農(nóng)興中，李 祥，劉堂輝，盛 曦，王 平，趙才友

（1.廣州地鐵設(shè)計(jì)研究院股份有限公司， 廣東 廣州 510010；2.西南交通大學(xué)高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；3.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川 成都 610031）

隨著我國(guó)地鐵的大規(guī)模修建，地鐵運(yùn)行引起的環(huán)境振動(dòng)越來(lái)越影響人們的生產(chǎn)與生活[1]，地鐵誘發(fā)的地面建筑振動(dòng)頻率成分主要為80 Hz以下的低頻振動(dòng)[2]，而人體對(duì)低頻振動(dòng)較為敏感[3-4]，因此地鐵減振措施主要針對(duì)于低頻振動(dòng).浮置板道床作為地鐵常用減振措施，通過(guò)道床減振的方式隔離向環(huán)境土壤傳播的垂向振動(dòng).浮置板軌道系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)隔振的原理是在軌道與基礎(chǔ)之間插入一個(gè)固有頻率極低的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，由浮置板道床提供較大質(zhì)量，由浮置板板下支承提供較低的垂向剛度，可衰減頻率范圍在倍固有頻率以上的振動(dòng)成分[5].常用的浮置板板下支承類型有鋼彈簧與橡膠隔振器.

目前聲子晶體在減振降噪領(lǐng)域的研究成果豐富，1993年，Kushwaha[6]在研究鎳/鋁二維固體周期復(fù)合介質(zhì)時(shí)首次提出了聲子晶體的概念；Koo等[7]將聲子晶體引入管路系統(tǒng)中，將管路加周期彈性支撐，得到了彎曲振動(dòng)帶隙并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)其帶隙對(duì)彎曲振動(dòng)有一定隔振效果；Sheng等[8]提出了聲子晶體的局域共振帶隙機(jī)理，這標(biāo)志著聲子晶體研究的重大突破；Yu等[9]率先將聲子晶體理論引入到梁板類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，實(shí)現(xiàn)了利用帶隙特性抑制一定頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)傳播.本文作者所在課題組已將聲子晶體理論初步應(yīng)用于軌道結(jié)構(gòu)研究中，其中文獻(xiàn)[10]基于聲子晶體理論提出了一種用于浮置板下滿鋪支承的減振墊板，進(jìn)行了一定的理論計(jì)算與帶隙優(yōu)化工作，但是未考慮減振墊對(duì)整體軌道減振效果的影響，且制造精度和難度較高.因此，本文對(duì)文獻(xiàn)[10]中提出的元胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，將滿鋪的減振墊改為點(diǎn)支撐的隔振器，通過(guò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)使其垂向剛度與傳統(tǒng)鋼彈簧一致，建立了三維聲子晶體隔振器浮置板軌道有限元模型，計(jì)算了整體結(jié)構(gòu)的力傳遞率，并與傳統(tǒng)鋼彈簧浮置板軌道的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.此外，計(jì)算了聲子晶體隔振器的垂向剛度.

1 聲子晶體隔振器簡(jiǎn)介

聲子晶體是由兩種或兩種以上彈性介質(zhì)組成的具有彈性波帶隙的周期復(fù)合材料.彈性波在聲子晶體中傳播時(shí)，受其內(nèi)部周期結(jié)構(gòu)的作用，形成特殊的色散關(guān)系，將沒(méi)有色散關(guān)系曲線的頻率范圍稱為帶隙.理論上，帶隙頻率范圍的彈性波傳播被抑制，而其它頻率范圍（稱為通帶）的彈性波將在色散關(guān)系的作用下無(wú)損耗地傳播.聲子晶體的帶隙機(jī)理有兩種，分別為布拉格散射機(jī)理與基于共振機(jī)理，本文的聲子晶體隔振器基于聲子晶體局域共振機(jī)理，與傳統(tǒng)鋼彈簧的安裝位置一致，聲子晶體橡膠隔振器浮置板軌道結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.

