王銀輝，鄭 亮，管炎增，王 韜

(1. 重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074； 2. 浙江大學(xué)寧波理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，浙江 寧波 315100； 3. 中國鐵路上海局集團(tuán)有限公司，上海 200071)

0 引 言

波形鋼腹板(以下簡稱波板)的平面外剛度遠(yuǎn)大于一般的平鋼腹板(以下簡稱平板)，因而波板的平面外穩(wěn)定性較平板強(qiáng)許多。大型構(gòu)件中常用波板代替加勁肋的平板，防止屈曲失穩(wěn)。作為梁腹板的波板，由于手風(fēng)琴效應(yīng)，基本上只受剪力不受彎矩[1-2]，理論研究只需考慮波板受純剪力。波板的彈性剪切屈曲有局部屈曲、整體屈曲和合成屈曲3種形式，其中局部屈曲是較為常見的屈曲形態(tài)。

基于平板彈性屈曲理論[3-4]，可得出波板的彈性局部屈曲強(qiáng)度建議計(jì)算式。目前為止，大多數(shù)國內(nèi)外研究仍然沿用此法[5-13]，但建議公式并不能精確計(jì)算彈性局部屈曲強(qiáng)度，應(yīng)用范圍有一定的局限性。E. Y. SAYED-AHMED[7]指出：平子板和斜子板等寬時,可使波板抗剪強(qiáng)度趨近于剪切屈服應(yīng)力的范圍更廣,因此提出了采用平子板和斜子板等寬的建議，使得彈性局部屈曲強(qiáng)度計(jì)算法得以簡化。但該建議并不能代表最優(yōu)方案，在R. SAUSE等[11]統(tǒng)計(jì)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中不難發(fā)現(xiàn), 有些情況下平子板和斜子板不等寬的波板抗屈曲效果更好。另外，采用嵌入型連接方式的波板的平子板需要焊接于混凝土內(nèi)的鋼棒上。為了保證足夠的焊縫長度，可能需采用相對較寬的平子板，如將兩子板限制為等寬，則不利于波板的尺寸設(shè)計(jì)。目前的彈性局部屈曲強(qiáng)度計(jì)算公式局限于兩子板寬度相近的波板，而兩子板寬度差距較大的波板彈性局部屈曲強(qiáng)度沒有明確的計(jì)算公式。

另一方面，由于合成屈曲的研究是在局部屈曲和整體屈曲研究的基礎(chǔ)上展開的，局部屈曲強(qiáng)度建議公式的局限性導(dǎo)致合成屈曲強(qiáng)度建議計(jì)算公式的應(yīng)用范圍也受到限制。例如，朱力等[9-10]、R. SAUSE等[11]、M. LEBLOUBA等[12]在合成屈曲的研究基礎(chǔ)上，結(jié)合了大量試驗(yàn)結(jié)果提出了極限剪切強(qiáng)度建議計(jì)算式，但都只能適用于平子板和斜子板寬度相近且波角為22°以上的波板，其中一個重要原因在于彈性局部屈曲強(qiáng)度建議計(jì)算公式的應(yīng)用范圍受到限制。

綜上，現(xiàn)有的屈曲強(qiáng)度建議計(jì)算式存在局限性，不能滿足波板形狀多樣化設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)的需要，屈曲強(qiáng)度的計(jì)算方法有待改進(jìn)和提升。相較于整體屈曲，局部屈曲后的腹板能更好發(fā)揮屈曲后強(qiáng)度，橋梁工程中的箱梁波板宜設(shè)計(jì)為局部屈曲破壞模式以避免整體屈曲。例如，朱力等[9]分析認(rèn)為重慶市大堰河橋的波板屈曲破壞模式接近于局部屈曲破壞模式，這對保證結(jié)構(gòu)的承載力和延性十分有利；同時，實(shí)驗(yàn)研究表明[10]：波板接近于局部剪切屈曲的合成剪切屈曲破壞模式較整體剪切屈曲破壞模式在屈曲后保持著更高的承載能力。李立峰等[13]的研究認(rèn)為，波形較疏，傾向局部屈曲波板的材料利用率更高，且局部屈曲強(qiáng)度建議小于0.5倍的整體屈曲強(qiáng)度，以確保屈曲破壞模式為局部屈曲。

鑒于以上，出于實(shí)用性的考慮，筆者將重點(diǎn)討論波板彈性局部屈曲強(qiáng)度計(jì)算式的修正方法。試圖以傳統(tǒng)的矩形平板屈曲研究成果為基礎(chǔ)[1-2]，結(jié)合大量的有限元數(shù)值模擬和參數(shù)分析法，對各個參數(shù)進(jìn)行分析，從而確定影響屈曲強(qiáng)度的重要參數(shù)，提出適用范圍較廣精度較高的彈性局部屈曲強(qiáng)度建議計(jì)算式。

