王立斌

(復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)，上海 200433)

1 研究背景

物體在跟位移大小成正比,并且總是指向平衡位置的回復(fù)力作用下的振動(dòng),是簡(jiǎn)諧振動(dòng),簡(jiǎn)諧振動(dòng)中,回復(fù)力F與振動(dòng)位移x滿足數(shù)學(xué)關(guān)系式F=-kx．一切符合了這個(gè)條件的振動(dòng)都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)．簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的機(jī)械振動(dòng)．[1]

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移-時(shí)間圖像通常稱為振動(dòng)圖像,也叫振動(dòng)曲線．理論和實(shí)驗(yàn)都證明,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像是正弦或余弦曲線．[2]

圖像是形象地表征簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的基本方法,能夠幫助學(xué)生理解物理規(guī)律表現(xiàn)形式的多樣性,加深對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)規(guī)律的認(rèn)識(shí)．

獲得振動(dòng)圖像的方法,人已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究[3-4],基本的原理都是通過計(jì)算機(jī)或者物理的方法留下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體(例如彈簧振子或者單擺)在各個(gè)時(shí)刻的振動(dòng)位移．在課堂上,教師常用的演示儀器是“砂擺”,但“砂擺”需要配有支架和連接有電機(jī)的底板, 所用的沙子需是干燥篩選后的細(xì)沙, 否則它會(huì)造成堵塞流口或流出不暢的現(xiàn)象而影響圖像的質(zhì)量．有教師對(duì)“砂擺”實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了改進(jìn),設(shè)計(jì)了 “水?dāng)[”[5-6],但要么實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備較為復(fù)雜,備課效率低,要么實(shí)驗(yàn)效果欠佳,得到的振動(dòng)圖像較為牽強(qiáng),而且沒有對(duì)改進(jìn)后裝置的科學(xué)性、使用誤差進(jìn)行系統(tǒng)分析,即水?dāng)[是否還能近似為單擺?

為了達(dá)到更好的教學(xué)效果,提高備課效率,增加學(xué)生的自主體驗(yàn),筆者在準(zhǔn)備振動(dòng)圖像這部分教學(xué)內(nèi)容的過程中,對(duì)“水?dāng)[”實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了改進(jìn)和研究,使該實(shí)驗(yàn)具有較高的準(zhǔn)確性,易操作性、可靠性、易維護(hù)性和趣味性,作圖效果、教學(xué)效果良好,而且證明了“水?dāng)[”的科學(xué)性．

2 用水?dāng)[演示簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像主要內(nèi)容

實(shí)驗(yàn)材料:普通礦泉水瓶,細(xì)線,鐵架臺(tái),短尺(或短木棒),夾子,小火車(配直導(dǎo)軌),可再生紙(新聞紙),托盤．

實(shí)驗(yàn)步驟及注意事項(xiàng):

(1) 制作水?dāng)[．

任意找一個(gè)圓柱形礦泉水瓶,用輕質(zhì)細(xì)線系緊,懸吊即可,如圖1所示．

水?dāng)[制作完畢后,懸掛延長(zhǎng)的那根細(xì)繩,應(yīng)與瓶子的中軸線共線．如圖2所示．

圖1 水?dāng)[

圖2 懸繩應(yīng)與瓶子的中軸線共線

(2) 打孔．

圖3 由內(nèi)向外戳孔

用普通鋼針在瓶蓋中心,由內(nèi)向外戳孔,如圖3所示．

圖4 兩種孔徑的水滴效果.左邊為小孔，右邊為大孔.

由于水的表面張力作用,水滴容易附著在瓶蓋表面,減弱甚至阻斷水的流出．由內(nèi)向外戳孔時(shí),瓶蓋破損處的斷面可減小水滴附著面積,削弱表面張力的影響．另外,打孔用的鋼針直徑偏大些為宜．筆者對(duì)比了直徑1.2mm的鋼針(絨線針)和直徑0.55mm的鋼針(手縫針)戳孔后的水滴效果,如圖4所示．

瓶身打孔．

如果只有瓶蓋一個(gè)孔,在擰緊瓶蓋倒置瓶子后,由于大氣壓強(qiáng)的作用,瓶里的水無法持續(xù)流出．所以需要一個(gè)進(jìn)氣孔．考慮到實(shí)驗(yàn)前水瓶靜置時(shí),瓶里的水不能流出,應(yīng)在距離瓶底1/2至2/3瓶身高度處打孔,并用記號(hào)筆在瓶身上劃線以提示裝水線,如圖5所示．

