唐琳琳 侯永輝 魏煒 徐騰

(1 中國科學(xué)院國家天文臺南京天文光學(xué)技術(shù)研究所南京210042)

(2 中國科學(xué)院天文光學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京210042)

(3 中國科學(xué)院大學(xué)北京100049)

1 引言

長基線光干涉高分辨成像技術(shù)可以在地基為天文學(xué)家提供毫角秒甚至亞毫角秒的觀測精度, 為揭示恒星的形成及演化機(jī)理、探索活動星系核內(nèi)部細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)、分辨密近雙星系統(tǒng)物質(zhì)流等前沿天文科學(xué)研究提供有力的技術(shù)支撐.在光學(xué)/紅外波段實(shí)現(xiàn)高分辨干涉成像, 必須要克服地球大氣對干涉條紋相位的隨機(jī)擾動, 獲得天體目標(biāo)真實(shí)相位信息.Jennison[1]首先提出了閉合相位[2]技術(shù), 即3條基線可以構(gòu)成一個閉合環(huán), 測量出這個閉合環(huán)的相位值, 由大氣擾動、儀器機(jī)械振動、環(huán)境擾動引起的相位誤差將互相抵消[3], 通過數(shù)據(jù)處理單條基線上的真實(shí)相位信息將可以通過閉合相位進(jìn)行求解.閉合相位技術(shù)首先在射電波段望遠(yuǎn)鏡陣中獲得極大的成功.Rogstad[4]提出將閉合相位技術(shù)應(yīng)用于光學(xué)波段, Rhodes和Goodman進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)[5].Baldwin等[6]在單個望遠(yuǎn)鏡上利用模板進(jìn)行了閉合相位實(shí)驗(yàn).

由于長基線光干涉普遍采用瞳面合束的方式, 要獲得閉合相位信息需要在3條干涉臂上加載非冗余光程差調(diào)制信號, 在終端則使用單點(diǎn)探測器捕獲時域干涉強(qiáng)度信號.要從時域干涉強(qiáng)度信號精確地解算出閉合相位信息, 對光程差調(diào)制的空間及時間控制精度、時域干涉信號的采樣頻率、精度提出了極高的要求.首先, 光程差調(diào)制的精度將受到多種誤差源影響, 如正弦誤差、位移觸動器自身誤差等, 需要對光程差峰-峰幅度、運(yùn)動周期進(jìn)行精密的標(biāo)定; 其次, 時域干涉信號的采樣頻率、精度取決于單點(diǎn)探測器的響應(yīng)速度、模/數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換電路的采樣頻率及轉(zhuǎn)換精度, 需要進(jìn)行合理優(yōu)化選擇以滿足進(jìn)行閉合相位解算的精度.

針對長基線光干涉高分辨成像中閉合相位提取對空間、時間調(diào)制精度要求高, 信號采樣頻率高等核心問題, 本文提出了一種基于精密光程差調(diào)制的時域干涉信號閉合相位提取方法, 首先給出了從時域干涉信號中解算閉合相位的理論和數(shù)值仿真分析; 其次, 在實(shí)驗(yàn)中利用高速壓電陶瓷(PZT)位移觸動器在3束干涉臂上引入調(diào)制信號, 在實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證上述方法提取閉合相位的精度和可靠性, 為該方法應(yīng)用在室外長基線光干涉高分辨成像觀測中打下基礎(chǔ).

2 基于光程差調(diào)制的時域干涉信號閉合相位提取基本方法

天文光干涉成像的基本原理是利用有限的空間頻譜的振幅及相位信息重構(gòu)目標(biāo)天體, 其中相位信息決定了對應(yīng)天體細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)的位置信息[7], 而振幅代表了這些細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)所占的比重.相較振幅而言, 相位信息直接反映天體結(jié)構(gòu)特征, 其測量精度決定了進(jìn)行光干涉圖像重構(gòu)的可靠性和精確性.天文光干涉成像這一技術(shù)的重點(diǎn)在于相位的提取, 但天體發(fā)出的光到達(dá)地面干涉儀時會受到大氣擾動、儀器振動等多種干擾, 閉合相位技術(shù)則是排除大氣干擾、提升相位探測精度的重要技術(shù)途徑之一[8].

