楊峰 趙剛 任德清

(1 中國科學院國家天文臺南京天文光學技術研究所南京210042)

(2 中國科學院天文光學技術重點實驗室南京210042)

(3 中國科學院大學北京100049)

(4 Physics & Astronomy Department, California State University Northridge,Northridge, CA 91330-8268)

1 引言

大氣湍流廓線用于描述不同高度的湍流強度, 對其進行準確測量對于多層共軛自適應光學系統(tǒng)[1](MCAO)、地表層自適應光學系統(tǒng)[2](GLAO)、斷層掃描自適應光學系統(tǒng)[3](TAO)的設計及太陽望遠鏡的選址具有重要的意義.用于歐洲太陽望遠鏡(EST)的MCAO系統(tǒng)需要結合大氣湍流廓線的詳細信息對變形鏡數(shù)目、共軛高度、單元數(shù)等參數(shù)進行優(yōu)化設計[4], 以達到最好的校正效果.

現(xiàn)今有很多方法用于測量大氣湍流廓線, 主要分為兩類: 基于探測圖像閃爍的方法和基于斜率測量的方法.基于探測圖像閃爍的方法一般用于夜間湍流廓線的測量,主要有MASS[5](Multi-Aperture Scintillation Sensor)、LuSci[6](Lunar Scintillation)、SCIDAR[7](SCIntillation Detection And Ranging)等.其中, MASS使用探測器測量望遠鏡光瞳上4個同心圓區(qū)域的單個恒星的閃爍, 可以得到低分辨率的湍流廓線; LuSci通過測量月球的閃爍來探測地面層的大氣湍流特性; SCIDAR通過觀測雙星目標, 在探測器上獲得兩個角度的瞳面圖像, 通過對兩個圖像進行互相關分析, 獲得高分辨率的湍流廓線信息.對于日間湍流廓線測量, 基于探測圖像閃爍的方法只適用于探測接近地面層的湍流.Beckers[8]設計了SHABAR (SHAdow BAnd Ranging), 利用線性排列的小型探測器測量太陽日面的亮度, 通過計算不同探測器的閃爍變化的相關, 得到大氣湍流廓線,該方法的最大探測高度只有500 m.基于斜率測量的方法主要包括SLODAR[9](SLOpe Detection And Ranging)及S-DIMM+[10](Solar Differential Image Motion Monitor +).SLODAR方法通過探測雙星的波前相位畸變的局部梯度并進行互相關計算, 可以得到大氣湍流廓線, 主要用于夜間湍流廓線測量.S-DIMM+采用和SLODAR類似的原理, 利用不同區(qū)域的太陽表面米粒圖像探測波前, 可以探測高達30 km的日間大氣湍流廓線.S-DIMM+在日間湍流廓線測量中得到了廣泛應用, Kellerer等[11]使用該方法獲得了大熊湖臺址的日間湍流廓線, Wang等[12]對S-DIMM+方法進行了改進, 使用3顆導星進行計算, 測量得到了撫仙湖太陽觀測基地的湍流廓線信息.

S-DIMM+的限制在于其必須使用大型望遠鏡進行測量.2015年, Ren等[13]提出了多孔徑視寧度廓線儀(Multiple-Aperture Seeing Profiler, MASP)的概念.MASP由兩個約400 mm口徑的小型望遠鏡組成, 可以在沒有大型望遠鏡的臺址使用.每個望遠鏡的后面都配有寬視場夏克哈特曼波前傳感器(SHWFS), 使用和S-DIMM+類似的算法進行湍流廓線測量, 可以獲得最大探測高度為30 km的湍流廓線數(shù)據(jù), 與1 m太陽望遠鏡上的S-DIMM+測量儀探測能力類似.Yang等[14]對MASP方法進行了改進, 通過使用多顆導星, 提升了MASP測量儀的等效口徑, 在增加了其探測能力的同時也提升了S-DIMM+儀器的便攜性.