由于液體表面張力的影響,水壓過低時(shí),液體不易流出．如圖4所示實(shí)驗(yàn),瓶蓋高度約為1.2cm,在有孔瓶蓋內(nèi)裝滿水,小孔瓶蓋中的水,在1.2cm高的水壓作用下,甚至不流出來,大孔瓶蓋中的水,在1.2cm高的水壓作用下,也只是緩慢滴落．所以,為了維持水瓶中水的持續(xù)流出,需要一定的壓強(qiáng)差．這樣,在瓶身打孔的位置也不宜過高,在距離瓶底1/2至2/3瓶身高度處打孔為宜,以保證水瓶倒置后,兩孔間有一定的壓強(qiáng)差．(穩(wěn)定時(shí)壓強(qiáng)差Δp=ρgh,h為兩孔間的高度差．)

水流效果如圖6所示時(shí)即可使用．

圖5 瓶身打孔及裝水線

圖6 水流效果

需要指出的是,在同樣能夠保證水流持續(xù)流出的情況下,開孔越小,水流越細(xì)越好．

(3) 組裝儀器．

圖7 組裝儀器

將水?dāng)[細(xì)線繞在短尺上,短尺搭在鐵架臺(tái)后,調(diào)整細(xì)線長(zhǎng)度,使水?dāng)[底端距離桌面約2cm,高度剛好能放進(jìn)一個(gè)托盤時(shí)即可用夾子把細(xì)線夾緊在短尺上．

將可再生紙(下簡(jiǎn)稱白紙)和火車導(dǎo)軌沿垂直于擺動(dòng)方向放置,用透明膠帶連接小火車和白紙即可,儀器組裝如圖7所示,然后即可將短尺連同水?dāng)[取下,在瓶中加入普通自來水至裝水線(開孔處)待用．

小火車使用一般市面上可以買到的普通電動(dòng)玩具小火車即可,筆者使用的小火車速度大小約為18cm/s．

紙張使用的是普通試卷用的可再生紙,顏色偏黃,亦稱“新聞紙”,吸水前后顏色對(duì)比明顯．

如果使用顏色較白的雙膠紙,吸水后顏色對(duì)比不明顯,那就需要在水中額外添加者藍(lán)色墨水或者其他顏料來增加顏色對(duì)比了．

(4) 畫圖．

圖8 先在水?dāng)[下方放置一個(gè)接水托盤

實(shí)驗(yàn)前,先在水?dāng)[下方放置一個(gè)接水托盤,然后釋放水?dāng)[,如圖8所示．當(dāng)水?dāng)[在托盤里面的水跡是一條直線并且與走紙方向垂直時(shí),抽出托盤,打開小火車開關(guān),讓小火車帶動(dòng)白紙勻速前進(jìn)即可得到振動(dòng)圖像,如圖9所示,最后將水?dāng)[停擺正放,關(guān)閉小火車開關(guān)即可．

圖9 水?dāng)[的振動(dòng)圖像

3 “水?dāng)[”誤差分析

一個(gè)質(zhì)點(diǎn),用一個(gè)沒有質(zhì)量的剛性懸絲懸掛,僅受重力作用,在一個(gè)豎直平面內(nèi)擺動(dòng),即是一個(gè)單擺,也叫數(shù)學(xué)擺．[7-8]單擺是一個(gè)理想物理模型,在教學(xué)實(shí)踐中,常用“細(xì)線小鋼球” 近似為單擺,即,一根輕質(zhì)細(xì)線,一端系緊小鋼球,一端固定,可近似為單擺．

圖10 水?dāng)[簡(jiǎn)化

水?dāng)[實(shí)驗(yàn)中,振動(dòng)物體為圓柱體,與“細(xì)線小鋼球”模型差異較大,是否能近似為單擺呢?筆者對(duì)此進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究．

3.1 理論分析．[9-10]

首先將水?dāng)[誤差問題進(jìn)行如下簡(jiǎn)化．

如圖10,一底面半徑為r,高度為h,質(zhì)量為m的實(shí)心均勻圓柱體,在輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的細(xì)線牽引下,做小角度振動(dòng)．線長(zhǎng)為L(zhǎng)1．懸點(diǎn)為O．若r、h與L1相比不可忽略不計(jì),求解此擺動(dòng)物體的周期,并進(jìn)行誤差分析．

