李偉，周雨，王杰，梁家軒，彭先寶，蒲浩

基于點(diǎn)線一致的既有鐵路線路縱斷面自動(dòng)重構(gòu)方法

李偉1, 2，周雨1, 2，王杰3，梁家軒1, 2，彭先寶4，蒲浩1, 2

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2. 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410075；3. 軌道交通工程信息化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(中鐵一院)，陜西 西安 710043；4. 中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063)

既有鐵路經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)，縱斷面線形不可避免偏離原設(shè)計(jì)線位，必須定期重構(gòu)出調(diào)整量最小且滿足約束的線位，以保證列車安全運(yùn)行?？v斷面線形由一系列直線和豎曲線線元順次光滑連接而成，重構(gòu)關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別每個(gè)測(cè)點(diǎn)歸屬的線元，并顧及約束進(jìn)行擬合。本文提出測(cè)點(diǎn)歸屬應(yīng)與重構(gòu)線元完全相符的“點(diǎn)線一致”思想，據(jù)此構(gòu)建縱斷面自動(dòng)重構(gòu)方法。根據(jù)二階差商初步完成測(cè)點(diǎn)歸屬識(shí)別，分別擬合對(duì)應(yīng)線元，根據(jù)線元范圍反向調(diào)整測(cè)點(diǎn)歸屬，迭代上述過(guò)程直至點(diǎn)線一致，并在迭代中處理各類約束?；谠摲椒ㄑ邪l(fā)的軟件已在兩千多公里既有線縱斷面重構(gòu)中應(yīng)用，實(shí)例表明該方法可準(zhǔn)確識(shí)別測(cè)點(diǎn)歸屬，自動(dòng)生成滿足約束、抬落道量顯著優(yōu)于既有方法的重構(gòu)線形。

既有鐵路；線路縱斷面；點(diǎn)線一致；自動(dòng)重構(gòu)