圖 1 聲子晶體隔振器浮置板軌道結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic diagram of the floating slab track with vibration isolators of phononic crystals

本文所設(shè)計(jì)的聲子晶體隔振器一維聲子晶體結(jié)構(gòu)元胞由橡膠墊層、鋼散射體、軟橡膠材料和基體外殼（鋁合金）組成，如圖2（a）所示，聲子晶體隔振器由3個(gè)元胞構(gòu)成.軟橡膠和鋼散射體形成局域振子，提供局域共振型帶隙，而基體外殼和橡膠墊層主要提供垂向剛度.聲子晶體隔振器元胞幾何尺寸如圖2（b）所示，上圖為聲子晶體元胞俯視圖的一半，下圖為聲子晶體元胞的前視剖面圖，幾何材料參數(shù)如表1所示.

聲子晶體隔振器尺寸與鋼彈簧隔振器相差不大，可匹配現(xiàn)有浮置板鋼彈簧隔振器的空間設(shè)計(jì)，將其置于浮置板與基底之間.聲子晶體隔振器作為功能部件，可產(chǎn)生低頻寬帶的帶隙，抑制帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波從浮置板道床向基底的傳播；作為結(jié)構(gòu)部件，可為浮置板提供垂向剛度，形成固有頻率較低的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)[11]，保留傳統(tǒng)浮置板道床的減振效果.

圖 2 聲子晶體隔振器結(jié)構(gòu)Fig.2 Vibtration isolator structure of phononic crystals

表 1 聲子晶體隔振器元胞部分參數(shù)Tab.1 Some parameters related to vibtration isolators and its phononic crystal cell

2 聲子晶體隔振器帶隙特性

2.1 能帶結(jié)構(gòu)

當(dāng)理想彈性介質(zhì)（連續(xù)、均勻、各向同性及完全彈性）發(fā)生小變形時(shí)，其運(yùn)動(dòng)控制方程（不計(jì)體力）可表示為[12]

式中：u（r,t）為位移波函數(shù)；r為位置坐標(biāo)；t為時(shí)間；ρ為密度；λ和μ為 Lamé常數(shù)； ? 為 Hamilton微分算子.

式（1）中的解滿足 Bloch定理[13]：

式中：K為倒空間內(nèi)的波矢（一維聲子晶體為k）；uK（r）為波幅.由于結(jié)構(gòu)的周期性，uK（r）可表示為周期函數(shù)[14]：

式中：R為正格矢.將式（3）代入到式（2）可得周期性邊界條件：

將位移波函數(shù)和周期性邊界條件代入控制方程，可得到包含波動(dòng)頻率與波矢關(guān)系的特征值，即能帶結(jié)構(gòu)[15].聲子晶體隔振器能帶結(jié)構(gòu)可通過(guò)有限元軟件COMSOL Multiphysics計(jì)算求得，對(duì)圖2所示的元胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)體建模，在元胞上下截面設(shè)置周期性邊界條件，令波矢掃描一維聲子晶體不可越 Brillouin區(qū)邊界（0，π/b），b為元胞晶格常數(shù)，b= 2b1+ 2b2+b3，計(jì)算不同波矢下的特征頻率.為了減小網(wǎng)格尺寸對(duì)100 Hz以下計(jì)算結(jié)果的影響，最大單元網(wǎng)格尺寸不超過(guò)0.01 m.聲子晶體隔振器前10階能帶結(jié)構(gòu)曲線計(jì)算結(jié)果如圖3所示.

圖 3 聲子晶體隔振器能帶結(jié)構(gòu)Fig.3 Band structure of vibration isolators of phononic crystals

對(duì)于圖3所示的能帶結(jié)構(gòu)，盡管所有能帶曲線均表征傳播方向?yàn)檩S向的導(dǎo)波，但并非所有導(dǎo)波的振動(dòng)方向?yàn)檩S向.當(dāng)k= π/b時(shí)，聲子晶體隔振器前10階導(dǎo)波模態(tài)如圖4所示.