1 有限元模型建立

在實(shí)際波板箱梁中，波板受上下混凝土頂板、底板和加勁肋的約束，受力較為復(fù)雜，難以研究。從較保守的工程設(shè)計(jì)角度出發(fā)，應(yīng)用有限元法(FEM)建模時不考慮混凝土頂?shù)装搴图觿爬邔Σò暹吔绲霓D(zhuǎn)動約束作用，采用四邊簡支的邊界。應(yīng)用通用有限元程序ABAQUS對波板彈性屈曲進(jìn)行分析。分析對象的截面幾何參數(shù)如圖1，波數(shù)取m=6，w=max(b,c)為較寬子板寬度，w2=min(b,c)為較窄子板寬度，兩者的比值w2/w定義為窄寬比。有限元模型如圖2，約束AC邊的自由度x，y，z；約束BD邊的自由度x，y；約束AB和CD邊的自由度x，y。此時模型的邊界條件為四邊簡支。沿BD邊施加剪力F。此時模型的邊界條件和加載方式可保證波腹板的受力狀態(tài)為純剪狀態(tài)。模型中單元均采用四邊形殼單元(S4R)，設(shè)置鋼材的彈性模量E=205 000 MPa，泊松比υ=0.3。取一階特征值Fcr及所對應(yīng)的屈曲模態(tài)作為有限元計(jì)算分析結(jié)果，彈性剪切屈曲強(qiáng)度為n,el=Fcr/(ht)，h和t為波板的高度和厚度。

筆者重點(diǎn)研究局部屈曲，采用厚度極小的波板，并且建模時進(jìn)行了細(xì)密的網(wǎng)格劃分。

圖1 波板的幾何參數(shù)Fig. 1 Geometric parameters of trapezoidal corrugated steel webs

圖2 有限元模型示意Fig. 2 Finite element model

2 彈性局部屈曲強(qiáng)度計(jì)算式適用性分析

首先將有限元法得出的各種形狀波板的彈性局部屈曲強(qiáng)度與現(xiàn)有的彈性局部屈曲強(qiáng)度計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，對現(xiàn)有公式的適用情況進(jìn)行分析。

由于波板中的子板(包括平子板和斜子板)可以認(rèn)為是長條形的矩形平板，現(xiàn)有的波板屈曲強(qiáng)度計(jì)算公式實(shí)質(zhì)上直接采用了四邊簡支矩形平板的屈曲強(qiáng)度計(jì)算公式[2]，表示如式(1)：

(1)

式中：w=max(b,c)為較寬子板寬度;υ為泊松比。

波板的局部屈曲發(fā)生在各個子板。從波板中抽離出1塊子板，此時抽離出來的子板模型雖可視為平板模型，但子板的屈曲強(qiáng)度由長邊的約束情況所主導(dǎo)。子板的邊界情況并不一定為簡支，應(yīng)視具體情況而定。直接使用式(1)計(jì)算波板的彈性局部屈曲強(qiáng)度可能存在較大的計(jì)算誤差，具體論證如下。

采用有限元法建立R1、R2、R3 3組波板數(shù)值模型，具體幾何參數(shù)見表1。3組模型中，板高為變數(shù)，其余的均為不變幾何參數(shù)。其中R1組模型中，平子板寬度b與斜子板寬度c相等，R2、R3組模型中，b與c相差較大。

本工程位于浙江省樂清灣甌江口港區(qū)，擬建一個岸線總長度為1250m、帶有3個件雜貨泊位、2個散貨泊位、2個待泊泊位的綜合碼頭，為后方鋼鐵廠輸入原材料及輸出件雜貨鋼材服務(wù)。根據(jù)地勘測量，需進(jìn)行地基處理的區(qū)域約2.05萬m2。實(shí)例工程土層分布情況見圖1。

表1 幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters

R1組模型的分析結(jié)果如圖3，R2和R3組的分析結(jié)果如圖4。

圖3 模型R1屈曲強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果Fig. 3 Calculation results of model R1 buckling strength

圖4 模型R2、R3屈曲強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果Fig. 4 Calculation results of model R2 and R3 buckling strength