既有鐵路在長(zhǎng)期的運(yùn)營(yíng)中，由于輪軌相互作用、基礎(chǔ)變形等因素導(dǎo)致縱斷面線形不同程度地偏離原設(shè)計(jì)線位。為保障運(yùn)營(yíng)安全，必須定期對(duì)既有線的軌面標(biāo)高進(jìn)行測(cè)量，并重構(gòu)出平順的縱斷面線形，否則軌道變形累積，沖擊作用惡性循環(huán)，危及行車安全，甚至引發(fā)脫軌[1]。為減少對(duì)運(yùn)營(yíng)的干擾，既有線縱斷面重構(gòu)并非簡(jiǎn)單地將變形后的縱斷面軌面調(diào)整到原設(shè)計(jì)線位，而是對(duì)既有的軌面測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到一條抬落道量最小，且滿足多種約束的縱斷面重構(gòu)線形?？v斷面線形由一系列直線和豎曲線線元順次光滑連接而成。由于直線、豎曲線的回歸方程不同，因此需識(shí)別出各測(cè)點(diǎn)歸屬的線元，然后顧及各類約束分別擬合對(duì)應(yīng)線元。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)線路縱斷面重構(gòu)已開展大量研究，總體來(lái)說(shuō)，歷經(jīng)3個(gè)階段： 1)人工識(shí)別：以測(cè)點(diǎn)里程為橫坐標(biāo)，曲率、切線角、正矢等為縱坐標(biāo)，生成各類線形特征圖，從圖中人工識(shí)別各測(cè)點(diǎn)歸屬的線元，再進(jìn)行線元擬合。該類方法十分耗時(shí)，依賴設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)，識(shí)別準(zhǔn)確度不高，重構(gòu)出的線路抬落道量偏大。2)迭代識(shí)別：為克服人工識(shí)別的不足，孟凡超等[2?3]提出測(cè)點(diǎn)歸屬識(shí)別的迭代方法。該方法以人工識(shí)別分段結(jié)果為初值，以線元分界點(diǎn)位置穩(wěn)定為收斂條件，構(gòu)造迭代過(guò)程[4]。該類方法提升了測(cè)點(diǎn)歸屬識(shí)別的準(zhǔn)確度，重構(gòu)線形的抬落道量?jī)?yōu)于人工識(shí)別。但此類方法仍然需要人工參與，無(wú)法自動(dòng)重構(gòu)，未考慮容許抬落道量等約束。3)整體優(yōu)化：近年來(lái)大量學(xué)者將縱斷面重構(gòu)視為最優(yōu)化問(wèn)題，以變坡點(diǎn)位置及豎曲線半徑為自變量，抬落道量平方和為目標(biāo)函數(shù)，建立優(yōu)化模型，采用遺傳算法[5]、廣義簡(jiǎn)約梯度技術(shù)(GRG)等，借助數(shù)學(xué)軟件[6]求解。此類方法進(jìn)一步提升縱斷面線形重構(gòu)效果，但仍需借助前兩類方法產(chǎn)生初值。若初值不準(zhǔn)確，如變坡點(diǎn)個(gè)數(shù)識(shí)別錯(cuò)誤，將難以產(chǎn)生優(yōu)化的重構(gòu)結(jié)果。而且此類方法同樣缺少對(duì)線形約束的有效處理。除了縱斷面重構(gòu)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)平面重構(gòu)也開展了大量研究，先后提出方向加速法[7]、啟發(fā)式算法[8]、振蕩迭代[9]等一系列方法。但相比平面，縱斷面直線線元間的轉(zhuǎn)角較小，豎曲線半徑較大、約束不同，平面線形重構(gòu)方法并不完全適用于縱斷面[10]。綜上，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)既有線的平縱面線形重構(gòu)都開展了大量卓有成效的研究，但既有的平面重構(gòu)方法難以適用于縱斷面線形[11?12]。既有縱斷面重構(gòu)方法具有以下不足之處：1)測(cè)點(diǎn)歸屬識(shí)別精度尚待提升； 2)需人工輔助，非自動(dòng)重構(gòu)；3)對(duì)縱斷面線形的約束處理不足。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出基于點(diǎn)線一致的縱斷面重構(gòu)算法。該方法可以實(shí)現(xiàn)縱斷面的全線自動(dòng)精準(zhǔn)重構(gòu)，并處理縱斷面重構(gòu)中的各類約束。

1 “點(diǎn)線一致”縱斷面線形重構(gòu)思想

線路縱斷面中直線和豎曲線線元并非獨(dú)立存在，必須滿足相鄰線元首尾相接且相切的光順性條件。如果依據(jù)識(shí)別的測(cè)點(diǎn)歸屬，單獨(dú)擬合各直線和豎曲線線元，生成的縱斷面線形無(wú)法滿足光順性條件(如圖1)。而在考慮光順性條件后，則可能出現(xiàn)識(shí)別的測(cè)點(diǎn)歸屬與最終擬合出的線元范圍不一致(如圖2)，此時(shí)的線元擬合并非最優(yōu)。既有的重構(gòu)方法中往往將測(cè)點(diǎn)識(shí)別與線元擬合作為兩個(gè)獨(dú)立過(guò)程，忽略光順連接問(wèn)題。

圖1 直曲連接處不平順

圖2 測(cè)點(diǎn)線元?dú)w屬不一致

對(duì)此，本文提出縱斷面線形重構(gòu)中的“點(diǎn)線一致”思想：對(duì)于每一組歸屬于直線或豎曲線的測(cè)點(diǎn)群，考慮光順性進(jìn)行擬合后，形成的線元?jiǎng)偤猛耆瑢?duì)應(yīng)點(diǎn)群，此時(shí)稱為“點(diǎn)線一致”。如果所有測(cè)點(diǎn)與線元均達(dá)到點(diǎn)線一致，則所有線元為最優(yōu)擬合，測(cè)點(diǎn)到重構(gòu)后線形調(diào)整量最小。本文不再將測(cè)點(diǎn)識(shí)別與線元擬合作為2個(gè)獨(dú)立過(guò)程，而是基于“點(diǎn)線一致”思想，提出一種測(cè)點(diǎn)歸屬識(shí)別與線元擬合交錯(cuò)執(zhí)行的循環(huán)迭代方法，其基本流程如下：

