梅慧娟

開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)研究已經(jīng)進(jìn)行了很多年。1971年，日本一個(gè)27人的學(xué)者群體，率先研究數(shù)學(xué)開(kāi)放題的教學(xué)問(wèn)題，并于1977年發(fā)表了名為《算術(shù)、數(shù)學(xué)課的開(kāi)放式問(wèn)題改善教學(xué)的新方案》的報(bào)告。隨著數(shù)學(xué)開(kāi)放題成為中、高考的新題型，研究數(shù)學(xué)開(kāi)放題的人越來(lái)越多。為了探索開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)，我從課外活動(dòng)課到新課的講授，做了十分有益的開(kāi)放式教學(xué)嘗試，由此，我認(rèn)為目前的開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)研究應(yīng)該是一個(gè)從數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)到開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)不斷漸進(jìn)的過(guò)程。

一、數(shù)學(xué)開(kāi)放題

1.數(shù)學(xué)開(kāi)放題的概念

所謂開(kāi)放題，國(guó)外叫做“open-ended problem”，即開(kāi)放結(jié)果的問(wèn)題。我們不應(yīng)該狹義地去理解數(shù)學(xué)開(kāi)放題，因?yàn)閿?shù)學(xué)開(kāi)放題是直接針對(duì)課堂教學(xué)改革而提出的，在研究數(shù)學(xué)開(kāi)放題時(shí)，應(yīng)該更多地考慮教學(xué)的因素。我認(rèn)為：解決方向不唯一的數(shù)學(xué)題是數(shù)學(xué)開(kāi)放題。因?yàn)樗粌H僅考慮題，更重要的是考慮人，也就是說(shuō)，它從數(shù)學(xué)和教學(xué)兩個(gè)方面來(lái)規(guī)定數(shù)學(xué)開(kāi)放題。

2.數(shù)學(xué)開(kāi)放題的基本類型

數(shù)學(xué)命題一般可以根據(jù)思維形式分成∶假設(shè)—推理—判斷三部分，據(jù)此數(shù)學(xué)開(kāi)放題可分為4種基本類型。

（1）條件開(kāi)放題：開(kāi)放題未知的要素是假設(shè);

例如：為使下列各式可以分解因式（整數(shù)范圍內(nèi)） ?可以取哪些整數(shù)？試分別寫出 幾個(gè)值.① ? ?②

（2）結(jié)論開(kāi)放題：未知的要素是判斷。

例如：CD是 的斜邊AB上的高，盡可能找出圖形的形狀和大小之間存在的各種關(guān)系.

（3）策略開(kāi)放題：未知的要素是推理;

例如：有一塊長(zhǎng)4米，寬3米的園地，現(xiàn)要在園地上辟一個(gè)花圃，使花圃的面積是園地的一半，問(wèn)如何設(shè)計(jì)？給出你設(shè)計(jì)的圖案并作出有關(guān)的計(jì)算.

（4）綜合開(kāi)放題：有的問(wèn)題只給出情景，其條件、解題方法與結(jié)論都要主體自行設(shè)定與尋找，這類題稱為綜合開(kāi)放題。

二、開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)

1.開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)

（1）開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)有利于發(fā)掘每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能。

（2）開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)有利于學(xué)生更多地交流與合作。

（3）開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)有利于滿足學(xué)生的心理需要。

（4）開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

2.開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)方法

（1）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的開(kāi)放性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)和初步的辨證唯物主義觀點(diǎn)的有效途徑。通過(guò)對(duì)適應(yīng)日常生活、參加生產(chǎn)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)三個(gè)方面所必須的代數(shù)、幾何的基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和基本技能的培養(yǎng)，逐步掌握和豐富優(yōu)美的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。通過(guò)師生對(duì)話、學(xué)生討論、課堂練習(xí)等形式充分表達(dá)出來(lái)。因此，我引導(dǎo)學(xué)生重視∶①提高口頭語(yǔ)言表達(dá)能力，注意簡(jiǎn)潔性;②提高文字語(yǔ)言表達(dá)能力，注意書(shū)寫的嚴(yán)謹(jǐn)性;③提高圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化能力。

（2）重視學(xué)生能力的培養(yǎng)，全面實(shí)施開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)。