2.1 閉合相位基本理論介紹

在長基線光干涉觀測中, 對空間頻譜的測量是在兩個望遠(yuǎn)鏡形成的基線上展開的[9],在基線a上獲得的相位信息φa可以表示為:

其中,φ1、φ2表示在望遠(yuǎn)鏡1和2上由于大氣擾動、儀器震動等因素所引入或積累的相位誤差, Φ12則是基線a上獲得真實(shí)的天體空間頻譜對應(yīng)的相位信息.由于大氣擾動等因素的存在, 直接測量基線a上的條紋對比度無法直接獲得真實(shí)的相位信息Φ12.

閉合相位方法則是同時在3個望遠(yuǎn)鏡所形成的3條閉合基線a、b、c上進(jìn)行相位測量,如圖1所示, 相位信息φa、φb、φc可以分別表示為:

其中,φ3表示望遠(yuǎn)鏡3的相位差, Φ12、Φ23、Φ31表示真實(shí)的天體空間頻譜相位, 將(2)、(3)、(4)式相加就可以得到閉合相位:

圖1 3架望遠(yuǎn)鏡組成的閉合環(huán)Fig.1 Closed loop composed of three telescopes

由于大氣擾動、望遠(yuǎn)鏡自身誤差引起的相位誤差源相互抵消, 閉合相位Φ123與天體空間頻率真實(shí)相位Φ12+Φ23+Φ31之和相等.可以說, 閉合相位是與孔徑誤差無關(guān)的一個量, 并且包含了目標(biāo)天體空間分布的信息.當(dāng)望遠(yuǎn)鏡數(shù)目為3時, 已知真實(shí)相位其中的兩個即可求出第3個.當(dāng)望遠(yuǎn)鏡個數(shù)為N(N>3)時, 每兩個望遠(yuǎn)鏡組成一條基線, 共有N ×(N ?1)/2條基線, 即N ×(N ?1)/2個真實(shí)相位.任意3個望遠(yuǎn)鏡組成一個閉合環(huán), 除去非獨(dú)立的閉合相位后, 可以得到的獨(dú)立閉合相位有(N ?1)×(N ?2)/2個.盡管未知真實(shí)相位的個數(shù)總是大于可獲得的閉合相位個數(shù), 但從獨(dú)立閉合相位中可復(fù)原的相位信息比例為1?2/N, 可以看出隨著N的增大, 可復(fù)原的真實(shí)相位信息越多.隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力不斷提升, 全局優(yōu)化算法尋優(yōu)能力不斷改進(jìn), 閉合相位方法已經(jīng)在長基線光干涉高分辨成像中得到廣泛應(yīng)用.

2.2 基于光程差調(diào)制的閉合相位提取方法

本節(jié)以3個望遠(yuǎn)鏡形成的閉合環(huán)為例, 面向長基線光干涉瞳面合束方式, 闡述一種基于光程差調(diào)制的時域干涉信號閉合相位提取方法.進(jìn)行閉合相位測量要求來自3個望遠(yuǎn)鏡的光合成一路以形成完美的閉合回路, 而采用瞳面合束的方式儀器終端通常使用單點(diǎn)探測器, 要實(shí)現(xiàn)對3條基線上的干涉信號測量, 只能在時域上進(jìn)行調(diào)制以對不同基線上的信號進(jìn)行區(qū)別, 最終獲得閉合相位信息[10].如圖2所示,t表示時間,F表示對時域干涉信號做傅里葉變換(FT)后得到的頻譜.Ii表示干涉臂i上的光強(qiáng),Iij表示基線ij上的干涉信號, 具體步驟如下: 在3束星光的光路中加入引入光程差調(diào)制元件, 加載頻率為ω1、ω2、ω3的三角波位移信號, 這時在3條基線上將得到不同周期的余弦信號, 在合束器后的探測器上接收到的時域干涉信號I(t)可以表示為:

其中,Cij表示基線ij上獲得條紋的對比度, Φij表示基線ij上的真實(shí)相位信息,φi與望遠(yuǎn)鏡i相關(guān), 表示由于大氣擾動以及干涉臂i上機(jī)械振動、環(huán)境擾動共同累積的相位誤差.fij是基線ij上合成調(diào)制信號的頻率, 同時需要保證f12=f23=f31=0.

