蔡文杰，黃 俊，畢國(guó)堂，劉志勤，黎茂鋒

（西南科技大學(xué)，綿陽(yáng)，621000）

0 引 言

近年來(lái)，隨著中國(guó)航空航天技術(shù)的大力發(fā)展以及民用大型客機(jī)研發(fā)需求的越發(fā)迫切，飛行器的穩(wěn)健設(shè)計(jì)已經(jīng)成為國(guó)防和民用科技發(fā)展關(guān)注的重點(diǎn)。機(jī)翼是飛行器整體設(shè)計(jì)中的重要一環(huán)，而翼型的選取又是機(jī)翼設(shè)計(jì)的重點(diǎn)。翼型的穩(wěn)健設(shè)計(jì)能使飛行器在不斷變化的環(huán)境中使其性能保持穩(wěn)定，如使其阻力保證在一個(gè)較低的水平，實(shí)現(xiàn)飛行又穩(wěn)又遠(yuǎn)的目標(biāo)。

傳統(tǒng)的翼型設(shè)計(jì)是在一個(gè)人為設(shè)定的環(huán)境下進(jìn)行的。但現(xiàn)實(shí)中的環(huán)境卻是時(shí)刻處于變化中，通過(guò)傳統(tǒng)方式獲得的翼型的性能可能會(huì)出現(xiàn)劇烈的波動(dòng)。以馬赫數(shù)下的飛行器阻力優(yōu)化為例，Hicks 等[1]對(duì)翼型的研究證明了對(duì)單一點(diǎn)馬赫數(shù)處的阻力進(jìn)行優(yōu)化的傳統(tǒng)單點(diǎn)設(shè)計(jì)方法，將會(huì)引起其附近馬赫數(shù)處的阻力變大，進(jìn)而影響最終的翼型性能。而在更寬速度范圍飛行器的設(shè)計(jì)中該問(wèn)題更加突出。通過(guò)對(duì)翼型進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)[2]能夠很好地解決此類(lèi)問(wèn)題，使飛行器翼型對(duì)環(huán)境變化不敏感。

1 翼型穩(wěn)健設(shè)計(jì)簡(jiǎn)要概述

翼型穩(wěn)健設(shè)計(jì)就是要使翼型對(duì)外界環(huán)境變化帶來(lái)的噪聲因素不敏感。因此在翼型設(shè)計(jì)之初就要考慮到可能存在的噪聲因素，通過(guò)穩(wěn)健設(shè)計(jì)最終尋找到一組可控因素的最佳水平組合，從而使噪聲因素對(duì)翼型性能的影響降低。

飛行器翼型在非設(shè)計(jì)狀態(tài)下的性能不穩(wěn)定問(wèn)題的解決方法通常就是進(jìn)行翼型的穩(wěn)健設(shè)計(jì)。翼型穩(wěn)健設(shè)計(jì)就是要在一個(gè)給定的馬赫數(shù)變化區(qū)間（Mamin≤Ma ≤Mamax）中，實(shí)現(xiàn)不但要減小翼型的阻力而且還要保證翼型的性能穩(wěn)定的目的。即要實(shí)現(xiàn)同時(shí)減小阻力系數(shù)的均值和方差的目的，本文中所采用的穩(wěn)健設(shè)計(jì)目標(biāo)模型[3,4]如下：

式中D 為多維翼型的幾何外形參數(shù)，即翼型外型設(shè)計(jì)變量；lC 為翼型設(shè)計(jì)中作為約束條件的升力系數(shù)；T為翼型的外型幾何約束；Ma 為設(shè)計(jì)中所選取的馬赫數(shù)；α為攻角；μ為期望；2σ 為方差。

在設(shè)計(jì)中，阻力系數(shù)和升力系數(shù)都是攻角、設(shè)計(jì)變量以及馬赫數(shù)的函數(shù)。在求阻力系數(shù)的過(guò)程中，為保證升力系數(shù)不影響結(jié)果，將其作為設(shè)計(jì)過(guò)程中的一個(gè)約束條件，可通過(guò)對(duì)攻角的調(diào)節(jié)來(lái)達(dá)到升力系數(shù)的恒定。