圖 4 聲子晶體隔振器前10階導(dǎo)波模態(tài)Fig.4 First 10th guided wave modal of isolators

圖 5 振動(dòng)方向?yàn)榇瓜虻穆曌泳w隔振器能帶結(jié)構(gòu)Fig.5 Band structure of isolators with vibration in the vertical direction

由于地鐵減振措施主要針對(duì)垂向振動(dòng)，因此在研究聲子晶體隔振器帶隙特性時(shí)，應(yīng)篩選振動(dòng)方向?yàn)榇瓜虻膶?dǎo)波模態(tài)[16].篩選后的能帶結(jié)構(gòu)如圖5所示.由圖5可知，聲子晶體隔振器第一帶隙起始頻率fs為 51 Hz，對(duì)應(yīng)的k= π/b；截止頻率fe為 147 Hz，對(duì)應(yīng)的k= 0.波矢即波數(shù)矢量，表示單位長(zhǎng)度內(nèi)的波數(shù)，波數(shù)與波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)，因此k= π/b對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)為晶格常數(shù)一半的彈性波，k= 0對(duì)應(yīng)彈性波長(zhǎng)為無(wú)窮大的彈性波，兩個(gè)波長(zhǎng)下的垂向?qū)РB(tài)即為帶隙的起始與截至模態(tài).

2.2 邊界頻率

為了探究聲子晶體隔振器的帶隙特性，計(jì)算了決定第一帶隙邊界頻率的共振模式，如圖6所示.

圖 6 第一帶隙起始頻率共振模態(tài)和截止頻率共振模態(tài)Fig.6 Resonance modes at start frequency and cut-off frequeny of the first bandgap

由圖6可知，決定起始頻率的共振模式表現(xiàn)為相鄰鋼散射體帶動(dòng)軟橡膠包覆層發(fā)生反相位共振，而基體外殼與橡膠墊層振動(dòng)較小，整個(gè)結(jié)構(gòu)在此共振模式下實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)平衡，因此起始頻率fs約等于鋼散射體的共振頻率.

2.3 帶隙特性驗(yàn)證

聲子晶體隔振器振動(dòng)帶隙的計(jì)算是在無(wú)限周期的條件下進(jìn)行的，由于隔振器實(shí)際尺寸的限制，而本文中的聲子晶體隔振器實(shí)際周期數(shù)為3，需利用傳輸特性[17]刻畫(huà)其實(shí)際隔振效果，對(duì)帶隙特性進(jìn)行驗(yàn)證.由于聲子晶體隔振器為一維周期結(jié)構(gòu)，故在隔振器上端施加簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)，計(jì)算下端加速度響應(yīng)，通過(guò)式（5）求得聲子晶體隔振器的加速度傳遞率（T），分析其傳輸特性，如圖7所示，圖中，Xin和Xout分別為輸入和輸出激勵(lì).

圖 7 聲子晶體隔振器傳輸特性有限元計(jì)算模型Fig.7 Finite element model for transmission characteristics of isolators

式中：aout和ain分別為輸出端和輸入端加速度幅值平均值，以傳遞率數(shù)值小于0的限界確定振動(dòng)傳遞的衰減頻段.加速度傳遞率是利用有限元軟件COMSOL Multiphysics進(jìn)行計(jì)算的，計(jì)算結(jié)果如圖8所示.

圖8中的虛線和實(shí)線分別表示無(wú)阻尼和有阻尼（同時(shí)包含內(nèi)層和外層橡膠阻尼）時(shí)的傳遞率計(jì)算結(jié)果.當(dāng)不考慮阻尼時(shí)，振動(dòng)衰減頻率范圍為51～147 Hz；考慮阻尼時(shí)，振動(dòng)衰減頻率范圍為48～147 Hz.比較圖5和圖8可知，通過(guò)能帶結(jié)構(gòu)得到的帶隙頻率范圍和通過(guò)傳遞率得到的振動(dòng)傳遞衰減頻段吻合較好.

圖 8 聲子晶體隔振器頻響函數(shù)Fig.8 Frequency response function of isolators

3 聲子晶體隔振器浮置板軌道整體減振效果計(jì)算

為了驗(yàn)證聲子晶體隔振器在浮置板軌道中的減振效果，并且與普通鋼彈簧浮置板軌道的減振性能進(jìn)行對(duì)比，取相同剛度的鋼彈簧與聲子晶體隔振器分別進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)行對(duì)比分析.