圖2 基于光程差調(diào)制的閉合相位提取方法示意圖Fig.2 Acquisition of the closure phase based on the optical path difference modulation

對于光干涉高分辨成像而言, 可觀察量是在基線上測得的條紋可見度信息Vij, 表示為:

在對時域干涉信號I(t)進(jìn)行FT, 可以得到:

其中δ表示狄拉克函數(shù)為I(t)在頻域的表達(dá)式,f表示頻率.對時域干涉信號I(t)進(jìn)行傅立葉變換, 可以在對應(yīng)的調(diào)制頻率fij處得到其模值對光強(qiáng)進(jìn)行歸一化處理即可獲得基線ij上的條紋可見度振幅信息Cij.對于閉合相位信息Φ123而言, 是通過對?I(f)中各調(diào)制頻率fij處得到的傅立葉變換相位信息Φij+φj ?φi進(jìn)行加和得到:

對于長基線式光干涉高分辨成像而言, 基于光程差調(diào)制的閉合相位提取方法能夠?qū)?個基線上的干涉信號在頻域上進(jìn)行區(qū)分進(jìn)而獲得閉合相位信息, 該方法在技術(shù)上易于實(shí)現(xiàn), 在數(shù)值處理上也具備簡單可靠的優(yōu)點(diǎn), 是本文進(jìn)行精密閉合相位提取研究的基礎(chǔ).

3 閉合相位提取仿真及實(shí)驗(yàn)研究

本節(jié)將對上文所述基于光程差調(diào)制的時域干涉信號閉合相位提取方法進(jìn)行數(shù)值仿真.對于分振幅式干涉, 得到的閉合相位應(yīng)為0或π的整數(shù)倍.對3束光合束而言, 只需對其中的兩束加入光程差調(diào)制周期不同的三角波調(diào)制信號, 第3束光不引入調(diào)制信號.在數(shù)學(xué)上這3束光的波函數(shù)U1、U2、U3分別表示為:

加入調(diào)制信號后它們的相位可表示為:

其中A1、A2和A3表示3束光的振幅,f0表示光束頻率,a1和a2表示兩個調(diào)制信號的幅值,k表示波數(shù), sawtooth表示產(chǎn)生三角波的函數(shù),ft表示三角波信號的頻率, ?t表示調(diào)制信號開啟的時間差.將這3束光疊加即可得到干涉光強(qiáng)的表達(dá)式為:

首先考慮在?t為0的情況下, 從0時刻開始采集時長T為0.2 s的干涉信號, 對干涉光強(qiáng)表達(dá)式I做FT, 去除零頻與負(fù)頻率, 可將干涉信號在頻域中歸一化表示為:

可知該干涉信號中應(yīng)包含3個非零的頻率分量, 分別對應(yīng)了3束光兩兩干涉后形成的3個干涉信號的頻率, 由于上文中假設(shè)其中一個調(diào)制信號的幅值為0, 因此這里3個頻率分量的大小體現(xiàn)為兩個不同幅值的調(diào)制信號對應(yīng)的調(diào)制頻率以及它們的和頻.

如圖3為干涉信號在時域與頻域上的圖像, 光波長632.8 nm, 截取信號時長0.2 s,采集速率2000 s?1, 三角波調(diào)制信號頻率為2 Hz, 3個三角波調(diào)制信號的幅值分別為7.119μm、4.746μm和0μm, 對應(yīng)干涉信號的調(diào)制頻率為90 Hz、60 Hz和0 Hz.從右圖中可知干涉信號中含有的非零頻率有60 Hz、90 Hz與150 Hz, 對該頻域信號取角譜得到這3個頻率的相位分別為φ1、φ2和φ3, 將相位相加即得到了閉合相位Φ123=π.

如圖4所示為?t為0時三角波疊加圖像(左)與頻域圖像(右), 當(dāng)?t=0時由于調(diào)制信號之間不存在相位差, 在干涉信號中只存在和頻信號, 非零頻率成分有60 Hz、90 Hz和150 Hz.