式（1）中的阻力系數(shù) Cd的均值μ和方差 σ2的定義如下：

式中P(Ma)為Ma 的概率密度函數(shù)。

本文所進(jìn)行的翼型穩(wěn)健設(shè)計(jì)其目的是在一段給定的馬赫數(shù)變化范圍內(nèi)，通過(guò)設(shè)計(jì)來(lái)減小翼型阻力系數(shù)的均值以及方差，來(lái)獲取穩(wěn)健翼型。由于求解 Cd的計(jì)算量非常龐大，因而μ與 σ2的計(jì)算更加困難。因此本文采用通過(guò)建立 Cd關(guān)于翼型表面參數(shù)D 和馬赫數(shù)Ma 的2 種RBF 替代模型（插值和擬合），來(lái)進(jìn)行 Cd的預(yù)測(cè)，使用預(yù)測(cè)的結(jié)果得到 μ2+ σ2的近似值,即:

與傳統(tǒng)直接通過(guò)CFD 計(jì)算阻力系數(shù)相比，替代模型的計(jì)算量明顯減少，且能滿足一定的設(shè)計(jì)精度要求。

2 翼型穩(wěn)健設(shè)計(jì)流程

本文所采用的通過(guò)RBF 替代模型進(jìn)行翼型穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法的流程圖與步驟如下（如圖1 所示）：

a）進(jìn)行翼型外形的幾何參數(shù)化表示；

b）選擇試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，確定試驗(yàn)設(shè)計(jì)因素及其水平數(shù)，即生成樣本點(diǎn)；

c）對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行CFD 計(jì)算，獲得樣本點(diǎn)翼型在滿足升力約束條件下的阻力系數(shù)dC ；

d）根據(jù)獲得的樣本結(jié)果數(shù)據(jù)建立RBF 替代模型；

e）通過(guò)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，獲取最佳翼型外形的設(shè)計(jì)參數(shù)值；

f）計(jì)算最佳翼型阻力系數(shù)的均值與方差，與基準(zhǔn)翼型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

圖1 翼型穩(wěn)健設(shè)計(jì)流程 Fig.1 Airfoil Robust Design Flow Chart

2.1 翼型外型參數(shù)化

本文采用Hicks-Henn[5]基函數(shù)線性疊加的方式來(lái)表示翼型外型，翼型形狀由基準(zhǔn)翼型（本文選擇RAE2822 翼型）和基函數(shù)以及相關(guān)系數(shù)進(jìn)行定義：

式中baseF 為基準(zhǔn)翼型形狀；iP 為型函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，即外型參數(shù)設(shè)計(jì)變量；n 為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)；if (x)為Hicks-Henne 基函數(shù)。其中Hick-Henne 基函數(shù)的具體形式如下：

式中xi為翼型前緣點(diǎn)和后緣點(diǎn)間的結(jié)點(diǎn)，0= x1＜ x2＜… xi＜ xn=1。本文中xi=，i=2,…,5。

2.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法是用來(lái)進(jìn)行樣本點(diǎn)合理選擇的方法。本文選用均勻設(shè)計(jì)法來(lái)進(jìn)行樣本點(diǎn)的選取。均勻設(shè)計(jì)法去除了正交設(shè)計(jì)中整齊可比的要求，其試驗(yàn)點(diǎn)具有更好的均勻性，能充分反映試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量的信息。通過(guò)因素（變量）數(shù)及其水平數(shù)選擇合適的均勻設(shè)計(jì)表，生成樣本數(shù)據(jù)表。

2.3 網(wǎng)格生成與CFD 計(jì)算

在進(jìn)行CFD 計(jì)算前，需要先對(duì)生成的均勻設(shè)計(jì)表中的每一個(gè)翼型樣例生成其對(duì)應(yīng)的二維網(wǎng)格，該步驟通過(guò)網(wǎng)格生成軟件Gridgen 完成，網(wǎng)格采用C 型結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格生成結(jié)果如圖2 所示。后續(xù)氣動(dòng)系數(shù)的計(jì)算可采用廣泛使用的CFD 軟件Fluent 完成，湍流模型選用Spalart-Allmaras，翼型壁面設(shè)置為T(mén)emperature。CFD的相關(guān)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[6]，F(xiàn)luent 的相關(guān)設(shè)置可參考文獻(xiàn)[7]。