3.1 聲子晶體隔振器垂向靜剛度

聲子晶體隔振器作為結(jié)構(gòu)部件，需為浮置板道床提供垂向剛度.為了保留傳統(tǒng)鋼彈簧浮置板軌道的隔振效果，聲子晶體隔振器的垂向靜剛度需與鋼彈簧隔振器的垂向靜剛度一致.相關(guān)文獻(xiàn)表明[18]，鋼彈簧隔振器垂向靜剛度實(shí)測(cè)為6.0 kN/mm左右.

本文采用有限元軟件計(jì)算聲子晶體隔振器垂向靜剛度.固定約束聲子晶體隔振器下端面，在上端面施加垂向靜荷載F，計(jì)算上端面的平均位移D，聲子晶體隔振器垂向靜剛度由表達(dá)式F/D而得.

經(jīng)計(jì)算，聲子晶體隔振器垂向靜剛度為6.0 kN/mm，與鋼彈簧隔振器的垂向靜剛度相近.

3.2 聲子晶體隔振器浮置板軌道整體減振效果

圖 9 聲子晶體隔振器浮置板軌道三維軌道模型Fig.9 Three-dimensional floating slab track with isolators

聲子晶體隔振器浮置板整體減振效果為振動(dòng)傳遞衰減效果和隔振效果的疊加.為了探究聲子晶體隔振器浮置板整體減振效果，本節(jié)建立了三維軌道模型，如圖9所示.由于模型沿縱向的長(zhǎng)度有限，為了減少反射波對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，在鋼軌和浮置板的兩端施加低反射邊界條件.在整個(gè)模型正中位置處的跨中鋼軌軌頭施加簡(jiǎn)諧垂向力Fin=F0eiωt（F0為垂向力的幅值），經(jīng)計(jì)算提取最近聲子晶體隔振器傳遞至下部基礎(chǔ)的力Fout.通過(guò)計(jì)算力傳遞率（force transfer rate，

FTR）rFTR來(lái)反映聲子晶體隔振器浮置板軌道整體減振效果：

當(dāng)力傳遞率較小時(shí)，浮置板軌道即有著較好的減振效果.采用有限元法求解上述模型，所有軌道部件均采用實(shí)體建模，劃分的有限元模型如圖10所示.

圖 10 有限元模型網(wǎng)格Fig.10 Finite element meshing of the model

同樣，本節(jié)對(duì)傳統(tǒng)浮置板軌道建立了三維軌道模型，計(jì)算其力傳遞率，用以對(duì)比聲子晶體隔振器浮置板軌道的計(jì)算結(jié)果.計(jì)算時(shí)，鋼彈簧隔振器采用彈簧單元模擬，垂向剛度為6.0 kN/mm，這與聲子晶體隔振器垂向靜剛度相同.上述模型的計(jì)算參數(shù)如表2所示.

聲子晶體隔振器浮置板力傳遞率計(jì)算結(jié)果如圖11所示.由圖11可知，兩條力傳遞率曲線均在25 Hz處與97 Hz處出現(xiàn)波峰，這是因?yàn)榇祟l率下浮置板軌道發(fā)生彎曲共振.當(dāng)頻率高于25 Hz，兩種軌道結(jié)構(gòu)的力傳遞率隨著頻率的增大而逐漸減小.由于聲子晶體隔振器和鋼彈簧隔振器的垂向靜剛度相同，38 Hz以下的力傳遞率幾乎一致.

表 2 模型計(jì)算參數(shù)Tab.2 Model calculation parameters

圖 11 力傳遞率計(jì)算結(jié)果Fig.11 Calculation results of force transmissibility

為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)聲子晶體隔振器與鋼彈簧浮置板軌道的減振效果，建立考慮基礎(chǔ)參振的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行同樣沖擊荷載作用下的減振性能對(duì)比分析，軌道部分模型材料參數(shù)與邊界條件同上述整體軌道模型，仰拱部分參數(shù)如表3，為了加快計(jì)算效率，整體模型采取軌道結(jié)構(gòu)的一半，采用對(duì)稱邊界條件，整體模型示意圖如圖12.

