華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 王先義 劉秀湘

2019年全國卷III文理科試卷的壓軸題第21題以解析幾何知識作為命題內(nèi)容,打破了過去以函數(shù)內(nèi)容為壓軸題的慣例,這是今年高考數(shù)學(xué)命題的重大變化.該題在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的同時(shí),注重對能力、思想和方法方面的考查,有知識覆蓋面寬、綜合性強(qiáng)、思維量大、方法多等特點(diǎn).不僅如此,該題蘊(yùn)含了豐富的高等數(shù)學(xué)背景,給我們留下了廣闊的探索空間.本文基于高等數(shù)學(xué)的視角對問題的解法及其背景進(jìn)行探析,發(fā)現(xiàn)了諸多有趣的命題,同時(shí)獲得了命題成立的充要條件和適用范圍.該題完全符合趙思林教授提出的一個“好”的數(shù)學(xué)問題應(yīng)該具有以下六個特點(diǎn):“立意的鮮明性、背景的深刻性、問題的探究性、思想的啟發(fā)性、方法的多樣性、問題的推廣性”,[1]是一道考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的“好”試題.

一、試題呈現(xiàn)及評析

圖1

(1)證明:直線AB過定點(diǎn);

試題評析該題第(1)問是經(jīng)過動點(diǎn)作拋物線兩條切線,生成一條“動”弦,證明動弦AB過定點(diǎn)的問題,主要考查圓錐曲線中拋物線的簡單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識;主要考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想;綜合考查學(xué)生探究分析問題能力、解決問題能力和創(chuàng)新意識.第(2)問以第(1)為基礎(chǔ),再結(jié)合動直線與圓的位置關(guān)系等知識,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.試題重點(diǎn)突出,層次分明,對于考生運(yùn)用所學(xué)知識,尋找合理的解題策略以及思想和能力都有較高的要求,較好地達(dá)到了考查目的,體現(xiàn)能力立意的命題原則.

二、試題解法探析

由于第(2)問以第(1)問為基礎(chǔ),第(1)問中圖形結(jié)構(gòu)優(yōu)美(如圖1),且具有很好的可探究性,因此我們只研究第(1)問.第(1)問的解答,常見的有三種解法:

方法一利用切線方程得切點(diǎn)弦方程

評注先求出A,B兩點(diǎn)的切線方程,利用兩切線共點(diǎn),從而發(fā)現(xiàn)A,B兩點(diǎn)都在直線上,從而巧妙地求得動弦AB的方程,使問題獲解.難點(diǎn)在于考生不能從式子中抽象出“動”弦AB的直線方程,實(shí)際是直線方程點(diǎn)斜式的另一種呈現(xiàn)形式.

方法二利用韋達(dá)定理得切點(diǎn)弦方程

評注利用待定系數(shù)法設(shè)“動”弦直線方程,將曲線C方程與動直線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到兩切點(diǎn)的關(guān)系.由于兩切線共點(diǎn),聯(lián)立切線方程求解公共點(diǎn),結(jié)合韋達(dá)定理化簡得到“動”弦直線方程中的參數(shù).思路較為清晰,循序漸進(jìn),是大多數(shù)學(xué)生可能采取的方法,但由于未知量較多,對學(xué)生的計(jì)算能力要求較高.

方法三利用特殊值探究切點(diǎn)弦方程

評析此方法另辟蹊徑,采取“特值引路,先猜后證”的思想,既然是定點(diǎn),說明這個點(diǎn)是確定的,與變化的直線AB和變化的點(diǎn)D都無關(guān),以退為進(jìn),從特殊位置出發(fā)猜想出定點(diǎn)坐標(biāo),再反過來驗(yàn)證其充分性.

三、第(1)問的推廣

直線AD,BD是從D向拋物線引的兩條切線(切點(diǎn)分別為A,B),不管D在直線上怎樣運(yùn)動,直線AB過定點(diǎn)始終成立.我們自然要問:

(1)如果直線變成y=t(t＜0)時(shí),直線AB還過定點(diǎn)嗎?