生成網(wǎng)格后，本文使用Ma =0.73，α=o3.19 ，Re=6.5×106時(shí)RAE2822 翼型的fluent 表面壓力分析結(jié)果對(duì)網(wǎng)格和氣動(dòng)分析結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)見(jiàn)圖3，由圖3 可知，CFD 計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)報(bào)告[8]中的試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了網(wǎng)格和氣動(dòng)分析的正確性。

圖2 RAE2822 翼型的C 型網(wǎng)格 Fig.2 C-Grid for the RAE2822 Airfoil

圖3 RAE2822 翼型表面壓力分布CFD 結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比 Fig.3 Comparison of CFD Results of RAE2822 Airfoil Surface Pressure Distribution and Experimental Results

2.4 RBF 替代模型

本文采用與RBF 徑向基函數(shù)相關(guān)的2 種方法進(jìn)行替代模型的建立，分別是：RBF 插值法和RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法。2 種方法的定義如下：

2.4.1 RBF 插值替代模型原理

RBF 插值是通過(guò)一系列的徑向基函數(shù)的線性組合來(lái)建立替代模型。其定義如下：

式中 φ(||x-ix ||)為徑向基函數(shù)，通?？刹捎酶咚购瘮?shù)或多二次函數(shù)等，本文中后續(xù)RBF 插值替代模型采用高斯徑向基函數(shù)。

2.4.2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合替代模型原理

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是在BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上改進(jìn)而來(lái)的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，是一種由輸入層、隱含層、輸出層構(gòu)成的3 層結(jié)構(gòu)的前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如圖4 所示。

圖4 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9] Fig.4 Radial Basis Function Neural Network[9]

RFB 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基于核函數(shù)的思想，通過(guò)隱含層將輸入向量由低維度P 映射到高維度h，從而在高緯度中實(shí)現(xiàn)線性可分。其網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重W 可通過(guò)線性方程求解，加快了學(xué)習(xí)速度且避免了局部最小問(wèn)題。RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解分為正向傳播計(jì)算誤差部分和反向傳播調(diào)整參數(shù)2 個(gè)部分。當(dāng)正向傳播誤差達(dá)到所需精度或計(jì)算次數(shù)達(dá)到規(guī)定次數(shù)時(shí)完成計(jì)算。正向傳播計(jì)算公式如下：

式中R ( xp-ci） 為RBF 高斯激活函數(shù)； y? 為網(wǎng)絡(luò)的輸出；c 為中心點(diǎn)；σ為中心點(diǎn)寬度參數(shù)；L 為損失函數(shù)。

反向傳播使用梯度下降法來(lái)進(jìn)行迭代求取參數(shù)誤差，進(jìn)而調(diào)整參數(shù)，詳細(xì)求解推導(dǎo)可參考文獻(xiàn)[9]，其計(jì)算公式如下：

式中α為梯度下降的學(xué)習(xí)率，學(xué)習(xí)率可根據(jù)損失函數(shù)結(jié)果和迭代次數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

2.5 替代模型效果檢驗(yàn)

在完成替代模型建立后，需要對(duì)模型正確性及其效果進(jìn)行檢驗(yàn)。本文使用Fluent 軟件和2 種RBF 替代模型及參考文獻(xiàn)[10～12]中使用的KRIGING 插值模型分別求取RAE2822 翼型在Ma ∈[0.7,0.8]的阻力系數(shù)，并進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比結(jié)果如圖5 所示，可以發(fā)現(xiàn)2 種RBF替代模型的效果優(yōu)于KRIGING 的插值效果。

圖5 替代模型效果檢驗(yàn) Fig.5 Alternative Model Validation

2.6 遺傳算法優(yōu)化求解

本文中設(shè)計(jì)因素的分布和維數(shù)以及因素彼此間的關(guān)系都未強(qiáng)制進(jìn)行限定，因此采用馬赫數(shù)按等差數(shù)列生成，其它設(shè)計(jì)因素隨機(jī)生成來(lái)模擬遺傳算法，進(jìn)行穩(wěn)健翼型的優(yōu)化求解。