由圖3可見，平子板寬度b與斜子板寬度c相等的R1組模型中，F(xiàn)EM得出的屈曲強(qiáng)度與現(xiàn)有的計(jì)算公式(1)得出的結(jié)果幾乎相等。由圖4可見，b與c相差較大的R2、R3組模型中，F(xiàn)EM得出的屈曲強(qiáng)度遠(yuǎn)大于式(1)得出的結(jié)果。由此可判斷現(xiàn)有計(jì)算公式不能適用于計(jì)算b與c不相等條件下的波板屈曲強(qiáng)度，其原因在于式(1)中只考慮了較寬子板寬度w=max(b,c)的影響，忽略了較窄子板寬度w2=min(b,c)的影響。

以R1組中h=2 000 mm的模型為例，其屈曲模態(tài)圖見圖5，其平子板屈曲模態(tài)與斜子板的屈曲模態(tài)基本上是相同的。若從圖5中取一塊子板，將該子板4個邊設(shè)置為簡支，用FEM對其進(jìn)行分析可得彈性剪切屈曲模態(tài)圖6，該屈曲模態(tài)和圖5中的平子板屈曲模態(tài)相似。

圖5 R1模型屈曲模態(tài)(τn,el =25.5 MPa)Fig. 5 Buckling mode of R1 model (τn,el =25.5 MPa)

以R2和R3組中h=2 000 mm的模型為例，其屈曲模態(tài)圖見圖7和圖8，其平子板屈曲模態(tài)與斜子板的屈曲模態(tài)差異較大。該屈曲模態(tài)的特點(diǎn)在于較寬子板的屈曲占據(jù)主導(dǎo)，較窄子板基本不發(fā)生屈曲，但對較寬子板產(chǎn)生約束作用。由于該約束現(xiàn)象提升了屈曲強(qiáng)度，故圖4中的FEM分析結(jié)果高于式(1)的計(jì)算結(jié)果。若從圖7、8中將較寬子板取出，將該子板4個邊設(shè)置為簡支，用FEM對其進(jìn)行分析可得彈性剪切屈曲模態(tài)圖6，該屈曲模態(tài)和圖7、圖8中的較寬子板屈曲模態(tài)都有很大差異。比較圖7和圖8，盡管兩者的幾何外形不相同，但局部上看兩者的屈曲模態(tài)實(shí)質(zhì)上是基本相同的，因?yàn)閮烧叩妮^寬子板寬度都為w=200 mm，較窄子板的寬度都為w2=100 mm。另外，由于R2和R3組中所有模型的w都為200 mm，w2都為100 mm，在圖4中，兩者的FEM分析結(jié)果基本相同。

通過以上分析可知，當(dāng)平子板和斜子板等寬時，可以將波板簡化單個子板進(jìn)行分析，故按照現(xiàn)有公式(1)簡化計(jì)算波板的彈性局部屈曲強(qiáng)度是合理的。而當(dāng)平子板和斜子板不等寬時，不可以按式(1)進(jìn)行簡化計(jì)算，此時不僅要考慮較寬子板寬度w，還需考慮較窄子板的寬度w2的影響,才能獲得更高的精度。

圖7 R2模型屈曲模態(tài)(τn,el=32.0 MPa)Fig. 7 Buckling mode of R2 model(τn,el=32.0 MPa)

圖8 R3模型屈曲模態(tài)(τn,el=32.1 MPa)Fig. 8 Buckling mode of R3 model(τn,el=32.1 MPa)

3 彈性局部屈曲修正公式

3.1 修正彈性局部屈曲公式

由上文分析可初步推測，當(dāng)波形腹板中的平子板寬度b與斜子板寬度c不相等時，子板的窄寬比w2/w是影響彈性局部屈曲強(qiáng)度和屈曲模態(tài)的重要因子。以下將通過量化解析論證w2/w對屈曲系數(shù)的影響。建立了SQ1和SQ2兩組有限元模型進(jìn)行數(shù)值模擬分析，其中d和hr為變量，其它為定值，共有5×5×2=50個數(shù)值模型，如表2。數(shù)值解析結(jié)果如圖9，其橫軸取X=w2/w，縱軸取換算屈曲系數(shù)如式(2)。

(2)

表2 幾何參數(shù)Table 2 Geometric parameters

圖9 擬合公式Fig. 9 Fitting formula

圖9的解析結(jié)果反映出窄寬比X越小，換算屈曲系數(shù)Y越大的特點(diǎn)。當(dāng)X接近于1時，Y接近于5.34，與四邊簡支平板屈曲系數(shù)的下限值相符。由于圖9中的散點(diǎn)分散度很低，在窄寬比X=w2/w>0.3范圍，X與Y具有很強(qiáng)的相關(guān)性，可用式(3)擬合函數(shù)表示。