2016年, Ren和Zhao在MASP基礎上進行了改進, 提出了先進多孔徑視寧度廓線儀A-MASP[15](Advanced Multiple Aperture Seeing Profiler).A-MASP僅使用兩個約100 mm口徑的小型望遠鏡, 使用多顆導星進行觀測, 且不需要使用夏克哈特曼波前傳感器, 這就使得光路更加簡單, 且儀器更加便攜.Ren等[16]在美國國家太陽天文臺的鄧恩太陽望遠鏡上對A-MASP方法進行了驗證, 實驗使用單個大孔徑望遠鏡加上孔徑遮擋以產生兩個子孔徑, 使用太陽表面的子區(qū)域作為等效導星進行計算, 得到了2017年7月12—14日的臺址湍流廓線, 結果顯示鄧恩太陽望遠鏡臺址有3個主要的湍流層, 其中最強的是接近地面的混合湍流層, 另外還有一個接近3 km的湍流層及一個高度為8–15 km、位于對流層頂?shù)耐牧鲗?觀測結果表明A-MASP可以成功對日間湍流廓線進行測量.

在MASP和A-MASP中, 需要使用兩個望遠鏡分別對太陽表面進行成像, 望遠鏡抖動引起的指向誤差會對測量結果造成很大的偏差.Ren等[13]在MASP的研究中提出在湍流廓線求解方程中引入消除抖動項, 對湍流廓線求解方程進行改進.同樣, 這一方法也可以應用在A-MASP中.然而在A-MASP中由望遠鏡抖動造成的圖像偏移和地表0高度大氣湍流造成的偏移在性質上相同, 因此在消除抖動的同時也會使得無法進行地表大氣湍流的有效測量.Ren等[15]在A-MASP的研究中沒有討論望遠鏡抖動和消除抖動公式的影響.本文將延續(xù)Ren等[15]在2016年的工作, 使用蒙特卡洛數(shù)值模擬方法對A-MASP測量儀應用抖動消除公式進行研究.我們使用100層相位屏對真實大氣湍流進行建模, 相比同類的研究普遍使用10–20層相位屏[12,15], 可以更準確地還原對真實大氣的探測結果.論文的結構安排如下: 第2節(jié)中, 我們簡要介紹了A-MASP測量的原理; 第3節(jié)中給出了我們的模擬結果, 3.1節(jié)中我們使用單層大氣湍流模擬, 發(fā)現(xiàn)A-MASP中兩臺小望遠鏡間距為0.4 m時, 無法測量高度小于0.4 km的湍流, 3.2節(jié)中我們提出了A-MASP非均勻采樣造成湍流廓線失真的修正方法, 并使用數(shù)值模擬進行了驗證, 3.3節(jié)中我們使用100層相位屏對真實大氣進行了建模, 研究了望遠鏡間距對A-MASP湍流廓線探測能力的影響; 第4節(jié)中, 我們首先使用數(shù)值模擬的方法對S-DIMM+和A-MASP的恢復結果進行了比較, 然后對全文進行了總結, 并給出結論.

2 A-MASP原理及湍流恢復算法

2.1 A-MASP原理

Ren和Zhao于2016年提出了先進多孔徑視寧度廓線儀A-MASP[15], 使用有一定距離的兩個小型望遠鏡的組合測量日間湍流廓線, 每個小型望遠鏡的直徑約為100 mm, 望遠鏡后面不配備SHWFS, 使用太陽米粒結構中的一個小區(qū)域作為導星, 導星的典型尺寸介于8′′×8′′–10′′×10′′之間.A-MASP和S-DIMM+原理類似, 均使用三角測量的方法進行湍流廓線的測量, 不同的是, S-DIMM+使用多組不同距離的子孔徑對進行三角測量, 而A-MASP使用多顆導星進行測量.圖1為A-MASP的原理示意圖, 兩個小望遠鏡的間距為s, 藍色光線和綠色光線分別表示到達第1個望遠鏡和第2個望遠鏡的不同導星的光線, 其中θ為相鄰兩個導星之間的角間距.我們可以看到藍色光線和綠色光線在s/4θ、s/3θ、s/2θ和s/θ等高度相交, 根據(jù)三角測量原理可以測得相應高度的湍流強度.在具體計算中, 首先通過計算求得不同導星偏移量的協(xié)方差, 之后通過恢復算法, 求得不同高度的Fried參數(shù), 最后獲得湍流廓線.