遺傳算法[13,14]是模擬自然環(huán)境中生物種群遺傳和變異進(jìn)化過(guò)程的一種自適應(yīng)全局優(yōu)化搜索方法，具有很好的全局尋優(yōu)能力。

式（1）的優(yōu)化目標(biāo)可近似表示為

式中MaN 為模擬時(shí)選擇的馬赫數(shù)的個(gè)數(shù)；iMa 為規(guī)定范圍內(nèi)按等差數(shù)列產(chǎn)生的一個(gè)馬赫數(shù)。

通過(guò)替代模型和遺傳算法結(jié)合運(yùn)算，最終獲得一個(gè)穩(wěn)健翼型的表面參數(shù)設(shè)計(jì)變量的值，再進(jìn)行翼型參數(shù)化，即可獲得最終穩(wěn)健翼型的外型。本文中的多變量遺傳算法使用二進(jìn)制形式進(jìn)行編碼，罰函數(shù)采用翼型的幾何約束即翼型的最大相對(duì)厚度的最小值和最大值，通過(guò)罰函數(shù)來(lái)淘汰掉不符合外形約束的翼型個(gè)體。

3 樣例及模型結(jié)果對(duì)比分析

通過(guò)對(duì)基準(zhǔn)翼型進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計(jì)來(lái)對(duì)本文采用的RBF 替代模型方法效果進(jìn)行驗(yàn)證。本文以RAE2822 為基準(zhǔn)翼型，在馬赫數(shù)Ma ∈[0.7,0.8]，雷諾數(shù)Re=6.5×106,翼型升力系數(shù)lC =0.8，翼型最大相對(duì)厚度0.1≤ d≤ 0.12的條件下，進(jìn)行翼型的穩(wěn)健設(shè)計(jì)，并將最終獲得的兩種RBF 穩(wěn)健設(shè)計(jì)翼型性能與基準(zhǔn)翼型和參考文獻(xiàn)中所采用的KRIGING 模型獲得的穩(wěn)健翼型性能進(jìn)行對(duì)比。

對(duì)翼型選用10 個(gè)參數(shù)變量進(jìn)行表示（上下翼面各取5 個(gè)參數(shù)變量，1d ～5d 用于表示上翼面，6d ～10d 用于表示下翼面）。Hicks-Henne 中參數(shù)變量的取值范圍為：d1=[-0.006,0.006]，d2=[-0.01,0.006]，d3=[-0.006,0.008]，d4=[-0.005,0.005]，d5=[-0.005,0.01]，d6=[-0.008,0.006]，d7=[-0.001,0.01]，d8=[-0.005,0.01]，d9=[-0.005,0.005]，d10=[-0.005,0.015]。馬赫數(shù)是設(shè)計(jì)中的另一個(gè)變量，因此采用U11_165 的均勻設(shè)計(jì)表，生成165 個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)即為一個(gè)翼型在一個(gè)馬赫數(shù)下的樣本，通過(guò)Fluent 計(jì)算出這些樣本點(diǎn)的阻力系數(shù)，用于RBF 替代模型建立，部分?jǐn)?shù)據(jù)（未歸一化前）如表1 所示。

表1 未歸一化的部分樣本點(diǎn)數(shù)據(jù) Tab.1 Unnormalized Partial Sample Point Data

在RBF 模型建立過(guò)程中需要注意的是，需要先對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行歸一化處理，以便提高模型的精度和穩(wěn)健性。歸一化即將樣本點(diǎn)的各設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)值的取值轉(zhuǎn)化到一個(gè)統(tǒng)一的區(qū)間（如[0,1]）上，可通過(guò)如下min-max 方法進(jìn)行歸一化：

式中i=1,2,3…,n；j = 1,2…,m； xj,min為第j 個(gè)設(shè)計(jì)因素在所有樣本點(diǎn)中的最小值；xj,max為第j 個(gè)設(shè)計(jì)因素在所有樣本點(diǎn)中的最大值； xij為第j 個(gè)設(shè)計(jì)因素在第i 個(gè)樣本點(diǎn)上的值。

