾轉角為零，因此1和2號舵面以及3和4號舵面卡死在最大舵偏角位置時，對應的脫靶量分別近似相等。由于末端導彈已經(jīng)精確對準目標，控制舵指令偏轉角很小，因此當舵面卡死在中央位置時脫靶量很小。

對于發(fā)動機故障，取k-e=-0.6，由式(14)計算得到kb=0,0.5以及k-e時導彈對目標的脫靶量均位于0.043 60～0.043 61 m之間，可見發(fā)動機故障對脫靶量的影響很小。

3～6號部件的故障處理方式同3.2.2節(jié)，仿真初始條件同4.1節(jié)，由式(14)得到各部件故障后引起的脫靶量，結果如表3。

表3 參數(shù)丟失時的脫靶量

圖9(a)和圖9(b)分別給出了5和6號部件故障后，對相應攻擊彈道的仿真結果，為了便于顯示，同樣只繪出了彈目距離小于5 km時的彈道。對于3和4號部件故障下的飛行彈道，由于脫靶量較小，不再示出。

圖9 5～6號部件故障后的攻擊彈道

綜合表2、表3以及圖8、圖9，舵面卡死時，脫靶量的大小與卡死角的大小和位置有關，當舵面卡死角較小時，導彈仍然可能命中目標；發(fā)動機推力下降后，導彈依然能夠在慣性力的作用下飛向目標，對脫靶量的影響不大；在攻擊末端丟失目標后，導彈會飛向目標記憶點，依然會保持較小的脫靶量；高度表和加速度計故障后，制導系統(tǒng)會按照錯誤的參數(shù)進行導引攻擊，從而造成較大的脫靶量；對于慣導陀螺故障，由于僅僅影響導彈自身的姿態(tài)參數(shù)，而在末端導彈的姿態(tài)趨于穩(wěn)定，因此基本對命中精度無影響。

5 結論

本文建立了考慮到彈體及導引頭動力學特性的三維TNP矢量方程，從系統(tǒng)控制的角度出發(fā)，總結歸納出導彈末端突防過程中可能出現(xiàn)的典型故障模式，初步分析了導彈有損飛行彈道，仿真給出了脫靶量，對于分析導彈末端可能的殺傷區(qū)域以及艦載CIWS反導靶場實驗的安全性評估具有重要的參考作用。

實際情況下，導彈末端突防過程中，各類故障發(fā)生的概率以及時間都是不同的，在具體應用中要通過對導彈的易損性分析[15]，建立各類故障的診斷和判讀模型，確保為有損飛行彈道的分析研究提供準確的初始化環(huán)境。