1) 基于二階差商進(jìn)行測(cè)點(diǎn)歸屬的初步識(shí)別；

2) 依據(jù)各測(cè)點(diǎn)歸屬，并顧及各類約束條件，分別擬合出直線、豎曲線線元；

3)檢測(cè)擬合后的線元范圍與測(cè)點(diǎn)歸屬是否達(dá)到點(diǎn)線一致；

4)若實(shí)現(xiàn)點(diǎn)線一致，終止迭代，得到縱斷面重構(gòu)線形；否則依據(jù)線元范圍反向調(diào)整各測(cè)點(diǎn)歸屬，轉(zhuǎn)第2步，繼續(xù)迭代上述過(guò)程直到點(diǎn)線一致。

2 基于二階差商的測(cè)點(diǎn)歸屬初步識(shí)別

既有鐵路縱斷面線形中，直線坡段與豎曲線坡段的坡度變化率有顯著區(qū)別。采用既有軌面各測(cè)點(diǎn)的里程X和高程Y數(shù)據(jù)計(jì)算坡度變化率，可初步判斷測(cè)點(diǎn)屬性。坡度變化率為高程關(guān)于里程的二階導(dǎo)數(shù)。但=()為離散函數(shù)，不可導(dǎo)，故采用二階差商[13]計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)近似值：

其中：

圖3 既有線縱斷面測(cè)點(diǎn)二階差商

3 線元擬合

3.1 基于穩(wěn)健最小二乘直線坡段擬合

3.1.1 穩(wěn)健最小二乘擬合直線線元

測(cè)點(diǎn)初步分段后，首先將線元?dú)w屬為直線的測(cè)點(diǎn)，以抬落道量平方和最小為目標(biāo)，根據(jù)最小二乘原理進(jìn)行直線擬合。但高程數(shù)據(jù)的粗差或異常值對(duì)擬合坡度值影響較大，解算時(shí)，應(yīng)對(duì)粗差或異常值予以剔除[14]，以獲取穩(wěn)健的直線參數(shù)最佳估值。具體解算步驟如下：

設(shè)直線坡段對(duì)應(yīng)測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)為，軌面測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)為(x,y)，直線坡段方程，坡段抬落道量平方和為：

1)()分別對(duì),求一階偏導(dǎo)為0時(shí)，可解得抬落道量平方和最小時(shí)初始值0,0：

2)根據(jù)初始值0,0，計(jì)算每個(gè)測(cè)點(diǎn)至擬合直線的距離：

3)計(jì)算測(cè)點(diǎn)至直線的距離d的標(biāo)準(zhǔn)差：

4)遍歷測(cè)點(diǎn)，根據(jù)3原則，若d≤3，將測(cè)點(diǎn)保留，否則為異常點(diǎn)，須剔除；

5)余下測(cè)點(diǎn)重新進(jìn)行最小二乘擬合，重復(fù)步驟1~4，直至所有測(cè)點(diǎn)均滿足d≤3為止；

6)利用余下測(cè)點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)健最小二乘擬合，獲取,最可靠值；

3.1.2 坡段求交

相鄰2直線坡段方程聯(lián)立求解變坡點(diǎn)坐標(biāo)(X,Y)：

當(dāng)出現(xiàn)下列情況時(shí)，須將相鄰坡段合并，再次擬合求交：

圖4 相鄰擬合坡段平行

圖5 變坡點(diǎn)未在豎曲線測(cè)點(diǎn)范圍內(nèi)

3.1.3 約束處理

縱斷面直線坡段重構(gòu)還存在最大坡度、容許抬落道量、最小坡長(zhǎng)等約束。各類約束處理方法如下：

1) 最大坡度

直線坡段的方程為,其中即為坡度，需小于最大容許上行坡度imax，大于最大容許下行坡度?imax即

?imax≤≤imax(11)

2)最小坡長(zhǎng)