分析解答:應(yīng)用復(fù)擺理論進(jìn)行求解．

復(fù)擺小角度擺動(dòng)周期為

(1)

(2)

若要求復(fù)擺周期T1與理想單擺周期T0誤差在1%以內(nèi),即T1=1.01T0,對(duì)于一個(gè)底面半徑為r=2.75cm,高度h=15cm,可看做圓柱體的裝滿水的瓶子,則由(1)、(2)兩式計(jì)算可以得,只要擺線長(zhǎng)大于L1=24.5cm=1.63h,即可保證使用單擺周期公式計(jì)算時(shí)的誤差在1%以內(nèi)．

若要求復(fù)擺周期T1與理想單擺周期T0誤差在1%以內(nèi),即T1=1.01T0,對(duì)于一個(gè)底面半徑為r=1.3cm,高度h=6.6cm,可看做圓柱體的裝滿水的瓶子,則由(1)、(2)兩式計(jì)算可以得,只要擺線長(zhǎng)大于L1=10.8cm=1.64h,即可保證使用單擺周期公式計(jì)算時(shí)的誤差在1%以內(nèi)．

3.2 實(shí)驗(yàn)研究

(1) 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:用光電門傳感器測(cè)量不同水?dāng)[的在不同擺長(zhǎng)時(shí)的振動(dòng)周期．

(2) 實(shí)驗(yàn)器材:朗威DIS系統(tǒng)加光電門傳感器,鐵架臺(tái),米尺.

對(duì)照組為“細(xì)線小鋼球”擺．小鋼球半徑為1.0cm．

實(shí)驗(yàn)組為兩種尺寸的水?dāng)[,

水?dāng)[1:底面半徑為r=2.75cm,高度h=15cm,可看做圓柱體的裝滿水的瓶子,在底面圓心連接有足夠長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線．

水?dāng)[2:底面半徑為r=1.3cm,高度h=6.6cm,可看做圓柱體的裝滿水的瓶子,在底面圓心連接有足夠長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線．

(3) 實(shí)驗(yàn)主要步驟:如圖11所示,組裝好實(shí)驗(yàn)器材．

圖11 用光電門傳感器測(cè)量不同水?dāng)[的在不同擺長(zhǎng)時(shí)的振動(dòng)周期

調(diào)節(jié)各擺的細(xì)線長(zhǎng)至擺長(zhǎng)L預(yù)定值,用光電門傳感器因此測(cè)量各擺的周期T．

改變擺長(zhǎng),重復(fù)以上步驟．

誤差分析計(jì)算．

(4) 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

表1

對(duì)于水瓶擺,擺長(zhǎng)L為懸點(diǎn)至盛水部分中心的距離．對(duì)于鋼球擺,擺長(zhǎng)L為懸點(diǎn)至球心的距離．

周期為多次測(cè)量的平均值．

(5) 實(shí)驗(yàn)結(jié)論.

對(duì)于本實(shí)驗(yàn)中的水瓶擺,只要擺長(zhǎng)大于2倍瓶身高度,水瓶擺的周期與鋼球擺的周期誤差小于1%．

3.3 誤差分析小結(jié)

影響單擺周期的因素很多,擺動(dòng)過程中的空氣阻力、空氣浮力、擺長(zhǎng)改變、擺動(dòng)平面變化等等,都會(huì)引起周期誤差．

綜合理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,可以得出以下結(jié)論,在誤差允許的范圍內(nèi),從周期角度來說,水瓶擺也可以近似為單擺．以一個(gè)底面半徑為r=2.75cm, 瓶身高度h=15cm,可看做圓柱體的裝滿水的瓶子為例,只要擺長(zhǎng)大于2.6倍瓶身高度(擺線長(zhǎng)大于1.6倍瓶身高度),即可保證使用單擺周期公式計(jì)算時(shí)的誤差在1%以內(nèi)．

當(dāng)然,為了幫助學(xué)生樹立正確的理想模型的物理觀念,在實(shí)際使用中,擺線長(zhǎng)相對(duì)于振子尺寸還是較長(zhǎng)些好,而且要強(qiáng)調(diào)水?dāng)[只是可近似為單擺．