當(dāng)?t=0時, 干涉信號中的頻率成分將根據(jù)?t的變化而變?yōu)?個調(diào)制信號兩兩的差頻, 或是差頻與和頻共存.當(dāng)?t為0.25 s時, 干涉信號在頻域中將剛好體現(xiàn)為兩兩差頻,如圖5所示, 兩個三角波的相位差剛好移動了半個周期, 疊加之后體現(xiàn)在干涉信號中非零頻率成分有60 Hz、90 Hz和30 Hz, 該干涉信號在頻域中可表示為:

取各頻率分量的相位并求和后依然可得到閉合相位Φ123=π.

圖3 模擬干涉信號在時域與頻域上的圖像Fig.3 Simulating the image of interferometric signal in the temporal domain and the frequency domain

圖4 ?t為0時三角波疊加圖像(左)與頻域圖像(右)Fig.4 Triangle wave superposition in the temporal domain (left) and the frequency domain (right) when?t=0

圖5 ?t為0.25 s時三角波疊加圖像(左)與頻域圖像(右)Fig.5 Triangle wave superposition in the temporal domain (left) and the frequency domain (right) when?t=0.25 s

如圖6所示, 考慮?t在采集時長T=0.2 s以內(nèi), 并且從0時刻開始采集的情況, 干涉信號在頻域中體現(xiàn)為差頻與和頻共存, 此時干涉信號在頻域中可表示為:

選取兩個具有代表性的時間間隔進(jìn)行討論.當(dāng)?t為0.1 s時, 干涉信號中非零頻率成分有30 Hz、60 Hz、90 Hz和150 Hz, 且和頻150 Hz信號與差頻30 Hz信號的功率相等, 無論是與差頻的相位相加求和或與和頻的相位相加求和均得到了閉合相位Φ123=π.當(dāng)?t為0.13 s時, 干涉信號中非零頻率成分有30 Hz、60 Hz、90 Hz和150 Hz, 數(shù)值仿真結(jié)果表明差頻30 Hz的功率明顯大于和頻150 Hz.取各頻率分量的相位, 此時差頻與和頻的相位差值較大,用60 Hz、90 Hz與差頻30 Hz的相位求和得到閉合相位Φ123=1.0093π,精度有所下降.

圖6 ?t分別為0.1 s和0.13 s時三角波疊加圖像(上)與頻域圖像(下)Fig.6 Triangle wave superposition in the temporal domain (top) and the frequency domain (bottom)when ?t=0.1 s and ?t=0.13 s

上述數(shù)值模擬結(jié)果表明, 在時域干涉信號閉合相位提取過程中, 需要對兩路光程調(diào)制的相位進(jìn)行嚴(yán)格匹配, 防止干涉信號出現(xiàn)和頻與差頻信號共存的現(xiàn)象, 導(dǎo)致閉合相位求解靈敏度和精度的下降.

4 閉合相位探測實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

提取閉合相位信息是光干涉成像的核心技術(shù), 閉合相位的檢測精度很大程度決定了圖像重構(gòu)的質(zhì)量.閉合相位技術(shù)本身能夠消除由于大氣擾動、干涉儀內(nèi)部環(huán)境擾動導(dǎo)致的相位誤差, 其測量誤差來源主要是由于閉合相位基線不完美閉合、進(jìn)行光程差調(diào)制的位移控制偏差以及時域干涉信號采樣率等問題.為了實(shí)現(xiàn)精密的閉合相位測量, 首先, 在合束方式上宜采用“All-in-One”的合束結(jié)構(gòu), 保證了3路干涉光自合束器到達(dá)探測器上經(jīng)歷完全一致的光學(xué)路徑, 這就解決了相位完美閉合的問題; 其次, 在進(jìn)行閉合相位提取時, 有效時域干涉信號的周期應(yīng)為整數(shù), 以保證在進(jìn)行FFT變換時, 頻譜峰值信號不會在功率譜上溢出.這就要求在進(jìn)行光程差調(diào)制時必須要保證足夠的位移控制精度, 保證三角波峰-峰值為波長整數(shù)倍, 另一方面為了保證FFT變換的精度, 時域干涉信號采集必須具備足夠高的時間分辨率.