在開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生三個(gè)方面十種能力。第一個(gè)方面是基本能力，它包括運(yùn)算能力、空間能力和邏輯思維能力;第二個(gè)方面是一般能力，它包括觀察能力、理解能力、記憶能力和應(yīng)用能力;第三個(gè)方面是特殊能力，它包括學(xué)生個(gè)體的自學(xué)能力、抽象能力和探究能力。

①培養(yǎng)學(xué)生的求同思維能力

求同思維是從已知材料中進(jìn)行比較、歸納、總結(jié)，得出規(guī)律性的知識(shí)，尋找問(wèn)題的同一答案，進(jìn)行聯(lián)想與類比，這與培養(yǎng)學(xué)生的求同思維密切相關(guān)。

在“相似三角形”的教學(xué)中，我讓學(xué)生把“全等三角形”的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行比較，找出異同點(diǎn)，如“相似三角形”的判定與“全等三角形”判定的SAS，ASA，AAS，SSS等有些相似，但也有所區(qū)別，可以讓學(xué)生通過(guò)類比得出結(jié)論。

②培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力

在教學(xué)中，除了向?qū)W生進(jìn)行正向思維訓(xùn)練外，還應(yīng)不失時(shí)機(jī)地設(shè)計(jì)逆向性問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，使兩者相互促進(jìn)。實(shí)踐中，我設(shè)計(jì)了這樣的開(kāi)放問(wèn)題：當(dāng)條件變化時(shí)，結(jié)論如何變化？即矩形（菱形、正方形、梯形、等腰梯形、對(duì)角線垂直的四邊形、對(duì)角線相等的四邊形等）各邊中點(diǎn)依次連結(jié)而成什么樣的四邊形？另外，還可以設(shè)計(jì)為：當(dāng)結(jié)論變化時(shí)要求條件如何？即要依次連結(jié)四邊中點(diǎn)得到的四邊形為矩形（菱形、正方形）時(shí)，條件應(yīng)如何變化？最后，可以問(wèn)學(xué)生：結(jié)論能否為梯形，為什么？這樣的設(shè)計(jì)就迫使學(xué)生做逆向探求，思維要求更高，逆向思維能力得到培養(yǎng)。

③增強(qiáng)學(xué)生思維的批判性

由于開(kāi)放題的結(jié)論常常是未知的或不確定的，有的有待于猜想，有的存在多種可能，這就為培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性提供了極好的機(jī)遇與素材。在“圓”的教學(xué)中，有這樣的題：相交兩圓的公共弦長(zhǎng)為24，兩圓半徑分別為15和20，求圓心距。有部分學(xué)生能夠應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)作答，結(jié)果有兩種答案，但大部分學(xué)生處于困惑狀態(tài)，于是，我積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，在爭(zhēng)議中變得聰明起來(lái)，通過(guò)“批判自己”，使學(xué)生思維的批判性不斷完善與提高。

④提高學(xué)生思維的創(chuàng)造性

教學(xué)中通過(guò)多角度、多方位、多層次地探求解題思路和方法，開(kāi)闊學(xué)生的思路。由于開(kāi)放題常會(huì)給思維的定向帶來(lái)困難，這就要求學(xué)生既掌握常規(guī)的思維過(guò)程，又能獨(dú)巨匠心，出奇制勝。

例如：已知a≠b，3a2+4a-1=0， ，求 的值。本題可用常規(guī)法求出a、b 后代入求值;但引導(dǎo)學(xué)生用a、 構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系，輕松求解。

在初中數(shù)學(xué)教材中，有很多內(nèi)容與物理、化學(xué)、生物、歷史、地理等相聯(lián)系，這就不但要求數(shù)學(xué)教師在熟悉和掌握教學(xué)課標(biāo)的同時(shí)，還要了解相關(guān)學(xué)科的知識(shí)，切實(shí)教好數(shù)學(xué)內(nèi)容，使數(shù)學(xué)課向物理、化學(xué)、生物、歷史、地理等學(xué)科進(jìn)行教學(xué)開(kāi)放，做到數(shù)學(xué)教學(xué)為相關(guān)學(xué)科的教學(xué)服務(wù)，增強(qiáng)學(xué)生橫向?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高創(chuàng)新思維能力，真正把數(shù)學(xué)變成各學(xué)科不可缺少的基礎(chǔ)課程。實(shí)踐證明開(kāi)放式數(shù)學(xué)教學(xué)是可為的，是值得我們認(rèn)真、深入探索的。