①坡長(zhǎng)接近且小于最小坡長(zhǎng)min的坡段，向坡長(zhǎng)較大的相鄰坡段方向微調(diào)，如圖6；

②坡長(zhǎng)小于最小坡長(zhǎng)min的坡段，與坡長(zhǎng)較小的相鄰坡段合并，如圖7。

圖6 變坡點(diǎn)微調(diào)示意圖

圖7 相鄰坡段合并示意圖

3) 容許抬落道量

重構(gòu)線路時(shí)，鐵路縱斷面存在一系列必須滿足的抬落道要求，包括：

①橋梁段：不允許落道，以避免降低墩臺(tái)頂面高，導(dǎo)致施工困難。抬道量控制在10~15cm范圍，以避免道砟加厚對(duì)橋梁應(yīng)力及穩(wěn)定性的不利影響：

0.0≤ax+b?y≤0.15 (12)

②隧道段：一般采用落道以避免列車侵 限[15]，落道量應(yīng)控制在0.4m以內(nèi)，以保護(hù)隧道邊墻基礎(chǔ)[15]：

?0.4≤ax+b?y≤0.0 (13)

③有支擋構(gòu)造物路基段：避免因路基加寬時(shí)，填土坡腳蓋過(guò)擋土墻或護(hù)坡。根據(jù)該條件反算出最大容許抬道量Tmax,則有：

ax+b?y≤Tmax(14)

④施工方法受限路段：對(duì)于不能采用抬降路基面的施工方式進(jìn)行軌道調(diào)整的路段，其抬道量應(yīng)小于100cm，落道量需滿足最小道床厚度的要求。根據(jù)實(shí)測(cè)道床厚，可反算出容許落道量Lmax，則有：

?Lmax≤ax+b?y≤1.0 (15)

⑤運(yùn)營(yíng)條件約束：為減輕對(duì)運(yùn)營(yíng)干擾，盡量避免挖切路基或道床來(lái)降低軌面高程，因此，既有軌道盡量不進(jìn)行落道。

綜上，各測(cè)點(diǎn)須滿足橋梁、隧道等特殊路段及施工方法、運(yùn)營(yíng)條件等多方面對(duì)抬落道量的約束，保證抬落道量在容許最大落道量?max和容許最大抬道量max之間：

?max≤ax+b?y≤max(16)

聯(lián)立式(3)，(11)和(16)，可得出顧及最大坡度、特殊路段控制抬落道量等約束的直線坡段擬合 模型：

這是線性約束下的二元二次最優(yōu)化問(wèn)題，可以采用增廣拉格朗日法或者序列二次規(guī)劃法 求解[16]。

為提高計(jì)算效率，在實(shí)際使用過(guò)程中，可先按無(wú)約束的最小二乘擬合直線坡段。如果生成的直線滿足所有約束則可直接使用，否則求解約束最優(yōu)化問(wèn)題。

3.2 豎曲線擬合

豎曲線部分須實(shí)現(xiàn)抬落道量平方和最小，同時(shí)須滿足與相鄰兩直線線元相切的光順性條件以及容許抬落道量、豎曲線與緩和曲線(道岔)不重疊等約束。

3.2.1 目標(biāo)函數(shù)

假設(shè)豎曲線坡段測(cè)點(diǎn)(x,y)；豎曲線半徑為；前后兩坡段轉(zhuǎn)角為；目標(biāo)函數(shù)為豎曲線范圍的測(cè)點(diǎn)抬落道量平方和，可表示為：

3.2.2 約束條件

1) 光順性約束

在縱斷面變坡點(diǎn)處，為保證行車的安全平順，豎曲線應(yīng)該與相鄰直線坡段相切，如圖8 所示。

圖8 豎曲線與相鄰直線線元光順連接

目標(biāo)函數(shù)可表示為：

豎曲線段抬落道量平方和是關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)最小時(shí)，′()0，求出半徑：

2)抬落道約束

與直線坡段一樣，豎曲線段的抬落道量也應(yīng)滿足橋梁、隧道、支擋構(gòu)造物路基、施工方法及運(yùn)營(yíng)條件的限制，須在最大落道量?max和最大抬道量max范圍之間：?max