基于上述思想, 在實(shí)驗(yàn)室搭建如圖7所示的閉合相位探測實(shí)驗(yàn)系統(tǒng).整個光路在典型邁克耳遜干涉系統(tǒng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改造: 干涉臂上的平面鏡被替換成角錐棱鏡, 保證在進(jìn)行光程差調(diào)制過程中不引入波前傾斜擾動; 在邁克耳遜系統(tǒng)的一個干涉臂上額外分束出一路, 形成了3路光干涉系統(tǒng); 3路光最終在分束器4上匯合, 形成“All-in-One”的合束方式.角錐棱鏡安裝在由PZT驅(qū)動的精密位移平臺上, 實(shí)施光程差調(diào)制; 3路合束光最終經(jīng)偏振片后聚焦在單點(diǎn)探測器上, 并由高速數(shù)據(jù)采集卡將數(shù)據(jù)傳遞至工控機(jī).

整個實(shí)驗(yàn)涉及兩個關(guān)鍵過程, 首先是對光程差調(diào)制進(jìn)行位移精度校準(zhǔn), 其次是基于時域干涉信號的閉合相位提取.

4.1 光程差調(diào)制位移精度校準(zhǔn)

本實(shí)驗(yàn)所使用的PZT采用閉環(huán)控制, 盡管可以達(dá)到納米級別的位移分辨能力, 但考慮到光軸與運(yùn)動軸不平行導(dǎo)致的余弦誤差, 必須對PZT進(jìn)行位移精度校準(zhǔn).本文在不使用額外激光干涉儀的條件下, 利用現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)光路, 實(shí)現(xiàn)了PZT的精密校準(zhǔn).將PZT調(diào)制的光束與未加入調(diào)制的光束進(jìn)行相干疊加, 探測器處接收到干涉信號和t時間內(nèi)得到的條紋周期數(shù)N與調(diào)制信號的頻率fi之間存在N=fit的關(guān)系, 因此可以通過這個周期數(shù)來確定實(shí)際調(diào)制位移的大小.周期數(shù)由干涉信號通過最小二乘擬合獲得, 如圖8所示.

通過周期數(shù)N可知實(shí)際光程的調(diào)制量S=N ·λ, PZT設(shè)定的光程調(diào)制量為S0=2Aftt,A為PZT產(chǎn)生三角波信號的峰-峰值.設(shè)定一系列的峰-峰值A(chǔ), 分別測量實(shí)際光程調(diào)制量, 建立S與S0之間的函數(shù)S=βS0,β為校正系數(shù).從圖8中可以看出由于余弦誤差的存在, 實(shí)測位移總是大于PZT設(shè)定的位移, 并且隨距離增加這個偏差呈線性增長, 通過數(shù)值擬合可以得到β.

圖7 基于光程差調(diào)制的閉合相位提取實(shí)驗(yàn)光路Fig.7 Experimental light path of acquisition of the closure phase based on the optical path difference modulation

圖8 時域干涉條紋及周期數(shù)擬合(左)和PZT實(shí)測位移數(shù)據(jù)與設(shè)定位移對應(yīng)關(guān)系(右)Fig.8 Fringes in temporal domain and cycle numbers with least squares fitting (left), and corresponding relationship between measured displacement data of PZT and the set displacement (right)

在實(shí)驗(yàn)中, 為了得到波長整數(shù)倍的三角波調(diào)制量S, 首先將PZT位移量S0設(shè)定為S/β, 然后再反復(fù)微調(diào)S0的數(shù)值, 確保S為波長的整數(shù)倍.在PZT校正實(shí)驗(yàn)中設(shè)定的干涉條紋采集時間為0.2 s, He-Ne激光器波長632.8 nm, 兩路調(diào)制信號的頻率分別為60 Hz與90 Hz, 在0.2 s采集時間內(nèi)對應(yīng)干涉條紋周期數(shù)為12與18.在對PZT校正前測得余弦誤差達(dá)到190 nm和300 nm, 對應(yīng)的周期數(shù)誤差為2.6%.經(jīng)過上述校正過程后, 測得產(chǎn)生調(diào)制信號的周期數(shù)為11.9711與18.0300, 誤差分別為0.24%與0.17%, 光程調(diào)制的位移偏差均在20 nm以內(nèi), 大幅提升了調(diào)制信號的精度, 達(dá)到了校正PZT位移調(diào)制精度的目的.