圖1 先進視寧度廓線儀原理圖Fig.1 Schematic of the Advanced Multiple Aperture Seeing Profiler

2.2 湍流恢復算法

A-MASP使用兩個望遠鏡同時進行觀測, 存在指向誤差的問題.Ren等[13]提出了一組新的方程, 可以消除兩個望遠鏡之間的相對位置偏移.我們在觀測圖像上沿x方向(兩個望遠鏡連線方向)劃分一系列均勻排列的小區(qū)域作為導星, 并計算導星相對位移的偏移量:

其中δxi為第i顆導星在x方向的偏移量,δyi為在相應y方向的偏移量,NL為采樣層數(shù),cn為待求系數(shù), 該系數(shù)與Fried參數(shù)相關,s為兩臺望遠鏡之間的距離, ?x和?y用于移除兩個望遠鏡x和y方向的相對位置偏移,??表示對多次測量的平均.θij為第i顆導星和第j顆導星的夾角, 不妨設j>i, 可表示為θij=(j ?i)θ,θ為相鄰兩顆導星之間的夾角,hn為第n層采樣高度.式中Fx和Fy是大氣結構函數(shù)I(u,0)和I(u,π/2)的組合, 其中u為以望遠鏡口徑歸一化后的距離, 第2項0和π/2分別表示x方向和y方向, 其表達式為:

其中Deff為有效直徑, 可以表示為Deff=D+φhn, 此處,D為望遠鏡口徑,φ是視場的平均直徑.我們使用圓形孔徑, 根據(jù)Kellerer的文章[17], 大氣結構函數(shù)I(u,0)和I(u,π/2)可以表示為:

其中w=1+1.14u?5.5/3.(1)式中, ?x和?y用于移除兩個望遠鏡x和y方向的相對位置偏移, 可以表示為:

?x和?y的推導過程參見Ren等[13]在2015年的工作, 通過(1)式, 可以解出系數(shù)cn, 它與相應層的Fried參數(shù)r0的關系為:

在(1)式和(2)式中, 如果取h1=0, 表示地面處的湍流層.我們有c1F(s,θ,h1)=c1I(s/Deff,0), 與?中相關的項抵消, 即式子中不含c1項.也就是說, 在A-MASP中, 接近地面0高度的湍流層無法通過消除抖動的方程解出.這是A-MASP方法的局限性.然而,我們使用其他的設備如日間DIMM獲得全局Fried參數(shù), 可以計算出湍流層高度h=0時的cn值.

3 湍流廓線恢復數(shù)值仿真

我們應用蒙特卡羅數(shù)值仿真方法研究湍流廓線恢復過程, 與Ren等[13]使用的方法類似.具體過程如下:

(1)利用Johansson和Gavel[18]給出的方法, 獲得每一層湍流層對應的Kolmogorov相位屏;

(2)將兩個望遠鏡孔徑沿導星的方向投影到不同高度的湍流層相位屏上, 截取相應的子區(qū)域.為了節(jié)省計算時間, 我們在模擬中使用點目標代替擴展目標作近似;

(3)將導星對應的不同層高的相位屏子區(qū)域疊加, 并使用快速傅里葉變換求得每個導星的點擴散函數(shù)(PSF), 利用重心法求出PSF的偏移量;

(4)代入(1)式, 計算等號左側x,y方向偏移量的協(xié)方差;

(5)選擇采樣高度hn, 并使用非負最小二乘法求解方程, 得到hn高度對應的系數(shù)cn,通過(5)式計算湍流層的r0.

在本文的研究中, 我們模擬望遠鏡的直徑D=0.12 m, 導星的數(shù)量N=12顆.這些導星沿兩個望遠鏡的連線方向(x方向)均勻排成一列, 相鄰導星的角距離為θ=8′′.對于每組算例, 我們模擬了1000幅觀測圖像對應的偏移量.