(2)如果將確定拋物線改成任意的拋物線、橢圓、雙曲線等,結(jié)論還成立嗎?(3)如果過定點(diǎn)的直線與曲線C交于相異的兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)作曲線C的切線,在切線相交的情況下,交點(diǎn)所在的定直線方程與“動”弦所過定點(diǎn)有聯(lián)系嗎?

通過探究發(fā)現(xiàn)上述問題答案都是肯定的,并且找到動直線過的定點(diǎn)與動點(diǎn)處切線的交點(diǎn)所在的定直線的聯(lián)系.相關(guān)結(jié)果如下:

命題1已知曲線C:x2=2py(p＞0),D為直線y=-t(t＞0)上的動點(diǎn),過D作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB仍過定點(diǎn)(0,t).

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(m,-t).對x2=2py(p＞0)求導(dǎo)得則曲線C在A處切線方程為又點(diǎn)D(m,-t)在切線上,則即同理可得觀察發(fā)現(xiàn)A,B兩點(diǎn)都在直線+t上,因此直線AB過定點(diǎn)(0,t).對于其它三種情況的拋物線結(jié)論亦成立.

命題2已知曲線C:x2=2py(p＞0),A,B為曲線C上的相異兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)分別作曲線C的切線,兩切線交于點(diǎn)D,D在定直線y=-t上的充分必要條件是直線AB過定點(diǎn)(0,t).

必要性.其證明過程如命題1.

命題3已知曲線C:x2=2py(p＞0),A,B為曲線C上的相異兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)分別作曲線C的切線,兩切線交于點(diǎn)D,若D在定直線上(或者AB過定點(diǎn)則DF⊥AB.反之,若過焦點(diǎn)F的直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)F作FD⊥AB交準(zhǔn)線于D,則AD,BD為曲線C的兩條切線.

對于其它三種情況的拋物線,相應(yīng)的命題和推論亦成立.

命題4已知曲線C:x2=2py(p＞0),A,B為曲線C上的相異兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)作曲線C的切線,兩切線交于點(diǎn)D,動點(diǎn)D在定直線x0x=p(y+y0)上的充分必要條件是直線AB過定點(diǎn)(x0,y0).

證明過程與命題2相仿,此處不再贅述.

命題5已知曲線=1(a＞b＞0),A,B為曲線C上的相異兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)作曲線C的切線,兩切線交于點(diǎn)D,D在定直線x=t上的充分必要條件是直線AB過定點(diǎn)

必要性.設(shè)D(t,m)曲線C在A處切線方程為又D(t,m)在此切線上,所以1.同理觀察A,B兩點(diǎn)都在直線上,因此直線AB過定點(diǎn)

命題6已知曲線=1(a＞b＞0),A,B為曲線C上的相異兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)作曲線C的切線,兩切線交于點(diǎn)D,D在定直線=1上的充分必要條件是直線AB過定點(diǎn)(x0,y0).

證明過程與命題5相仿,此處不再贅述.

命題7已知曲線=1,A,B為曲線C上的相異兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)作曲線C的切線,兩切線交于點(diǎn)D,D在定直線=1上的充分必要條件是直線AB過定點(diǎn)(x0,y0).

證明過程與命題4相仿,此處不再贅述.

在上述結(jié)論的基礎(chǔ)上,我們可以提出更一般的命題:

命題8若非退化二次曲線C:F(x,y)=0,M,N為曲線C上的相異兩點(diǎn),過M,N兩點(diǎn)作曲線C的切線,兩切線交于點(diǎn)D,求證:D在定直線上的充分必要條件是直線MN過定點(diǎn).

四、試題背景

實(shí)際上,此題涉及到高等幾何中的極點(diǎn)、極線等知識.