使用RBF插值和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合進(jìn)行替代模型C?d=C ?d(D,Ma)的建立。RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)設(shè)置為100。在使用遺傳算法尋優(yōu)時(shí)，種群中的每一個(gè)個(gè)體都代表一個(gè)翼型，取NMa=1000，即在Ma∈[ 0 .7,0.8]范圍內(nèi)，按公差為0.0001 生成1000 個(gè)馬赫數(shù)，代入式（15）求得翼型對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值。在遺傳算法中選擇種群規(guī)模 M=100,種群最大進(jìn)化代數(shù) K=200，交叉概率Pc=0.8，變異概率為 Pm=0.1。

最終的優(yōu)化結(jié)果如表2 所示。

由表2 可知，2 種RBF 建模方法獲得的穩(wěn)健翼型在Ma ∈[0.7,0.8]時(shí)，二者的阻力系數(shù)的均值與方差都小于基準(zhǔn)翼型 RAE2822，且優(yōu)于使用參考文獻(xiàn)中的KRIGING 模型方法獲得的同樣條件下的穩(wěn)健翼型。從阻力系數(shù)的均值與方差的最終結(jié)果來(lái)看，使用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法獲得的穩(wěn)健翼型最佳。圖6 為2 種穩(wěn)健翼型與RAE2822 翼型和KRIGING 模型獲得的穩(wěn)健翼型的外形比較，可發(fā)現(xiàn)RBF 的2 種穩(wěn)健翼型的厚度都有所減小，上表面更加平坦，且下表面后緣出現(xiàn)了一個(gè)非常明顯的上凹區(qū)域，表明通過(guò)RBF 替代模型獲得的兩種穩(wěn)健翼型具有了明顯的超臨界翼型的特性。在圖7 翼型性能比較圖中，可明顯發(fā)現(xiàn)兩種穩(wěn)健翼型在升力系數(shù)固定且Ma 在設(shè)定范圍條件下，其阻力系數(shù)Cd都明顯減小，均小于基準(zhǔn)的RAE2822 翼型，優(yōu)與KRIGING 模型獲得的穩(wěn)健翼型。從2 種RBF 穩(wěn)健翼型的最終效果來(lái)看，2 種穩(wěn)健翼型都達(dá)到了本文翼型穩(wěn)健設(shè)計(jì)的目標(biāo)。從阻力系數(shù)的總體大小及其變化趨勢(shì)來(lái)看，通過(guò)RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合建模方法得到的穩(wěn)健翼型的效果更優(yōu)。

圖6 穩(wěn)健翼型外形與RAE2822 對(duì)比 Fig.6 Robust Airfoil Shapes Contrasts with RAE2822

圖7 穩(wěn)健翼型與RAE2822 性能對(duì)比 Fig.7 Performance Comparison between Robust Airfoils and RAE2822

4 結(jié) 論

本文使用RBF插值和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合兩種替代模型方法來(lái)解決翼型設(shè)計(jì)中在環(huán)境發(fā)生變化時(shí)出現(xiàn)性能惡化的問(wèn)題。本文以馬赫數(shù)的變化導(dǎo)致翼型阻力系數(shù)發(fā)散引起飛行器性能惡化為研究背景，通過(guò)建立RBF 的2 種替代模型，來(lái)進(jìn)行穩(wěn)健翼型的設(shè)計(jì)。結(jié)果表明，本文采用的2 種RBF 替代模型的方法，均達(dá)到了本文翼型穩(wěn)健設(shè)計(jì)的目的，改善了在非設(shè)計(jì)狀態(tài)下干擾因素帶來(lái)的翼型性能的惡化現(xiàn)象。

在后續(xù)的研究中，可將RBF 替代模型方法用于三維機(jī)翼的穩(wěn)健設(shè)計(jì)中。二維翼型的穩(wěn)健設(shè)計(jì)結(jié)果為后續(xù)三維機(jī)翼穩(wěn)健設(shè)計(jì)以及飛行器整機(jī)的穩(wěn)健設(shè)計(jì)打下了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。替代模型方法在飛行器穩(wěn)健設(shè)計(jì)上的應(yīng)用有著重要的意義，值得進(jìn)一步深入研究。