在整個(gè)模型正中位置處的跨中鋼軌軌頭施加脈沖荷載，經(jīng)計(jì)算提取最近聲子晶體隔振器傳遞至下部基礎(chǔ)的振動(dòng).通過(guò)對(duì)比聲子晶體隔振器浮置板軌道與鋼彈簧浮置板軌道傳遞至下部基礎(chǔ)的加速度來(lái)評(píng)價(jià)其減振性能，圖13（a）為下部基礎(chǔ)振動(dòng)加速度時(shí)域計(jì)算結(jié)果對(duì)比，圖13（b）為下部基礎(chǔ)振動(dòng)加速度頻域結(jié)果的對(duì)比.

表 3 仰拱部件計(jì)算參數(shù)Tab.3 Calculation parameters of invert components

圖 12 考慮基礎(chǔ)參振的整體計(jì)算模型Fig.12 Overall calculation model with base vibration

圖 13 下部基礎(chǔ)振動(dòng)加速度時(shí)頻域計(jì)算結(jié)果Fig.13 Frequency-domain results of the vibration acceleration for lower base

由圖13（a）可知，聲子晶體隔振器浮置板軌道下部基礎(chǔ)的振動(dòng)加速度在大多數(shù)時(shí)間段內(nèi)小于鋼彈簧浮置板下部基礎(chǔ)的最大振動(dòng)加速度，說(shuō)明聲子晶體隔振器浮置板軌道具有一定的減振效果；由圖13（b）的頻域結(jié)果可知，在51～150 Hz帶隙范圍內(nèi)，相比普通鋼彈簧浮置板軌道具有更好的減振效果，且在51 Hz附近，減振效果最佳.

由于聲子晶體隔振器具有振動(dòng)傳遞衰減特性，在50～129 Hz頻率范圍內(nèi)，聲子晶體隔振器浮置板軌道的力傳遞率低于傳統(tǒng)浮置板軌道，說(shuō)明其減振效果得以加強(qiáng).在51 Hz處聲子晶體隔振器與傳統(tǒng)鋼彈簧浮置板力傳遞率相比，可減小10 dB左右，在整個(gè)聲子晶體帶隙范圍內(nèi)，有60%頻帶范圍內(nèi)相比鋼彈簧浮置板可減小2 dB以上.且聲子晶體隔振器可以通過(guò)參數(shù)優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)對(duì)減振效果增強(qiáng)頻率范圍的精準(zhǔn)控制.

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于局域共振帶隙機(jī)理的聲子晶體隔振器，并將其應(yīng)用于地鐵浮置板軌道結(jié)構(gòu)中.本文主要結(jié)論如下所示：

（1）聲子晶體隔振器第一帶隙的起始頻率主要由鋼散射體的共振決定，截止頻率主要由鋼散射體與軟材料和基體材料所組成的聯(lián)合體的反相位共振決定；

（2）聲子晶體隔振器所提供的垂向剛度與第一帶隙頻率范圍是相互獨(dú)立的；聲子晶體隔振器的振動(dòng)傳遞衰減特性以及帶隙頻率范圍可以通過(guò)修改材料進(jìn)行控制，從而可以滿足更多工程的減振需求；

（3）將聲子晶體隔振器與鋼彈簧分別應(yīng)用于浮置板軌道計(jì)算其力傳遞率與基礎(chǔ)的振動(dòng)加速度，表明新型浮置板軌道相比傳統(tǒng)鋼彈簧浮置板軌道，可提供與傳統(tǒng)鋼彈簧相近的垂向剛度，在保留傳統(tǒng)鋼彈簧浮置板軌道低頻隔振性能的前提下，進(jìn)一步抑制低頻帶隙頻率范圍內(nèi)縱波從道床板向基底的傳播，與傳統(tǒng)鋼彈簧浮置板力傳遞率相比，在51 Hz左右可減小10 dB左右，帶隙其余大部分可減小2 dB左右.

致謝：感謝廣州地鐵設(shè)計(jì)研究院股份有限公司“基于聲子晶體理論的新型減振降噪措施理論與試驗(yàn)研究”研發(fā)項(xiàng)目支持.