4.2 精密閉合相位提取

提取時域干涉信號的閉合相位涉及兩個關(guān)鍵的步驟: 一是光程調(diào)制器的同步, 當(dāng)兩個PZT生成的三角波相位匹配時, 只產(chǎn)生和頻或差頻信號, 如果相位差值在0?π之間, 和頻和差頻信號會同時存在, 降低閉合相位探測的靈敏度.在實(shí)驗(yàn)使用雙通道信號發(fā)生器作為三角波信號源, 接入PZT控制器模擬量控制通道, 實(shí)現(xiàn)了兩路PZT光程差調(diào)制相位的硬件同步; 二是在時域干涉信號的采集過程中, 首先要保證單點(diǎn)探測器輸出電壓信號的A/D轉(zhuǎn)換精度, 其次是要采用高速電路確保時域信號的采樣率, 本實(shí)驗(yàn)使用16 bit A/D轉(zhuǎn)換模塊保證了電壓信號轉(zhuǎn)換的分辨率, 采樣率達(dá)到5 kHz可保證進(jìn)行FFT變換所需的時間分辨率.

圖9為3束光合束形成的信號, 左圖為單點(diǎn)探測器上得到的3束光干涉形成的時域干涉信號, 右圖為時域干涉信號的傅里葉變換頻譜信息.從頻譜圖中可以清晰地分辨出該時域干涉信號中主要包含了3個頻率分量, 分別為兩個PZT調(diào)制信號對應(yīng)的60 Hz、90 Hz以及150 Hz和頻信號, 與本文通過數(shù)值模擬得到的結(jié)論一致, 但由于進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時3束光的強(qiáng)度并不完全相同, 因此由時域干涉信號提取出的3個頻率上的頻譜強(qiáng)度也不相同.

圖9 3束光合束形成時域干涉信號(左)和時域干涉信號的頻譜(右)Fig.9 Temporal domain interferometric signal with three beams of light (left) and the spectrum of temporal domain interferometric signal

本實(shí)驗(yàn)主要目的是研究時域干涉信號閉合相位精密提取方法, 因此我們采用分振幅的干涉方式, 其閉合相位值嚴(yán)格地為0或π的整數(shù)倍.如圖10所示, 本實(shí)驗(yàn)采集測試了多組時域干涉信號, 并分析了60 Hz、90 Hz以及150 Hz頻率對應(yīng)的相位, 最終得到了閉合相位信息, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明閉合相位提取誤差上限為2%, 測量精度達(dá)到1/50波長.

圖10 時域干涉信號閉合相位測量及其誤差Fig.10 The measurement of closure phase in the temporal domain interferometric signal and its error

5 總結(jié)與展望

本文提出了一種基于精密光程差調(diào)制的時域干涉信號閉合相位提取方法, 并從數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)兩方面研究了該方法的可行性.首先利用數(shù)值仿真分析了兩路光程差調(diào)制在不同相位差條件下所生成干涉信號的頻譜特征, 嚴(yán)格控制兩路光程差調(diào)制的相位可以避免和頻和差頻同時出現(xiàn), 有利于實(shí)現(xiàn)閉合相位提取的靈敏度和精度; 其次為了提升閉合相位提取的精度, 在實(shí)驗(yàn)上利用時域干涉信號的波長-周期對應(yīng)關(guān)系對PZT在實(shí)際運(yùn)動中存在的余弦誤差進(jìn)行精密校正, 獲得20 nm的位移調(diào)制精度.通過采用高精度的A/D轉(zhuǎn)換模塊和高速采集電路, 確保時域干涉信號的采集精度和時間分辨能力, 最后在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)成功獲得1/50波長精度的閉合相位數(shù)據(jù).在今后的研究中, 我們擬將上述時域干涉信號閉合相位提取方法應(yīng)用到分波前實(shí)驗(yàn)光路中, 開展長基線式光干涉高分辨模擬成像實(shí)驗(yàn).