否則，線形須要微調(diào)至滿足抬落道約束，具體方法如下：

設(shè)豎曲線圓心坐標(biāo)為(0,0)，滿足抬落道量平方和最小的豎曲線初始方程為：

變坡點(diǎn)為J(XJ,YJ)，容許抬落道量為?max，相鄰坡段坡度差為α，作?PFO為直角三角形(如 圖9)。

令a=FP=x?0，b=FJ=Y?y0；滿足以下幾何關(guān)系：

即：

滿足關(guān)系式：

求解得：

其中：

抬道時(shí)maxmax，落道時(shí)maxmax。滿足容許抬落道約束的取值范圍為：

(max)<<(max)

若初始擬合豎曲線抬落道超限，為滿足擬合目標(biāo)最小及容許抬落道約束，抬道時(shí)，調(diào)整取值為(max)，落道時(shí)，將調(diào)整取值為(max)。

3)平縱組合約束

縱坡豎曲線部分應(yīng)避免與平面緩和曲線或道岔重疊。初步確定后，計(jì)算豎曲線坡段范圍(，)。若豎曲線與平面緩和曲線、道岔區(qū)重疊，須進(jìn)行以下調(diào)整：

①逐步縮小，減小豎曲線范圍，避免 重疊；

②若取規(guī)范半徑最小值min時(shí)仍重疊，調(diào)整變坡點(diǎn)位置，將變坡點(diǎn)向重疊區(qū)域減少的方向移動(dòng)，直至重疊消失；

③若變坡點(diǎn)移動(dòng)至坡長(zhǎng)小于規(guī)范min時(shí)仍重疊，則刪除該變坡點(diǎn)，重新擬合求交。

4 基于點(diǎn)線一致的震蕩迭代算法

為實(shí)現(xiàn)線形精準(zhǔn)識(shí)別重構(gòu)，完成上述測(cè)點(diǎn)歸屬初步識(shí)別和線元擬合步驟后，須檢測(cè)各線元范圍與識(shí)別的測(cè)點(diǎn)歸屬是否保持一致。如不一致，則通過(guò)交錯(cuò)迭代執(zhí)行測(cè)點(diǎn)歸屬調(diào)整與線元擬合過(guò)程，最終達(dá)到點(diǎn)線一致。具體算法步驟如下：

步驟1：測(cè)點(diǎn)屬性判斷后，對(duì)直線測(cè)點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)健最小二乘直線擬合，并進(jìn)行坡段求交，得到坡度及變坡點(diǎn)(X,Y)；

步驟2：對(duì)豎曲線測(cè)點(diǎn)進(jìn)行擬合，求出豎曲線半徑；

步驟3：根據(jù)直線方程及豎曲線半徑，求解特征點(diǎn)里程，如直圓點(diǎn)圓直點(diǎn)，如圖10所示；

步驟4：分別遍歷介于直線、豎曲線坡段范圍內(nèi)所有測(cè)點(diǎn)屬性，如有點(diǎn)線屬性不一致，則調(diào)整測(cè)點(diǎn)屬性，如圖11所示；

步驟5：根據(jù)調(diào)整后的測(cè)點(diǎn)屬性，重新進(jìn)行直線、豎曲線坡段擬合，如圖12所示；

步驟6：重復(fù)步驟1~5，直至點(diǎn)線一致，得到最優(yōu)縱斷面線形，如圖13所示。

圖10 坡段擬合求交，計(jì)算特征點(diǎn)里程

圖11 調(diào)整測(cè)點(diǎn)歸屬

圖12 迭代擬合坡段，計(jì)算特征點(diǎn)里程

圖13 實(shí)現(xiàn)擬合結(jié)果的點(diǎn)線一致

5 算例分析

基于點(diǎn)線一致的迭代重構(gòu)思想，筆者編制了既有鐵路縱斷面識(shí)別重構(gòu)計(jì)算程序，通過(guò)“石門?長(zhǎng)沙”、“宜昌東?小溪塔”等大量既有線重構(gòu)算例，驗(yàn)證該方法較傳統(tǒng)的坡度變化率識(shí)別等方法，在減小抬落道量平方和方面，有顯著提升。

