劉曦釗

近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)，不論各地省卷還是全國(guó)卷，都會(huì)有一道平面解析幾何準(zhǔn)壓軸大題，這道題既是重點(diǎn)，更是難點(diǎn)。許多文章對(duì)這道題做了有益的研究，其常常分成弦長(zhǎng)、面積、定點(diǎn)、定值等類型予以說(shuō)明。仔細(xì)回顧近幾年的高考試卷不難發(fā)現(xiàn)：任其出題方式如何變化，以方程思想為綱的核心考點(diǎn)從未改變，如果我們能緊緊把握這個(gè)要點(diǎn)，就可以擺脫形式上的繁復(fù)，以較小成本拿下該題。

點(diǎn)評(píng)：方程思想貫穿本題始終：

（1）在第一問(wèn)中，確定了哪三個(gè)點(diǎn)在橢圓上后，利用待定系數(shù)法列方程求解橢圓中的重要參數(shù)，這一步考生覺(jué)得好做的原因是：首先，參數(shù)已經(jīng)被題干設(shè)出來(lái)了;其次，方程的構(gòu)造方式很熟悉;再次，求解簡(jiǎn)單易行。如果我們能夠熟練掌握這樣的解題流程，那么平面解析幾何解答題就沒(méi)有攻克不了的！

（2）在第二問(wèn)中，直線l是個(gè)對(duì)象，需要表示它，我們知道用方程，可是用哪個(gè)形式的方程呢？這就引出了對(duì)斜率的分類討論，分類之后，應(yīng)該把直線方程表示出來(lái)，很自然就該引進(jìn)參數(shù)m或者k，m了，有些考生這一步都做不到，何談方程思想呢？沒(méi)有未知數(shù)，怎么列方程，未知數(shù)現(xiàn)在是k，m，而不是z，v，因?yàn)閗，m才是表示直線的關(guān)鍵！雖然它們現(xiàn)在都未知，但是我們通過(guò)構(gòu)造它們的方程就可以追蹤了，正所謂“未知數(shù)別害怕，列解方程來(lái)解圍”！

（3）在第二問(wèn)中，直線和曲線的交點(diǎn)需要通過(guò)解方程組來(lái)研究，解方程組的過(guò)程其本質(zhì)就是用事先設(shè)定的參數(shù)k，m來(lái)描述解存在與否、解有多少個(gè)、解是什么這三個(gè)問(wèn)題，雖然最后這個(gè)問(wèn)題有時(shí)不便表示，但可以設(shè)而不解，這是代數(shù)思想的體現(xiàn)，也可以理解增設(shè)未知數(shù)x1，x2，但是它們和參數(shù)k，m的關(guān)系通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系已經(jīng)說(shuō)清，試問(wèn)，根與系數(shù)的關(guān)系是方程組嗎？正所謂“未知數(shù)別害怕，列解方程來(lái)解圍”！

（4）因?yàn)樵鲈O(shè)了x1，x2，y1，y2，使得繼續(xù)描述成為可能，事情繼續(xù)發(fā)展：利用斜率和為-1，將x1，x2，y1，y2溝通起來(lái)，這是方程吧？通觀全局，我們列完了關(guān)于k，m，x_i，y_i的方程組，現(xiàn)在唯一剩下的就是根據(jù)需求有方向性地消元求解，正所謂“磨刀霍霍向豬羊”。

（5）因?yàn)橐C明直線過(guò)定點(diǎn)，那么直線的直接決定因素k，m的信息就需要更新和細(xì)化，于是我們消去所有的x_i，y_i，保留k，m，終于得到了k，m的等量約束，正所謂“未知數(shù)別害怕，列解方程來(lái)解圍”！再經(jīng)過(guò)它們的不等量約束驗(yàn)證后出場(chǎng)，直線的信息得到更新，定點(diǎn)問(wèn)題證明完成。

總結(jié)：是什么讓一個(gè)解題者可以堅(jiān)持做完這樣一道平面解析幾何解答題，筆者認(rèn)為是方程思想的光芒，它讓人相信，那么終將看見(jiàn)！無(wú)論它的形式如何變化，但是在解題的過(guò)程中不斷應(yīng)用文章中的“未知數(shù)別害怕，列解方程來(lái)解圍”這句話，一定能在最短的時(shí)間里找到問(wèn)題的突破口，避免走一些彎路，而這也是這幾年全國(guó)卷出題人在解析幾何這道大題中給我們滲透的信息。

（責(zé)任編輯 王福華）