Y=7.24+0.1X-2X2

(3)

由式(2)和式(3)可得局部屈曲強(qiáng)度的近似值為式(4)：

(4)

綜上，在現(xiàn)有的彈性局部屈曲強(qiáng)度計(jì)算式(1)的基礎(chǔ)上，考慮了窄寬比的影響，將其修正為式(4)，其適用范圍為窄寬比w2/w>0.3。

3.2 算例和適用范圍

首先選擇板厚1 mm，屈曲模式接近于純局部屈曲的下列尺寸模型進(jìn)行有限元分析，對筆者提出的式(4)的適用性進(jìn)行算例驗(yàn)證，具體尺寸模型及驗(yàn)證結(jié)果參見表3。

對于為窄寬比接近1的SL-1波板，式(1)的計(jì)算值與FEM計(jì)算值相近；但對于窄寬比遠(yuǎn)小于1的SL-2、SL-3、SL-4波板，式(1)的計(jì)算值與FEM計(jì)算值有很大差異。不論窄寬比為何值，筆者提出的式(4)得出的計(jì)算結(jié)果都與FEM計(jì)算值相符。

表3 算例結(jié)果匯總Table 3 Summary of the results

由于實(shí)際橋梁中的波板厚度一般在6 mm以上，不能完全按式(4)計(jì)算屈曲強(qiáng)度。以下建立t=6 mm，t=8 mm兩組波板數(shù)值模型，分析式(4)的適用范圍。具體幾何參數(shù)見表4，兩組模型中板高h(yuǎn)=2 000 mm和波數(shù)m=6為定數(shù)，b、d、hr選為變量各有3個取值，進(jìn)行組合可得3×3×3×2=54個數(shù)值模型。FEM的分析結(jié)果見圖10。

表4 幾何參數(shù)Table 4 Geometric parameters

圖10 適用性分析結(jié)果Fig. 10 Applicability analysis results

圖10中，橫軸取τg,el/τl,el，縱軸取τn,el/τl,el。τl,el為式(4)的計(jì)算值，τn,el為有限元分析得出的彈性屈曲強(qiáng)度，τg,el采用J. T. EASLEY[14]的整體屈曲強(qiáng)度計(jì)算公式為

(5)

(6)

(7)

由圖10可見，當(dāng)τg,el/τl,el>6時，τn,el與τl,el的比值在1附近，表明式(4)的計(jì)算精度較高。而當(dāng)τg,el/τl,el<6時，式(4)的計(jì)算精度降低。比較VA1和VA2兩組數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，厚度較小的VA1組模型中，滿足τg,el/τl,el>6條件的模型數(shù)量更多。對于鋼橋梁中板厚6 mm以上的波板，只要滿足τg,el/τl,el>6條件，即可視為局部屈曲主導(dǎo)型波板，可以應(yīng)用式(4)計(jì)算彈性屈曲強(qiáng)度。但τg,el/τl,el<6時，波板受整體屈曲以及合成屈曲的影響較大，式(4)不能適用。

4 結(jié) 語

結(jié)合有限元分析和參數(shù)分析的方法，對波板的彈性局部剪切屈曲進(jìn)行研究。分析比較了不同幾何參數(shù)的波板彈性局部屈曲強(qiáng)度以及屈曲模態(tài)的特征，發(fā)現(xiàn)彈性局部屈曲強(qiáng)度和屈曲特征主要取決于窄寬比。當(dāng)窄寬比為1時，可將波板中的子板簡化為單個四邊簡支的矩形平板；而當(dāng)窄寬比不為1時，不可以簡化，此時窄寬比是影響屈曲強(qiáng)度的重要因子。在現(xiàn)有的彈性局部屈曲強(qiáng)度計(jì)算式(1)的基礎(chǔ)上，考慮了窄寬比的影響，將其修正為式(4)。通過算例論證，筆者提出的式(4)的適用性并不限于板厚1 mm的波板，也可適用于板厚6 mm以上的波板。式(4)的適用范圍為：窄寬比w2/w>0.3、且τg,el/τl,el>6。

當(dāng)窄寬比較小、板厚較大時，大部分波板將會出現(xiàn)τg,el/τl,el<6的情況，不能視為局部屈曲主導(dǎo)型波板，屈曲將轉(zhuǎn)變?yōu)檎w屈曲或合成屈曲，式(4)將失去適用性。在后續(xù)的研究中，還需繼續(xù)討論式(4)的更具體適用范圍、整體屈曲強(qiáng)度以及合成屈曲強(qiáng)度等。