3.1 單層大氣湍流恢復仿真

為了研究消除抖動項對湍流廓線計算的影響, 我們首先使用單層大氣進行湍流廓線恢復過程的仿真研究.我們進行了75組模擬, 在模擬中單層大氣湍流的高度分布在0–15 km之間, 高度間距均為200 m,r0均設為0.1 m.兩臺望遠鏡的距離為s=0.4 m.在求解中, 采樣高度設為和模擬的大氣湍流層高度相同.圖2為湍流強度恢復的結果, 其中黑色水平點線為輸入的r0=0.1 m, 實線為通過模擬恢復得到的r0值, 線上的每個圓點代表一組模擬的結果.從圖中我們可以看出, 對于單層大氣, 湍流強度恢復的偏差大約為2%, 這表明我們的模擬和計算過程都是正確的.根據(jù)之前的分析, 我們已經知道使用A-MASP無法解出高度為0的湍流層強度.從圖中我們還可以看到, 對于高度較低的湍流層(h0.4 km), 使用消除抖動的公式解算出的r0同樣具有較大的偏差.

3.2 采樣點等效高度計算

在A-MASP湍流廓線測量中, 我們需要選擇多個采樣高度, 用來計算采樣點處的等效湍流強度.對于N顆導星的情況, 我們根據(jù)A-MASP中使用的三角測量的原理, 選擇N ?1個采樣高度,hn=s/θN?n, 其中θN?n=(N ?n)θ, 代表了對應的導星之間的角距離,θ為相鄰導星之間的夾角.h1對應最低采樣高度為h1=s/θN?1.顯然, 我們可以看出采樣高度的分布是非均勻的, 在較低的高度采樣較密集, 在較高的高度采樣較稀疏, 這可能會導致計算得到的湍流廓線出現(xiàn)失真.

圖2 使用單層大氣得到的湍流強度恢復結果Fig.2 Retrieved results of the atmospheric turbulence strength using a single layer atmosphere

根據(jù)Scharmer和van Werkhoven的文章[10], 當湍流層位于兩個采樣高度之間, 會同時影響兩個采樣高度計算得到的等效湍流強度值.距離采樣高度越近, 則對其影響越大.為了分析的方便, 我們近似認為兩個采樣高度之間的湍流層僅影響較近的采樣高度.如果采用了這個假設, 采樣高度hn實際上測量的是hn?1到hn的中點和hn到hn+1的中點,即s/(2θN?n+1)+s/(2θN?n)到s/(2θN?n)+s/(2θN?n?1)的這一段高度的總的湍流廓線強度.使用這一段高度的中點s/(4θN?n+1)+s/(2θN?n)+s/(4θN?n?1)作為等效高度得到的等效湍流廓線強度更為合理.

為了驗證上面的分析, 我們使用12層大氣湍流層模型進行驗證.這12層湍流高度分布在0–17.6 km, 相鄰兩層之間的間距為1.6 km, 每一層的輸入r0=0.1 m.導星數(shù)目N=12, 相鄰導星的角間距θ=8′′, 望遠鏡口徑D=0.12 m.我們計算了3組算例, 其中望遠鏡之間的間距s分別設置為0.4 m、1.2 m和2.0 m.湍流廓線恢復的結果如圖3所示, 其中橫坐標為高度, 縱坐標為累積湍流廓線強度, 即低于對應高度湍流強度的總和.黑色臺階狀點線是輸入的累積湍流廓線強度.帶有圓形數(shù)據(jù)點的虛線和方形數(shù)據(jù)點的實線分別表示了直接采用采樣高度hn和使用等效高度s/(4θN?n+1)+s/(2θN?n)+s/(4θN?n?1)計算得到的累積湍流廓線.3個子圖分別表示望遠鏡間距為0.4 m、1.2 m和2.0 m時得到的結果.從圖中可以明顯看出, 對于3個算例, 使用等效高度時恢復的湍流廓線能夠和輸入的吻合得更好, 這表明我們對于采樣點等效高度的分析是合理的.

以上分析并非只可以用在A-MASP測量中, 在湍流廓線測量中, 由于高層大氣湍流較弱而底層較強, 因此經常采用非均勻的采樣高度, 即在較低高度使用較多采樣點, 在較高高度使用較少采樣點(例如Scharmer和van Werkhoven的文章[10]), 在這種情況中, 采用等效采樣高度更為合理.另外, 在上面的分析中, 我們假設湍流層只影響較近的那個采樣高度, 在今后的工作中, 我們將建立不同湍流層的影響函數(shù), 進行更精確的分析.