極線是圓錐曲線的一個常用概念,如圖2所示,無論P(yáng)(x0,y0)在曲線內(nèi)部還是外部,過點(diǎn)P作兩條割線PEF,PGH,分別交曲線C于點(diǎn)E,F和G,H,設(shè)直線EH,FG交于點(diǎn)N,FH,EG交于點(diǎn)M,則點(diǎn)P關(guān)于曲線C的極線是直線MN[2].

圖2

題目中的動點(diǎn)D是直線AB關(guān)于拋物線的極點(diǎn),直線AB是點(diǎn)D關(guān)于拋物線的極線.極點(diǎn)、極線有許多重要的幾何性質(zhì),根據(jù)前面幾個命題以及極點(diǎn)極線定義,結(jié)合幾何畫板,我們不難發(fā)現(xiàn):

性質(zhì)1當(dāng)定點(diǎn)P(x0,y0)在曲線C上時(shí),點(diǎn)P關(guān)于曲線C的極線就是曲線C在P處的切線.

性質(zhì)2當(dāng)定點(diǎn)P(x0,y0)在曲線C外部時(shí),若過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn),則點(diǎn)P關(guān)于曲線C的極線是直線AB.

性質(zhì)3當(dāng)定點(diǎn)P(x0,y0)在曲線C內(nèi)部時(shí),點(diǎn)P關(guān)于曲線C的極線是曲線C過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處切線的交點(diǎn)軌跡.

根據(jù)前面探究可以發(fā)現(xiàn),圓錐曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線就是極點(diǎn)與極線的關(guān)系.

限于篇幅,上述3個性質(zhì)不再一一證明,有興趣的讀者結(jié)合命題8即可獲證.

除此之外,極點(diǎn)極線還蘊(yùn)含著許多性質(zhì),其中較為重要的是調(diào)和點(diǎn)列和調(diào)和線束,在2008年安徽卷,2010年江蘇卷,2011年四川卷,2012年福建卷、2017年北京卷,2018年北京卷等試卷中的解析幾何部分都對其進(jìn)行了考查,由于篇幅關(guān)系,此處不做解答,有興趣的讀者可以嘗試研究.現(xiàn)將試題摘錄如下:

(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)過點(diǎn)P(4,1)的動直線l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn)A,B時(shí),在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足證明:點(diǎn)Q總在某定直線上.

題目2(2010年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,如圖3,已知橢圓=1的左、右頂點(diǎn)為A,B,右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1), N(x2,y2),其中m＞0,y1＞0,y2＜0.

(1)設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡;(2)設(shè)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)設(shè)t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān)).

圖3

題目3(2011年高考四川文科卷)如圖4,過點(diǎn)C(0,1)的橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A(a,0),B(-a,0),過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D,并與x軸交于點(diǎn)P,直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.

圖4

(1)當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時(shí),求線段CD的長;(2)當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí),求證:為定值.

題目4(2012年高考福建理科卷)如圖5,橢圓1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,離心率過F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),且ΔABF2的周長為8.

圖5

(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

題目5(2017年高考北京理科卷)已知拋物線C:y2=2px過點(diǎn)P(1,1).過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn);

題目6(2018年高考北京理科卷)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2).過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A,B.且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.

五、總結(jié)反思

美國著名數(shù)學(xué)家哈兒莫斯曾說:“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.探究是解決問題的基本途徑,心理學(xué)研究表明,情景產(chǎn)生問題,問題引發(fā)探究,探究激發(fā)創(chuàng)新思維,創(chuàng)新思維形成緘默知識.緘默知識的生成離不開問題意識的生成和數(shù)學(xué)探究的訓(xùn)練.近年來,以高等數(shù)學(xué)背景進(jìn)行命題是高考的熱點(diǎn),此類試題具有廣闊的探索空間,應(yīng)該引起廣大教師和研究者的注意,作為教師和研究者也應(yīng)該立足于高考試題,充分挖掘和發(fā)揮試題的作用和價(jià)值,在研究高考試題過程中來充實(shí)自己,豐富個人的專業(yè)知識,從采一朵蘑菇出發(fā),去找一堆蘑菇.