選取石門?長(zhǎng)沙線K108+850~K128+850段為例，線路長(zhǎng)20km，包含400個(gè)既有軌面測(cè)點(diǎn)，重構(gòu)后變坡點(diǎn)共23個(gè)。傳統(tǒng)坡度識(shí)別重構(gòu)縱斷面線形抬落道量平方和為36618 cm2，點(diǎn)線一致迭代重構(gòu)的縱斷面線形抬落道量距離平方和為8653 cm2。

將點(diǎn)線一致迭代重構(gòu)與傳統(tǒng)坡度變化率識(shí)別進(jìn)行比較，點(diǎn)線一致迭代法重構(gòu)線形的抬落道量在0~10cm范圍內(nèi)分布更為集中，分布范圍對(duì)比如圖14所示。

圖14 抬落道量結(jié)果范圍對(duì)比

重構(gòu)完成后，依次對(duì)各坡段進(jìn)行約束檢測(cè)，重構(gòu)線形滿足縱斷面各種約束，檢測(cè)結(jié)果如表1所示。

表1 重構(gòu)線路約束檢查

6 結(jié)論

1)提出了點(diǎn)線一致思想，基于該思想構(gòu)建的鐵路線路縱斷面重構(gòu)算法相比于既有方法，可顯著減少測(cè)點(diǎn)到重構(gòu)線路的調(diào)整量。

2)針對(duì)現(xiàn)有方法考慮縱斷面線形約束較少的問(wèn)題，處理了最小坡長(zhǎng)、容許坡度、豎曲線與緩和曲線(道岔)不重疊、施工方法、運(yùn)營(yíng)條件及特殊路段(橋梁、隧道、有支擋構(gòu)造物路基段)對(duì)抬落道量的約束，可直接生成滿足各類約束的縱斷面 線形。

3) 本方法自動(dòng)化程度高，輸入既有線縱斷面測(cè)點(diǎn)里程和高程的原始數(shù)據(jù)后，可自動(dòng)輸出滿足各類約束的縱斷面優(yōu)化線形。

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Automatic recreating vertical alignment of existing railway based on points-alignment consistency

LI Wei1, 2, ZHOU Yu1, 2, WANG Jie3, LIANG Jiaxuan1, 2, PENG Xianbao1, 2, PU Hao1, 2

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Changsha 410075, China; 3. State key Laboratory of Rail Transit Engineering Information (CFSDI), Xi’an 710043, China;4. China Railway Siyuan Survey & Design Group Co, Ltd, Wuhan 430063, China)

After a long period of operation, the vertical alignment of an existing railway inevitably deviates from the originally designed centerline. It is important for calibrating track to ensure safety and comfort. The vertical alignment consists of tangents and curves, which are connected smoothly. The key of recreation is identifying the attribution of each measured point and fitting the geometric elements considering constraints. Based on points-alignment consistency that the attributions of measured points to geometric elements should be consistent with the ranges of recreated geometric elements, a method was proposed to recreate vertical alignment automatically. After the initial identification of the points attribution using second divided difference, the corresponding geometric elements were fitted. Then the attribution of points was adjusted according to the range of geometric elements. These above processes were iterated until the points and geometric elements were consistent, meanwhile, various constraints were considered. A software system developed based on this method has been applied in the recreation of more than 2 000 km of existing railways. Applications demonstrate that this method can identify all geometric elements automatically and generate a recreated alignment while satisfying all the applicable constraints.

existing railway; vertical alignment; points-alignment consistency; automatic recreating

U212.34

A

1672 ? 7029(2019)11? 2684 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.11.006

2019?02?21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51608543，51778640)；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2017JJ3382)

蒲浩(1973?)，男，四川南充人，教授，博士，從事鐵路線站數(shù)字化設(shè)計(jì)理論與方法研究；E?mail：haopu@csu.edu.cn

(編輯 涂鵬)