圖3 使用12層大氣得到的湍流廓線恢復結果, dh表示湍流廓線強度, 黑色臺階狀點線為輸入的累積湍流廓線強度,3幅圖分別表示望遠鏡的間距為0.4 m、1.2 m、2.0 m時的恢復結果.Fig.3 Retrieved results of the atmospheric turbulence profile using 12 layers’ atmosphere, C2ndh represents the intensity of turbulence profile, the black step-like dotted line is the input cumulative strength of turbulence profile, three panels represent the recovery results of the telescope with the spacing of 0.4 m, 1.2 m, and 2.0 m, respectively.

3.3 使用HVB模型進行湍流恢復

為了能更真實地模擬大氣湍流廓線, 我們使用Hufnagel-Valley-boundary (HVB)模型[19]對湍流廓線進行模擬.HVB模型在夜間大氣常用的Hufnagel-Valley模型基礎上, 考慮了描述日間大氣邊界層的影響, 可以反映日間大氣湍流的分布特點.在HVB模型中,日間湍流廓線可以表示為

其中方程右邊的第1部分是Hufnagel-Valley模型, 主要用于計算夜間湍流廓線, 可以表示為[3]

其中AHV是HV模型強度,z是臺址的海拔高度.(6)式中第2部分表示由日間地面邊界層引起的額外湍流, 其中AB為邊界層的強度,h0是邊界層的高度.

設定海拔高度為z=3000 m, 邊界層高度為h0=640 m, 邊界層強度為AB=1×10?7, 強度AHV為0.245.我們使用100層湍流模擬HVB模型.這100層湍流分布在0–20 km 高度, 間隔為200 m, 每層的湍流強度通過HVB模型計算得到.圖4中點線表示輸入的累積湍流廓線強度.在模擬中, 導星數(shù)目N=12, 相鄰導星的間距為θ=8′′, 兩個望遠鏡的口徑均為D=0.12 m, 望遠鏡之間的間距分別設置為0.4 m, 1.2 m和2.0 m.圖4給出了這3個算例的湍流廓線恢復結果.帶有圓點的實線為望遠鏡間距為0.4 m時的結果, 從圖中可以看到, 對于5 km以下的湍流, 我們恢復計算得到的累積湍流廓線和輸入的湍流廓線有非常相似的形狀, 這表明對于5 km以下的湍流可以進行較好的恢復.由于0高度附近的湍流無法計算, 恢復得到的湍流廓線和輸入值之間總強度約有0.6×10?13m1/3的差距, 這個差距和HVB模型中h0.4 km前3層強度的和非常接近,這和我們3.1節(jié)的結果吻合, 進一步說明當s=0.4 m時, 無法對0.4 km及以下的湍流層進行測量.當高度大于5 km時, 由于采樣不足, 模擬恢復得到的湍流廓線不能反映輸入湍流廓線的形狀, 僅可以對其總強度進行估計.

圖4 使用HVB模型得到的湍流廓線恢復結果, dh表示湍流廓線強度, 黑色點線為輸入累積湍流廓線強度.Fig.4 Retrieved results of the atmospheric turbulence profile using the Hufnagel-Valley-boundary model,dh represents the intensity of turbulence profile, the black dotted line is the input cumulative strength of turbulence profile.

對于望遠鏡間距為1.2 m和2.0 m的算例, 圖4中的帶有方點的虛線和帶有三角點的虛線給出了恢復的結果.可以看出在這兩種情況下, 對于5 km之下的湍流廓線, 由于A-MASP的限制, 恢復結果與輸入值符合得較差.而對于5 km以上的湍流廓線形狀符合得較好.對于所有3種情況, 最后總的湍流強度值都低于輸入值, 這主要是由AMASP無法獲得0高度附近的湍流強度導致的.在實際的湍流廓線測量中, 我們可以通過日間DIMM等方法獲得總的湍流強度, 并對A-MASP恢復結果進行修正.另外, 在實際的大氣湍流廓線測量中, 我們可以通過改變望遠鏡間距來對整個范圍內的大氣湍流進行更準確的測量.

4 討論和結論

4.1 討論

S-DIMM+方法是目前日間光學湍流廓線測量中使用最廣泛的方法.我們計劃通過在已建成的太陽望遠鏡上搭建S-DIMM+, 與A-MASP進行聯(lián)合測量, 對A-MASP儀器性能進行驗證.為確保聯(lián)合測量的順利進行, 我們首先使用數(shù)值模擬的方法對S-DIMM+和A-MASP的探測結果進行比較.其中S-DIMM+儀器搭建在1 m太陽望遠鏡上, 具有14個方形子孔徑, 每個子孔徑尺寸為8 mm, 使用太陽表面的兩個小區(qū)域作為導星, 導星的角距離為11′′.A-MASP中兩臺望遠鏡口徑均為0.12 m, 間距為0.4 m.圖5給出了數(shù)值模擬的結果, 圖中的點線為輸入的累積湍流廓線強度; 虛線為模擬得到的S-DIMM+測量結果; 實線為A-MASP的模擬測量結果.由于A-MASP儀器無法測量h0.4 km的大氣湍流, 為了使結果更為直觀, 我們人為將A-MASP的測量結果增加0.6×10?13m1/3.從圖中可以看出, 在1 m望遠鏡上的S-DIMM+的測量結果精度較高, 與輸入的湍流廓線符合得非常好, 因此可以作為參考對A-MASP儀器探測結果進行驗證.S-DIMM+的采樣高度分布均勻, 在測量范圍內具有一致的垂直分辨率, 而A-MASP由于使用多顆導星,在5 km以下的近地面區(qū)域具有比S-DIMM+更高的垂直分辨率.我們可以通過比較湍流廓線的大致形狀對這一段高度的測量結果進行驗證.另外, 如果在S-DIMM+中使用多導星[12,14], 可以進一步提高S-DIMM+在地面附近的湍流廓線測量垂直分辨率, 從而更好地實現(xiàn)相互對比驗證.

圖5 A-MASP和S-DIMM+湍流廓線恢復結果比較, dh表示湍流廓線強度.Fig.5 Comparison of the retrieved results of atmospheric turbulence profile using A-MASP and S-DIMM+ methods, dh represents the intensity of turbulence profile.

4.2 結論

本文使用數(shù)值模擬的方法對多孔徑湍流廓線測量儀A-MASP進行了研究.A-MASP使用兩個小口徑望遠鏡測量日間湍流廓線.為了消除兩臺望遠鏡在觀測中由于抖動而產生的指向誤差, 在A-MASP相關湍流廓線測量恢復算法中引入了額外的修正項.而該修正項的引入會導致湍流層高度h=0時的大氣湍流強度無法測量, 這一效應在之前的文章中尚未進行仔細研究.本文主要結論有:

(1)使用消除抖動的湍流廓線測量公式后, A-MASP對地面附近的湍流不敏感.單層大氣湍流模擬和HVB模型大氣湍流廓線模擬都顯示, 當兩臺望遠鏡間距為0.4 m時,A-MASP無法探測高度小于400 m的湍流, 即最低探測高度為400 m.該最低探測高度和A-MASP中小望遠鏡的距離、口徑, 導星的數(shù)目、間距都有關系, 在真實觀測中可以結合儀器具體的參數(shù), 使用和本文類似的方法進行計算;

(2) A-MASP測量中的采樣高度為非均勻分布, 這會導致獲得的湍流廓線出現(xiàn)失真.我們提出了等效采樣高度的計算方法, 可以對非均勻采樣造成的湍流廓線失真進行修正.數(shù)值模擬結果表明, 修正后的湍流廓線和輸入值吻合得更好.該方法不僅可以應用在A-MASP中, 還可以應用在其他使用非均勻采樣的湍流廓線測量(例如S-DIMM+)中;

(3)結合日間湍流廓線HVB模型, 我們使用100層相位屏對20 km以下的日間大氣湍流進行了建模, 相比之前工作可以更準確地還原A-MASP儀器對真實日間大氣湍流廓線的測量結果.我們發(fā)現(xiàn)當兩臺望遠鏡距離為0.4 m時, A-MASP可以很好地恢復0.4–5 km的低層大氣湍流廓線的形狀、強度以及5 km以上大氣湍流的總強度.當望遠鏡間距為1.2 m和2.0 m時, A-MASP可以較好地恢復5 km以上的高層大氣湍流廓線的形狀.在實際的大氣湍流廓線測量中, 我們可以通過改變望遠鏡間距對整個范圍內的大氣湍流廓線進行測量.